Calculadora de Distribución Binomial - Herramienta Gratuita de Probabilidad

¿Qué es una calculadora de distribución binomial?

Una calculadora de distribución binomial determina la probabilidad de obtener un número exacto de éxitos en un número fijo de ensayos independientes, cuando cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito. Se utiliza en estadística, control de calidad, medicina y cualquier campo que estudie eventos repetidos de sí o no.

La idea subyacente es la distribución binomial, un modelo de probabilidad para contar éxitos en ensayos repetidos que solo tienen dos resultados, generalmente llamados éxito y fracaso.

Fórmula de la distribución binomial

La probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos es:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Cada símbolo significa:

• n — el número de ensayos.
• k — el número de éxitos cuya probabilidad se desea calcular.
• p — la probabilidad de éxito en un solo ensayo, un número entre 0 y 1.
• $\binom{n}{k}$ — el coeficiente binomial, el número de formas diferentes de elegir k éxitos de n ensayos. Es igual a $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Cada ensayo debe ser independiente, lo que significa que el resultado de un ensayo no cambia las probabilidades de otro, y la probabilidad de éxito p debe mantenerse igual en todos los ensayos. Un solo ensayo con dos resultados posibles, como lanzar una moneda una vez, se llama ensayo de Bernoulli. Una distribución binomial se obtiene al sumar n ensayos de Bernoulli.

Cómo calcular la probabilidad binomial

1. Anote n, k y p.
2. Calcule el coeficiente binomial $\binom{n}{k}$, el número de formas de distribuir k éxitos entre n ensayos.
3. Eleve p a la potencia k.
4. Eleve (1 − p) a la potencia de (n − k).
5. Multiplica entre sí los tres números.

La calculadora de esta página realiza estos pasos automáticamente. Introduzca n, p y k, y devuelve P(X = k), junto con un gráfico de barras que muestra la probabilidad de cada resultado posible desde 0 hasta n éxitos.

Ejemplo práctico

Ejemplo 1: lanzamientos de una moneda

Lance una moneda equilibrada 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Resultado: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, o aproximadamente 11,72 %

Ejemplo 2: control de calidad

Una fábrica inspecciona 100 artículos. Cada artículo tiene una probabilidad de 2 % de ser defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los 100 artículos sea defectuoso?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Como k = 0, la fórmula se reduce a $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Resultado: ≈ 0,1326, o aproximadamente 13,26 %

Ejemplo 3: detección de enfermedades

Una ciudad examina a 1.000 personas para detectar una enfermedad que afecta al 0,1 % de la población (p = 0,001). ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de las 1.000 personas estén infectadas?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Resultado: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, o aproximadamente 0,30 % (valor preciso 0,0030488, es decir, 0,30488 %)

Media y varianza

Para una distribución binomial con parámetros n y p:

• Media (valor esperado): E(X) = np
• Varianza: Var(X) = np(1 − p)
• Desviación estándar: σ = √[np(1 − p)]

La media indica el número promedio de éxitos esperado a lo largo de muchas repeticiones. En el ejemplo 1, la media es 10 × 0,5 = 5 caras.

Qué acepta la calculadora

• n debe ser un número entero de 1 o más. Una entrada decimal se redondea al número entero de ensayos más cercano, por lo que 10,9 se trata como 11.
• p debe estar entre 0 y 1, incluidos ambos extremos.
• k debe ser un número entero de 0 o más y no puede ser mayor que n. Obtener 8 éxitos en 5 ensayos es imposible, por lo que la calculadora muestra un error en lugar de un número.

Si se deja alguna casilla vacía, la calculadora no muestra ningún resultado ni gráfico, en lugar de suponer un valor.

Cuándo se aplica la distribución binomial

La distribución binomial solo se ajusta a una situación cuando se cumplen las cuatro condiciones siguientes:

1. El número de ensayos, n, se fija de antemano.
2. Cada ensayo tiene solo dos resultados: éxito o fracaso.
3. La probabilidad de éxito, p, es la misma en cada ensayo.
4. Los ensayos son independientes entre sí.

Sacar cartas de una baraja sin reemplazo rompe la condición de independencia, porque retirar una carta cambia las probabilidades de la siguiente extracción. En esa situación se utiliza la distribución hipergeométrica.

Distribuciones relacionadas

• Distribución de Poisson: se utiliza para aproximar la distribución binomial cuando n es grande y p es pequeña, de modo que el número medio de éxitos (np) se mantiene moderado. Es habitual para modelizar eventos poco frecuentes, como el caso de enfermedad del ejemplo 3.
• Distribución normal: para valores grandes de n, y cuando p no está demasiado cerca de 0 ni de 1, la distribución binomial tiene una forma aproximadamente acampanada y puede aproximarse mediante una distribución normal con media np y varianza np(1 − p).
• Distribución hipergeométrica: se utiliza en lugar de la distribución binomial cuando el muestreo se realiza sin reemplazo a partir de una población finita.

Preguntas frecuentes

¿Qué hace una calculadora de distribución binomial?

Calcula la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos independientes, cada uno con una probabilidad de éxito p, utilizando la fórmula P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

¿Cuál es la diferencia entre la distribución binomial y la distribución normal?

La distribución binomial es discreta, lo que significa que solo produce recuentos enteros de éxitos. La distribución normal es continua. Para valores grandes de n, una distribución binomial puede aproximarse mediante una curva normal con media np y varianza np(1 − p).

¿Puede p ser 0 o 1?

Sí. Si p = 0, ningún ensayo puede tener éxito, por lo que P(X = 0) = 1. Si p = 1, todos los ensayos tienen éxito, por lo que P(X = n) = 1. En esos casos, todos los demás valores de k tienen una probabilidad de 0.

¿Cuál es la relación entre las distribuciones binomial y de Bernoulli?

Una distribución de Bernoulli describe un solo ensayo con dos resultados (n = 1). Una distribución binomial es la suma de n ensayos de Bernoulli independientes, por lo que una distribución de Bernoulli es simplemente una distribución binomial con n = 1.

¿Qué tan grande puede ser n antes de que la calculadora pierda precisión?

La calculadora funciona con aritmética estándar de doble precisión. Multiplica directamente las tres partes de la fórmula y cambia a logaritmos cuando el coeficiente binomial supera el número más grande que puede contener un doble, lo que ocurre cerca de n = 1.000 cuando k está cerca de n/2. Los resultados siguen siendo correctos por encima de ese punto. Una probabilidad inferior a aproximadamente 1e-308 se informa como 0, porque ningún número de doble precisión puede contenerla.

¿Cómo se calcula el coeficiente binomial?

El coeficiente binomial C(n, k) cuenta el número de formas de elegir k elementos de n elementos, sin importar el orden. Es igual a n! / (k! × (n − k)!). La calculadora lo construye paso a paso, multiplicando por un factor y dividiendo por el siguiente, de modo que nunca tiene que almacenar un factorial completo. Para valores muy grandes de n, suma los logaritmos de esos factores.

Referencias

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Fundación Wikimedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L., et al. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.