Calculadora de Distribución Gamma - Herramienta de Análisis Estadístico

¿Qué es una calculadora de distribución gamma?

Una calculadora de distribución gamma obtiene la media, la varianza, la asimetría, la curtosis y la moda de una distribución gamma a partir de dos valores: un parámetro de forma y un parámetro de escala. También dibuja la función de densidad de probabilidad de la distribución como una curva.

¿Qué es una distribución gamma?

La distribución gamma es una distribución de probabilidad continua para valores positivos. Se define mediante dos parámetros: un parámetro de forma, que suele escribirse como k, y un parámetro de escala, que suele escribirse como θ (theta). Ambos deben ser mayores que cero. La distribución gamma se utiliza para modelar cantidades que no pueden ser negativas, como los totales de precipitación, los importes de las reclamaciones de seguros y el tiempo hasta que falla una pieza de una máquina.

Fórmula de la distribución gamma

La función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución gamma es:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Aquí, x es el valor en el que se mide la densidad, y Γ(k) es la función gamma, una generalización del factorial para números no enteros. La fórmula solo es válida para x > 0; la densidad es cero en cualquier otro punto.

Cómo calcular las propiedades de una distribución gamma

A partir del parámetro de forma k y del parámetro de escala θ, la calculadora obtiene:

• Media: k × θ
• Varianza: k × θ²
• Asimetría: 2 / √k
• Curtosis: 3 + 6 / k
• Moda: (k − 1) × θ cuando k ≥ 1; en caso contrario, 0

La asimetría mide hasta qué punto la curva está desequilibrada. Un valor menor de k produce una cola derecha más larga. La curtosis mide el peso de las colas en comparación con una distribución normal, cuya curtosis es 3. La moda es el valor de x en el que la curva alcanza su máximo. Cuando k es menor que 1, la densidad sigue aumentando a medida que x se aproxima a 0, por lo que no existe un máximo interior y la calculadora muestra una moda de 0.

Ejemplo resuelto

Considérese un parámetro de forma k = 2 y un parámetro de escala θ = 3.

• Media = 2 × 3 = 6
• Varianza = 2 × 3² = 18
• Asimetría = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Curtosis = 3 + 6 / 2 = 6
• Moda = (2 − 1) × 3 = 3

En la moda, x = 3, la densidad se calcula como f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. La calculadora representa automáticamente la curva completa una vez introducidos ambos parámetros.

Cómo usar la calculadora de distribución gamma

1. Introduzca el parámetro de forma (k), un número positivo.
2. Introduzca el parámetro de escala (θ), un número positivo.
3. La media, la varianza, la asimetría, la curtosis y la moda aparecen en cuanto ambos campos contienen números válidos. No hay un botón de cálculo independiente: los resultados se actualizan a medida que se introducen los números.
4. El gráfico situado debajo de los resultados muestra la función de densidad de probabilidad. Se dibuja desde un valor apenas superior a x = 0 hasta el mayor de estos dos valores: tres veces la media o cinco veces el parámetro de escala.

Ambos parámetros deben ser números finitos mayores que 0, y ninguno puede ser mayor que 1000. También se rechazan los valores menores que aproximadamente 2 × 10⁻¹⁶, porque los valores resumidos dejan de ser significativos a ese tamaño. Un valor fuera del intervalo aceptado produce un mensaje de error en lugar de resultados.

Dónde se utiliza la distribución gamma

La distribución gamma modela muchas cantidades reales que siempre son positivas y a menudo presentan asimetría hacia la derecha:

• Seguros: importes de reclamaciones y pagos
• Meteorología: totales de precipitación durante un periodo fijo
• Ingeniería: tiempo hasta que falla un componente
• Teoría de colas: tiempos de espera formados por varias etapas exponenciales
• Biología: niveles de expresión génica y datos sobre el número de especies

Distribuciones relacionadas

Dos distribuciones conocidas son casos particulares de la distribución gamma:

• Distribución exponencial: una distribución gamma con k = 1
• Distribución ji-cuadrado: una distribución gamma con k = n/2 y θ = 2, donde n representa los grados de libertad

Las distribuciones de Weibull y log-normal son alternativas habituales para modelar datos positivos y asimétricos.

Preguntas frecuentes

¿Para qué se utiliza la distribución gamma?
Modela cantidades continuas y positivas, como tiempos de espera, cantidades de precipitación y reclamaciones de seguros, especialmente cuando los datos tienden hacia valores grandes.

¿Cómo se obtiene la media de una distribución gamma?
Se multiplica el parámetro de forma por el parámetro de escala: media = k × θ. Para k = 2 y θ = 3, la media es 6.

¿Cuál es la diferencia entre los parámetros de forma y de escala?
El parámetro de forma (k) controla la forma de la curva, incluida su asimetría. El parámetro de escala (θ) estira o comprime la curva a lo largo del eje x sin cambiar su forma básica.

¿Qué relación existe entre la distribución gamma y la distribución exponencial?
La distribución exponencial es la distribución gamma con un parámetro de forma k = 1.

¿Puede la distribución gamma tomar valores negativos?
No. Está definida únicamente para x > 0. Los datos que pueden ser negativos requieren una distribución diferente, como la distribución normal.

¿Esta calculadora calcula la función de distribución acumulada?
No. Calcula la media, la varianza, la asimetría, la curtosis y la moda, y representa la función de densidad de probabilidad. No proporciona valores de probabilidad acumulada.

Referencias

1. "Gamma distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. John Wiley & Sons.