Calculadora de Distribución Gamma - Herramienta de Análisis Estadístico

¿Qué es una calculadora de la distribución gamma?

Una calculadora de la distribución gamma halla la media, la varianza, la asimetría (coeficiente de asimetría), la curtosis y la moda de una distribución gamma a partir de dos datos: un parámetro de forma y un parámetro de escala. También dibuja la función de densidad de probabilidad de la distribución como una curva.

¿Qué es la distribución gamma?

La distribución gamma es una distribución de probabilidad continua para valores positivos. Se define mediante dos parámetros: un parámetro de forma, que suele escribirse k, y un parámetro de escala, que suele escribirse θ (theta). Ambos deben ser mayores que cero. La distribución gamma se usa para modelar magnitudes que no pueden ser negativas, como el total de lluvia, el tamaño de las reclamaciones de seguros y el tiempo hasta que falla una pieza de una máquina.

Fórmula de la distribución gamma

La función de densidad de probabilidad (FDP) de la distribución gamma es:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Aquí x es el valor en el que se mide la densidad, y Γ(k) es la función gamma, una generalización del factorial a números no enteros. La fórmula solo es válida para x > 0; la densidad es cero en cualquier otro punto.

Cómo calcular las propiedades de la distribución gamma

A partir del parámetro de forma k y del parámetro de escala θ, la calculadora halla:

• Media: k × θ
• Varianza: k × θ²
• Asimetría: 2 / √k
• Curtosis: 3 + 6 / k
• Moda: (k − 1) × θ cuando k ≥ 1; en caso contrario, 0

La asimetría mide cuán desequilibrada es la curva. Un k menor produce una cola derecha más larga. La curtosis mide cuán pesadas son las colas en comparación con una distribución normal, cuya curtosis es 3. La moda es el valor de x en el que la curva alcanza su máximo. Cuando k es menor que 1, la densidad sigue aumentando a medida que x se acerca a 0, de modo que no hay un máximo interior, y la calculadora indica una moda de 0.

Ejemplo resuelto

Tomemos un parámetro de forma k = 2 y un parámetro de escala θ = 3.

• Media = 2 × 3 = 6
• Varianza = 2 × 3² = 18
• Asimetría = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Curtosis = 3 + 6 / 2 = 6
• Moda = (2 − 1) × 3 = 3

En la moda, x = 3, la densidad resulta f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. La calculadora dibuja la curva completa automáticamente una vez que se introducen ambos parámetros.

Cómo usar la calculadora de la distribución gamma

1. Introduzca el parámetro de forma (k), un número positivo.
2. Introduzca el parámetro de escala (θ), un número positivo.
3. La media, la varianza, la asimetría, la curtosis y la moda aparecen en cuanto ambos campos contienen números válidos. No hay un botón de calcular aparte; los resultados se actualizan a medida que se introducen los números.
4. El gráfico situado debajo de los resultados muestra la función de densidad de probabilidad en un rango de valores de x.

Ambos parámetros deben ser números positivos y finitos. La herramienta acepta valores de hasta 1000 para cada parámetro.

Dónde se usa la distribución gamma

La distribución gamma modela muchas magnitudes reales que siempre son positivas y a menudo presentan asimetría hacia la derecha:

• Seguros: tamaño de las reclamaciones e importes de los pagos
• Meteorología: totales de lluvia durante un período fijo
• Ingeniería: tiempo hasta que falla un componente
• Teoría de colas: tiempos de espera formados por varias etapas exponenciales
• Biología: niveles de expresión génica y datos de recuento de especies

Distribuciones relacionadas

Dos distribuciones muy conocidas son casos particulares de la distribución gamma:

• Distribución exponencial: una distribución gamma con k = 1
• Distribución chi cuadrado: una distribución gamma con k = n/2 y θ = 2, donde n son los grados de libertad

Las distribuciones de Weibull y lognormal son alternativas habituales para modelar datos positivos y asimétricos.

Preguntas frecuentes

¿Para qué se usa la distribución gamma? Modela magnitudes continuas y positivas, como tiempos de espera, cantidades de lluvia y reclamaciones de seguros, sobre todo cuando los datos se inclinan hacia valores grandes.

¿Cómo se halla la media de una distribución gamma? Se multiplica el parámetro de forma por el parámetro de escala: media = k × θ. Para k = 2 y θ = 3, la media es 6.

¿Cuál es la diferencia entre los parámetros de forma y de escala? El parámetro de forma (k) controla la forma de la curva, incluida su asimetría. El parámetro de escala (θ) estira o comprime la curva a lo largo del eje x sin cambiar su forma básica.

¿Cómo se relaciona la distribución gamma con la distribución exponencial? La distribución exponencial es la distribución gamma con parámetro de forma k = 1.

¿Puede la distribución gamma tomar valores negativos? No. Solo está definida para x > 0. Los datos que pueden ser negativos requieren otra distribución, como la distribución normal.

¿Esta calculadora calcula la función de distribución acumulada? No. Calcula la media, la varianza, la asimetría, la curtosis y la moda, y dibuja la función de densidad de probabilidad. No muestra valores de probabilidad acumulada.

Referencias

1. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.11 Gamma Distribution. Distribución gamma — la FDP gamma, la asimetría 2/√γ, la curtosis 3 + 6/γ y la moda γ − 1 para γ ≥ 1 (forma estándar).