Calculadora de Distribución Gamma

Introducción

La distribución gamma es una distribución de probabilidad continua que se utiliza ampliamente en varios campos de la ciencia, la ingeniería y las finanzas. Se caracteriza por dos parámetros: el parámetro de forma (k o α) y el parámetro de escala (θ o β). Esta calculadora te permite calcular varias propiedades de la distribución gamma basadas en estos parámetros de entrada.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución gamma se da por:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Donde:

• x > 0 es la variable aleatoria
• k > 0 es el parámetro de forma
• θ > 0 es el parámetro de escala
• Γ(k) es la función gamma

La función de distribución acumulativa (CDF) es:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Donde γ(k, x/θ) es la función gamma incompleta inferior.

Las propiedades clave de la distribución gamma incluyen:

1. Media: $E[X] = k\theta$
2. Varianza: $Var[X] = k\theta^2$
3. Asimetría: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Curtosis: $3 + \frac{6}{k}$

Cómo Usar Esta Calculadora

1. Ingresa el parámetro de forma (k o α)
2. Ingresa el parámetro de escala (θ o β)
3. Haz clic en "Calcular" para calcular varias propiedades de la distribución gamma
4. Los resultados mostrarán la media, varianza, asimetría, curtosis y otra información relevante
5. Se mostrará una visualización de la función de densidad de probabilidad

Cálculo

La calculadora utiliza las fórmulas mencionadas anteriormente para calcular varias propiedades de la distribución gamma. Aquí hay una explicación paso a paso:

1. Validar los parámetros de entrada (tanto k como θ deben ser positivos)
2. Calcular la media: $k\theta$
3. Calcular la varianza: $k\theta^2$
4. Calcular la asimetría: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Calcular la curtosis: $3 + \frac{6}{k}$
6. Calcular el modo: $(k-1)\theta$ para k ≥ 1, de lo contrario 0
7. Generar puntos para la curva PDF utilizando la fórmula dada anteriormente
8. Graficar la curva PDF

Consideraciones Numéricas

Al implementar los cálculos de la distribución gamma, se deben tener en cuenta varias consideraciones numéricas:

1. Para parámetros de forma muy pequeños (k < 1), la PDF puede acercarse a infinito a medida que x se acerca a 0, lo que puede causar inestabilidad numérica.
2. Para parámetros de forma grandes, la función gamma Γ(k) puede volverse muy grande, lo que potencialmente causa desbordamiento. En tales casos, es recomendable trabajar con el logaritmo de la función gamma.
3. Al calcular la CDF, a menudo es más numéricamente estable utilizar algoritmos especializados para la función gamma incompleta en lugar de la integración directa de la PDF.
4. Para valores extremos de los parámetros, puede ser necesario utilizar aritmética de precisión extendida para mantener la precisión.

Casos de Uso

La distribución gamma tiene numerosas aplicaciones en varios campos:

1. Finanzas: Modelar distribuciones de ingresos, montos de reclamaciones de seguros y rendimientos de activos
2. Meteorología: Analizar patrones de lluvia y otros fenómenos relacionados con el clima
3. Ingeniería: Análisis de confiabilidad y modelado del tiempo de falla
4. Física: Describir tiempos de espera entre eventos de descomposición radiactiva
5. Biología: Modelar la abundancia de especies y niveles de expresión génica
6. Investigación de Operaciones: Teoría de colas y gestión de inventarios

Alternativas

Si bien la distribución gamma es versátil, hay distribuciones relacionadas que pueden ser más apropiadas en ciertas situaciones:

1. Distribución Exponencial: Un caso especial de la distribución gamma cuando k = 1
2. Distribución Chi-cuadrado: Un caso especial de la distribución gamma con k = n/2 y θ = 2
3. Distribución Weibull: A menudo utilizada como alternativa en análisis de confiabilidad
4. Distribución Log-normal: Otra opción común para modelar datos sesgados y positivos

Estimación de Parámetros

Al trabajar con datos del mundo real, a menudo es necesario estimar los parámetros de la distribución gamma. Los métodos comunes incluyen:

1. Método de Momentos: Igualar momentos de muestra a momentos teóricos
2. Estimación de Máxima Verosimilitud (MLE): Encontrar parámetros que maximizan la verosimilitud de observar los datos
3. Estimación Bayesiana: Incorporar conocimiento previo sobre los parámetros

Pruebas de Hipótesis

La distribución gamma se puede utilizar en varias pruebas de hipótesis, incluyendo:

1. Pruebas de bondad de ajuste para determinar si los datos siguen una distribución gamma
2. Pruebas de igualdad de parámetros de escala entre dos distribuciones gamma
3. Pruebas de igualdad de parámetros de forma entre dos distribuciones gamma

Historia

La distribución gamma tiene una rica historia en matemáticas y estadística:

• Siglo XVIII: Leonhard Euler introdujo la función gamma, que está estrechamente relacionada con la distribución gamma
• 1836: Siméon Denis Poisson utilizó un caso especial de la distribución gamma en su trabajo sobre teoría de probabilidades
• Década de 1920: Ronald Fisher popularizó el uso de la distribución gamma en análisis estadístico
• Mediados del siglo XX: La distribución gamma se utilizó ampliamente en ingeniería de confiabilidad y pruebas de vida
• Finales del siglo XX hasta el presente: Los avances en la potencia de cálculo han facilitado el trabajo con distribuciones gamma en varias aplicaciones

Ejemplos

Aquí hay algunos ejemplos de código para calcular propiedades de la distribución gamma:

1' Función VBA de Excel para la PDF de la Distribución Gamma
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Uso:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Distribución Gamma (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Densidad de Probabilidad')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Ejemplo de uso:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Calcular propiedades
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Media: {mean}")
29print(f"Varianza: {variance}")
30print(f"Asimetría: {skewness}")
31print(f"Curtosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Media: ${mean}`);
19    console.log(`Varianza: ${variance}`);
20    console.log(`Asimetría: ${skewness}`);
21    console.log(`Curtosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Ejemplo de uso:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Graficar PDF (usando una biblioteca de gráficos hipotética)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Estos ejemplos demuestran cómo calcular propiedades de la distribución gamma y visualizar su función de densidad de probabilidad utilizando varios lenguajes de programación. Puedes adaptar estas funciones a tus necesidades específicas o integrarlas en sistemas de análisis estadístico más grandes.

Referencias

1. "Distribución Gamma." Wikipedia, Fundación Wikimedia, https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_gamma. Consultado el 2 de agosto de 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Distribuciones continuas univariadas, volumen 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Distribuciones estadísticas. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). Una nota sobre la distribución gamma. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). Una generalización de la distribución gamma. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.