Milleri indeksite kalkulaator - Teisenda kristalli tasandi lõikepunktid (hkl) kujule

Mis on Milleri indeksid?

Milleri indeksid on kolm täisarvu, mis kirjutatakse kujul (h,k,l) ja identifitseerivad kristallivõres paikneva tasandi. Kristallivõre on tahkes materjalis leiduv aatomite korduv korrapärane paigutus. Milleri indeksid näitavad teadlastele täpselt, millist lõiget läbi selle võre tasand kujutab, ilma et selle geomeetriat tuleks sõnadega kirjeldada. Need võttis kasutusele Briti mineraloog William Hallowes Miller aastal 1839 ning need on tänapäeval kristallograafias endiselt standardne tähistus.

See kalkulaator teisendab tasandi lõikepunktid kristallograafilistel x-, y- ja z-telgedel selle Milleri indeksiteks (h,k,l).

Milleri indeksite valem

Milleri indeksid saadakse tasandi telglõikepunktide pöördväärtustest. Kui tasand lõikab x-, y- ja z-telge lähtekohast vastavalt kaugustel a, b ja c, siis indeksid rahuldavad järgmist:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Kuidas arvutada lõikepunktidest Milleri indeksid

1. Leidke, kus tasand lõikab iga telge, mõõdetuna ühikraku serva ühikutes. Tähistage need lõikepunktid tähtedega a, b ja c.
2. Võtke iga lõikepunkti pöördväärtus: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Korrutage kõik kolm pöördväärtust sama arvuga, nii et igaüks neist muutuks täisarvuks.
4. Jagage kolm täisarvu nende suurima ühisteguriga, nii et neid ei saa enam taandada.

Saadud kolm täisarvu on h, k ja l. Tasandit, mis ei lõika kunagi telge, käsitatakse telge lõikavana lõpmatuses ning 1 jagatud lõpmatusega on 0, seega saab see telg Milleri indeksiks 0.

Arvutusnäide

Tasand lõikab x-telge punktis 2, y-telge punktis 3 ja z-telge punktis 6.

1. Lõikepunktid: (2, 3, 6)
2. Pöördväärtused: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Korrutage nimetajate vähima ühiskordsega 6: (3, 2, 1)
4. Arvude 3, 2 ja 1 suurim ühistegur on 1, seega ei saa neid enam taandada.

Milleri indeksid on (321).

Teised näited

• Tasand, mis läbib punkti (1, ∞, 2) — olles paralleelne y-teljega —, omab pöördväärtusi (1, 0, 1/2). Korrutades arvuga 2 saame (2, 0, 1). 0 näitab, et tasand ei lõika y-telge kunagi.
• Tasand, mis läbib punkti (-1, 2, 3), omab pöördväärtusi (-1, 1/2, 1/3). Korrutades arvuga 6 saame (-6, 3, 2), mida kirjutatakse tavaliselt kujul (6̄32), kus negatiivse indeksi kohal on kriips.
• Tasand, mis läbib punkti (1, ∞, ∞), omab pöördväärtusi (1, 0, 0), millest saadakse (100). See on kuubi üks kuuest tahust.

Erijuhud

Teljega paralleelne tasand ei lõika seda kunagi, seega käsitatakse vastavat lõikepunkti lõpmatuna ja selle Milleri indeks on 0. Tasand, mis lõikab telge lähtekohast negatiivsel poolel, saab negatiivse indeksi, mis kirjutatakse formaalses tähistuses arvule kriipsu peale või tavatekstis miinusmärgiga. Otse lähtekohta läbival tasandil ei ole määratud Milleri indekseid, sest iga paralleelsete tasandite kogum võres peab indeksite määramiseks lähtekohast nihkes olema; sellise tasandi kirjeldamiseks tuleb lähtekohta nihutada. Murdarvulisi lõikepunkte käsitletakse samamoodi nagu täisarvulisi: võtke igaühe pöördväärtus ja seejärel kõrvaldage murrud.

Indeksid taandatakse alati vähimate võimalike täisarvudeni. (622) ja (311) kirjeldavad sama tasandite perekonda, kuid kristallograafid kirjutavad alati (311).

Kuidas seda kalkulaatorit kasutada

Sisestage tasandi lõikepunktid x-, y- ja z-teljega.

• Kasutage positiivset arvu lähtekohast positiivsel poolel oleva lõikepunkti ja negatiivset arvu negatiivsel poolel oleva lõikepunkti korral.
• Teljega paralleelse tasandi korral sisestage „infinity”, „inf” või „∞”.
• Null-lõikepunkti ei aktsepteerita, sest lähtekohta läbivale tasandile ei saa selle meetodiga Milleri indekseid määrata.

Kalkulaator arvutab indeksid kohe ja kuvab tasandi diagrammi ühikrakus.

Milleri indeksite rakendused

Röntgendifraktsioon. Iga täpp või maksimum röntgendifraktsioonimustris vastab kindla (hkl)-indeksiga võretasandite kogumile. Braggi seadus seob nende tasandite vahekauguse difraktsiooninurgaga:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Siin tähistab d_hkl tasandite (h,k,l) vahekaugust, λ röntgenikiirguse lainepikkust ja θ difraktsiooninurka. Täheldatud maksimumide sobitamine (hkl)-väärtustega, mida nimetatakse indekseerimiseks, on tundmatu kristallstruktuuri tuvastamise põhietapp.

Materjaliteadus. Eri kristallitasandid paljastavad aatomite erineva paigutuse, mistõttu on neil erinev pindenergia ja keemilise reaktsiooni kiirus ning nad osalevad erinevalt metalli deformeerumises. Tahkkeskmega kuupvõrega metallides, näiteks alumiiniumis, libisevad aatomitasandid kõige kergemini mööda {111}-tasandeid. Arvutikiipide räniplaadid lõigatakse tavaliselt piki (100)- või (111)-tasandit, sest valik mõjutab järgnevate tootmisetappide kulgu.

Mineraloogia. Looduslikul kristallil nähtavad lamedad tahud ja suunad, mille mööda mineraal puhtalt lõheneb ehk millel esineb lõhenevus, vastavad mõlemad kindlatele väikese indeksiga tasanditele. Haliit ehk kivisool lõheneb mööda {100}-tasandeid ja fluoriit mööda {111}-tasandeid.

Milleri-Bravais’ indeksid kuusnurksete kristallide jaoks

Kuusnurkseid kristalle, näiteks magneesiumi, tsinki ja titaani, kirjeldatakse tavaliselt nelja indeksiga süsteemi (hkil) abil kolme indeksi asemel. Lisanduv indeks i ei ole sõltumatu; see on alati i = -(h+k). See kuju teeb lihtsamaks näha, et kaks tasandit kuuluvad samasse sümmeetria poolest ekvivalentsete tasandite perekonda, mida kolmemõõtmelise Milleri tähistuse põhjal kuusnurkses võres alati selgelt ei näe.

Ajalugu

Milleri indeksid võttis kasutusele William Hallowes Miller oma 1839. aasta raamatus A Treatise on Crystallography. Kristallipindade märkimiseks olid varemgi süsteemid olemas, kuid Milleri meetod, mis kasutab lõikepunktide pöördväärtusi, hõlbustas teljega paralleelsete tasandite käsitlemist, sest nende lõikepunkt asub lõpmatuses ja pöördväärtus on lihtsalt 0. Pärast seda, kui Max von Laue avastas aastal 1912 kristallide röntgendifraktsiooni, näitasid William Henry Bragg ja William Lawrence Bragg, et Milleri indeksid kirjeldavad täpselt difraktsioonimaksimumide eest vastutavaid tasandeid; selle töö eest jagasid nad 1915. aasta Nobeli füüsikaauhinda.

Korduma kippuvad küsimused

Milleks Milleri indekseid kasutatakse? Need identifitseerivad kristallivõres kindlad tasandid. Neid kasutatakse röntgeni- ja elektronidifraktsiooni maksimumide indekseerimiseks, metallide libisemistasandite kirjeldamiseks, pooljuhtplaatide orientatsiooni määramiseks ning mineraalide tahkude ja lõhenevuse tähistamiseks.

Mida tähendab null Milleri indeksis? See tähendab, et tasand on selle teljega paralleelne ega lõika seda kunagi. Näiteks (201) on y-teljega paralleelne.

Mida tähendavad negatiivsed Milleri indeksid? Need tähendavad, et tasand lõikab vastavat telge lähtekohast negatiivsel poolel. Negatiivne indeks kirjutatakse arvule tõmmatud kriipsuga, näiteks (2̄11), või miinusmärgiga, näiteks (-2,1,1).

Miks ei saa lähtekohta läbival tasandil olla Milleri indekseid? Milleri indeksid saadakse lõikepunkti pöördväärtusest. Lähtekohta läbiv tasand lõikab iga telge punktis 0 ning 1/0 on määramata, mistõttu ei saa meetod indekseid määrata enne, kui tasandit nihutatakse.

Mis vahe on Milleri ja Milleri-Bravais’ indeksitel? Milleri indeksid (hkl) kasutavad kolme arvu ja sobivad igale kristallisüsteemile. Milleri-Bravais’ indeksid (hkil) lisavad neljanda, sõltuva indeksi ning neid kasutatakse peamiselt kuusnurksete kristallide puhul, kus need hõlbustavad sümmeetria poolest ekvivalentsete tasandite äratundmist.

Kuidas on tasandite vahekaugus seotud Milleri indeksitega? Servapikkusega a kuupkristallis on kõrvutiste (hkl)-tasandite vahekaugus d = a / √(h² + k² + l²). Suuremate indeksitega tasandid paiknevad üksteisele lähemal. Teistes kristallisüsteemides kasutatakse sarnast, kuid keerukamat valemit, mis arvestab telgede ebavõrdseid pikkusi ja mitte-90° nurki.

Viited

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W. ja Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4. väljaanne). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D. ja Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3. väljaanne). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.