Gamma Distribution Calculator

Sissejuhatus

Gamma jaotust kasutatakse laialdaselt erinevates teaduse, inseneritehnika ja rahanduse valdkondades. Seda iseloomustavad kaks parameetrit: kuju parameeter (k või α) ja skaala parameeter (θ või β). See kalkulaator võimaldab teil arvutada gamma jaotuse erinevaid omadusi nende sisendparameetrite põhjal.

Valem

Gamma jaotuse tiheduse funktsioon (PDF) on antud järgmiselt:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Kus:

• x > 0 on juhuslik muutuja
• k > 0 on kuju parameeter
• θ > 0 on skaala parameeter
• Γ(k) on gamma funktsioon

Kumulatiivne jaotuse funktsioon (CDF) on:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Kus γ(k, x/θ) on madalam katkestatud gamma funktsioon.

Gamma jaotuse peamised omadused hõlmavad:

1. Keskmine: $E[X] = k\theta$
2. Variatsioon: $Var[X] = k\theta^2$
3. Kaldus: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$

Kuidas seda kalkulaatorit kasutada

1. Sisestage kuju parameeter (k või α)
2. Sisestage skaala parameeter (θ või β)
3. Klõpsake "Arvuta", et arvutada gamma jaotuse erinevaid omadusi
4. Tulemused näitavad keskmist, variatsiooni, kaldust, kurtosis ja muid asjakohaseid andmeid
5. Kuvatakse tõenäosusjaotuse funktsiooni visualiseerimine

Arvutamine

Kalkulaator kasutab ülaltoodud valemeid gamma jaotuse erinevate omaduste arvutamiseks. Siin on samm-sammuline selgitus:

1. Kontrollige sisendparameetreid (nii k kui θ peavad olema positiivsed)
2. Arvutage keskmine: $k\theta$
3. Arvutage variatsioon: $k\theta^2$
4. Arvutage kaldus: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Arvutage kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$
6. Arvutage mood: $(k-1)\theta$ juhul, kui k ≥ 1, vastasel juhul 0
7. Looge punktid PDF kõvera jaoks, kasutades ülaltoodud valemit
8. Joonistage PDF kõver

Numbrilised kaalutlused

Gamma jaotuse arvutuste rakendamisel tuleks arvesse võtta mitmeid numbrilisi kaalutlusi:

1. Väga väikeste kuju parameetrite (k < 1) korral võib PDF läheneda lõpmatusele, kui x läheneb 0, mis võib põhjustada numbrilist ebastabiilsust.
2. Suurte kuju parameetrite korral võib gamma funktsioon Γ(k) muutuda väga suureks, mis võib põhjustada ülevoolu. Sellistel juhtudel on soovitatav töötada gamma funktsiooni logaritmiga.
3. CDF arvutamisel on sageli numbriliselt stabiilsem kasutada spetsialiseeritud algoritme katkestatud gamma funktsiooni jaoks, mitte PDF otsest integreerimist.
4. Ekstreemsete parameeterväärtuste korral võib olla vajalik kasutada pikendatud täpsuse aritmeetikat täpsuse säilitamiseks.

Kasutusalad

Gamma jaotusel on mitmeid rakendusi erinevates valdkondades:

1. Rahandus: Tulu jaotuste, kindlustusnõuete summade ja varade tootluse modelleerimine
2. Meteoroloogia: Sademe mustrite ja muude ilmateaduslike nähtuste analüüs
3. Inseneritehnika: Usaldusanalüüs ja rikkeaja modelleerimine
4. Füüsika: Ooteaegade kirjeldamine radioaktiivsete lagunemisürituste vahel
5. Bioloogia: Liikide küllus ja geenide ekspressioonitasemete modelleerimine
6. Operatsioonide uurimine: Ooteooria ja laovarude haldamine

Alternatiivid

Kuigi gamma jaotus on mitmekülgne, võivad teatud olukordades olla sobivamad seotud jaotused:

1. Eksponentsiaalne jaotus: Gamma jaotuse erijuht, kui k = 1
2. Chi-ruudustik: Gamma jaotuse erijuht, kui k = n/2 ja θ = 2
3. Weibulli jaotus: Sageli kasutatakse alternatiivina usaldusanalüüsis
4. Log-normaalne jaotus: Veel üks levinud valik, et modelleerida kallutatud, positiivseid andmeid

Parameetrite hindamine

Töötades reaalse maailma andmetega, on sageli vajalik gamma jaotuse parameetrite hindamine. Levinud meetodid hõlmavad:

1. Momentide meetod: Proovimomentide võrdlemine teoreetiliste momentidega
2. Maksimaalse tõenäosuse hindamine (MLE): Parameetrite leidmine, mis maksimeerivad andmete vaatamise tõenäosuse
3. Bayesi hindamine: Parameetrite kohta eelneva teadmise kaasamine

Hüpoteeside testimine

Gamma jaotust saab kasutada erinevates hüpoteeside testides, sealhulgas:

1. Hea sobivuse testid, et määrata, kas andmed järgivad gamma jaotust
2. Testid kahe gamma jaotuse skaala parameetrite võrdsuse määramiseks
3. Testid kahe gamma jaotuse kuju parameetrite võrdsuse määramiseks

Ajalugu

Gamma jaotusel on matemaatikas ja statistikas rikkalik ajalugu:

• 18. sajand: Leonhard Euler tutvustas gamma funktsiooni, mis on tihedalt seotud gamma jaotusega
• 1836: Siméon Denis Poisson kasutas gamma jaotuse erijuhtu oma töös tõenäosusteoorias
• 1920ndad: Ronald Fisher populariseeris gamma jaotuse kasutamist statistilises analüüsis
• 20. sajandi keskpaik: Gamma jaotus sai laialdaselt kasutusele usaldusanalüüsis ja eluea testimises
• 20. sajandi lõpust kuni tänaseni: Arvutustehnika edusammud on muutnud gamma jaotustega töötamise erinevates rakendustes lihtsamaks

Näited

Siin on mõned koodi näited gamma jaotuse omaduste arvutamiseks:

1' Excel VBA funktsioon gamma jaotuse PDF jaoks
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Kasutamine:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Gamma jaotus (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Tõenäosuse tihedus')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Näidis kasutamine:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Arvutage omadused
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Keskmine: {mean}")
29print(f"Variatsioon: {variance}")
30print(f"Kaldus: {skewness}")
31print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Keskmine: ${mean}`);
19    console.log(`Variatsioon: ${variance}`);
20    console.log(`Kaldus: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Näidis kasutamine:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Joonista PDF (kasutades hüpoteetilist joonistusraamatukogu)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Need näited demonstreerivad, kuidas arvutada gamma jaotuse omadusi ja visualiseerida selle tõenäosusjaotuse funktsiooni erinevates programmeerimiskeeltes. Saate neid funktsioone kohandada oma konkreetsete vajaduste jaoks või integreerida need suurematesse statistilise analüüsi süsteemidesse.

Viidatud allikad

1. "Gamma Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Juurdepääs 2. aug. 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistical distributions. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). A note on the gamma distribution. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). A generalization of the gamma distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.