Gamma jaotuse kalkulaator - Statistilise analüüsi tööriist

Mis on gammajaotuse kalkulaator?

Gammajaotuse kalkulaator leiab gammajaotuse keskväärtuse, dispersiooni, asümmeetria, järskuse ja moodi kahe sisendi põhjal: kujuparameeter ja skaaleerimisparameeter. Samuti joonistab see jaotuse tõenäosustiheduse funktsiooni kõverana.

Mis on gammajaotus?

Gammajaotus on positiivsete väärtuste pidev tõenäosusjaotus. Selle määravad kaks parameetrit: kujuparameeter, mida tähistatakse tavaliselt tähega k, ja skaaleerimisparameeter, mida tähistatakse tavaliselt tähega θ (teeta). Mõlemad peavad olema nullist suuremad. Gammajaotust kasutatakse selliste suuruste modelleerimiseks, mis ei saa olla negatiivsed, näiteks sademete koguhulkade, kindlustusnõuete suuruste ja masinaosa rikkeni kuluva aja korral.

Gammajaotuse valem

Gammajaotuse tõenäosustiheduse funktsioon (PDF) on:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Siin on x väärtus, mille juures tihedust mõõdetakse, ja Γ(k) on gammafunktsioon, faktoriaali üldistus mittetäisarvudele. Valem kehtib ainult juhul x > 0; kõikjal mujal on tihedus null.

Kuidas arvutada gammajaotuse omadusi?

Kujuparameetri k ja skaaleerimisparameetri θ põhjal leiab kalkulaator järgmised suurused:

• Keskväärtus: k × θ
• Dispersioon: k × θ²
• Asümmeetria: 2 / √k
• Järskus: 3 + 6 / k
• Mood: (k − 1) × θ, kui k ≥ 1, vastasel juhul 0

Asümmeetria näitab, kui viltu on kõver. Väiksem k tekitab pikema parempoolse saba. Järskus näitab, kui rasked on sabad võrreldes normaaljaotusega, mille järskus on 3. Mood on x-väärtus, kus kõver saavutab maksimumi. Kui k on väiksem kui 1, kasvab tihedus x lähenemisel väärtusele 0 pidevalt, mistõttu sisemist maksimumi ei ole ja kalkulaator annab moodi väärtuseks 0.

Näidisarvutus

Võtame kujuparameetriks k = 2 ja skaaleerimisparameetriks θ = 3.

• Keskväärtus = 2 × 3 = 6
• Dispersioon = 2 × 3² = 18
• Asümmeetria = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Järskus = 3 + 6 / 2 = 6
• Mood = (2 − 1) × 3 = 3

Moodi kohal, x = 3, on tihedus f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Kui mõlemad parameetrid on sisestatud, joonistab kalkulaator kogu kõvera automaatselt.

Kuidas kasutada gammajaotuse kalkulaatorit?

1. Sisestage kujuparameeter (k), positiivne arv.
2. Sisestage skaaleerimisparameeter (θ), positiivne arv.
3. Keskväärtus, dispersioon, asümmeetria, järskus ja mood kuvatakse kohe, kui mõlemal väljal on kehtivad arvud. Eraldi arvutusnuppu ei ole; tulemused uuenevad arvude sisestamise ajal.
4. Tulemuste all olev graafik näitab tõenäosustiheduse funktsiooni. See joonistatakse vahetult väärtusest x = 0 suurema väärtuseni kolmest keskväärtusest või viiest skaaleerimisparameetrist.

Mõlemad parameetrid peavad olema lõplikud arvud, mis on suuremad kui 0, ja kumbki ei tohi olla suurem kui 1000. Ka väärtused, mis on väiksemad kui ligikaudu 2 × 10⁻¹⁶, lükatakse tagasi, sest selle suuruse juures ei ole koondnäitajad enam tähenduslikud. Lubatud vahemikust väljapoole jääva väärtuse korral kuvatakse tulemuste asemel veateade.

Kus gammajaotust kasutatakse?

Gammajaotusega modelleeritakse paljusid tegelikke suurusi, mis on alati positiivsed ja sageli paremale viltused:

• Kindlustus: nõuete suurused ja väljamaksesummad
• Meteoroloogia: sademete koguhulk kindla ajavahemiku jooksul
• Tehnika: komponendi rikkeni kuluv aeg
• Järjekorrateooria: mitmest eksponentsiaalsest etapist koosnevad ooteajad
• Bioloogia: geeniekspressiooni tasemed ja liigiarvukuse andmed

Seotud jaotused

Kaks tuntud jaotust on gammajaotuse erijuhud:

• Eksponentjaotus: gammajaotus, mille korral k = 1
• hii-ruutjaotus: gammajaotus, mille korral k = n/2 ja θ = 2, kus n on vabadusastmete arv

Weibulli ja lognormaaljaotus on tavalised alternatiivid positiivsete ja viltuste andmete modelleerimisel.

Korduma kippuvad küsimused

Milleks gammajaotust kasutatakse? See modelleerib pidevaid positiivseid suurusi, näiteks ooteaegu, sademete hulki ja kindlustusnõudeid, eriti siis, kui andmed kalduvad suuremate väärtuste poole.

Kuidas leida gammajaotuse keskväärtust? Korrutage kujuparameeter skaaleerimisparameetriga: keskväärtus = k × θ. Kui k = 2 ja θ = 3, on keskväärtus 6.

Mis vahe on kuju- ja skaaleerimisparameetril? Kujuparameeter (k) määrab kõvera kuju, sealhulgas selle asümmeetria. Skaaleerimisparameeter (θ) venitab või surub kõverat x-telje suunas, muutmata selle põhikuju.

Kuidas on gammajaotus seotud eksponentjaotusega? Eksponentjaotus on gammajaotus kujuparameetriga k = 1.

Kas gammajaotusel võib olla negatiivseid väärtusi? Ei. See on määratud ainult juhul x > 0. Negatiivseid väärtusi sisaldavad andmed vajavad teistsugust jaotust, näiteks normaaljaotust.

Kas see kalkulaator arvutab kumulatiivse jaotusfunktsiooni? Ei. See arvutab keskväärtuse, dispersiooni, asümmeetria, järskuse ja moodi ning joonistab tõenäosustiheduse funktsiooni. Kumulatiivse tõenäosuse väärtusi see ei väljasta.

Viited

1. "Gamma distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S. ja Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, köide 1. John Wiley & Sons.