Binomiaaljaotuse kalkulaator - Tasuta tõenäosuse tööriist

Mis on binoomjaotuse kalkulaator?

Binoomjaotuse kalkulaator leiab tõenäosuse saada kindel arv õnnestumisi kindlas arvus sõltumatutes katsetes, kui igal katsel on sama õnnestumise tõenäosus. Seda kasutatakse statistikas, kvaliteedikontrollis, meditsiinis ja kõigis valdkondades, kus uuritakse korduvaid jah-ei-sündmusi.

Selle aluseks on binoomjaotus, tõenäosusmudel õnnestumiste loendamiseks korduvates katsetes, millel on ainult kaks võimalikku tulemust, mida tavaliselt nimetatakse õnnestumiseks ja ebaõnnestumiseks.

Binoomjaotuse valem

Täpselt k õnnestumise tõenäosus n katses on:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Iga sümbol tähendab:

• n — katsete arv.
• k — õnnestumiste arv, mille tõenäosust leitakse.
• p — ühel katsel õnnestumise tõenäosus, arv 0 ja 1 vahel.
• $\binom{n}{k}$ — binoomkordaja ehk erinevate viiside arv valida n katsest k õnnestumist. See võrdub $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Kõik katsed peavad olema sõltumatud: ühe katse tulemus ei muuda teise katse tõenäosust ning õnnestumise tõenäosus p peab kõigil katsetel samaks jääma. Ühte kahe võimaliku tulemusega katset, näiteks mündiviset, nimetatakse Bernoulli katseks. Binoomjaotus saadakse n Bernoulli katse tulemuste liitmisel.

Kuidas arvutada binoomtõenäosust

1. Märgi üles n, k ja p.
2. Arvuta binoomkordaja $\binom{n}{k}$ ehk viiside arv, kuidas paigutada k õnnestumist n katse hulka.
3. Astenda p astmesse k.
4. Astenda (1 − p) astmesse (n − k).
5. Korruta kolm arvu omavahel.

Selle lehe kalkulaator teeb need sammud automaatselt. Sisesta n, p ja k ning see annab tulemuse P(X = k) koos tulpdiagrammiga, mis näitab iga võimaliku tulemuse tõenäosust alates 0 õnnestumisest kuni n õnnestumiseni.

Näidisarvutus

Näide 1: mündivisked

Visatakse ausat münti 10 korda. Kui suur on tõenäosus saada täpselt 3 kulli?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Tulemus: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172 ehk ligikaudu 11,72%

Näide 2: kvaliteedikontroll

Tehas kontrollib 100 toodet. Iga toote defektseks osutumise tõenäosus on 2%. Kui suur on tõenäosus, et ükski 100 tootest ei ole defektne?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Kuna k = 0, taandub valem kujule $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Tulemus: ≈ 0,1326 ehk ligikaudu 13,26%

Näide 3: haigustestimine

Linn testib 1 000 inimest haiguse suhtes, mis nakatab 0,1% elanikkonnast (p = 0,001). Kui suur on tõenäosus, et täpselt 5 1 000 inimesest on nakatunud?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Tulemus: 8 250 291 250 200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305 ehk ligikaudu 0,30% (täpne väärtus 0,0030488 ehk 0,30488%)

Keskväärtus ja dispersioon

Parameetritega n ja p binoomjaotuse korral:

• Keskväärtus (oodatav väärtus): E(X) = np
• Dispersioon: Var(X) = np(1 − p)
• Standardhälve: σ = √[np(1 − p)]

Keskväärtus näitab paljude korduste korral eeldatavat õnnestumiste keskmist arvu. Näites 1 on keskväärtus 10 × 0,5 = 5 kulli.

Milliseid väärtusi kalkulaator aktsepteerib

• n peab olema vähemalt 1-le võrdne täisarv. Kümnendväärtus ümardatakse lähima katsete täisarvuni, seega käsitletakse väärtust 10,9 väärtusena 11.
• p peab jääma 0 ja 1 vahele, mõlemad otspunktid kaasa arvatud.
• k peab olema vähemalt 0-le võrdne täisarv ega tohi olla suurem kui n. 8 õnnestumise saamine 5 katses on võimatu, seega kuvab kalkulaator arvu asemel veateate.

Kui mõni väli jäetakse tühjaks, ei kuva kalkulaator tulemuse ega diagrammi asemel midagi, mitte ei paku oletatavat väärtust.

Millal binoomjaotus kehtib

Binoomjaotus sobib olukorraga ainult siis, kui kõik neli tingimust on täidetud:

1. Katsete arv n on ette kindlaks määratud.
2. Igal katsel on ainult kaks tulemust: õnnestumine või ebaõnnestumine.
3. Õnnestumise tõenäosus p on igal katsel sama.
4. Katsed on üksteisest sõltumatud.

Kaartide võtmine pakist ilma tagasipanekuta rikub sõltumatuse tingimust, sest kaardi eemaldamine muudab järgmise tõmbe tõenäosusi. Sellises olukorras tuleb kasutada hoopis hüpergeomeetrilist jaotust.

Seotud jaotused

• Poissoni jaotus: kasutatakse binoomjaotuse lähendamiseks, kui n on suur ja p väike, nii et õnnestumiste keskmine arv (np) jääb mõõdukaks. Seda kasutatakse sageli haruldaste sündmuste, näiteks näites 3 käsitletud haigusjuhtude modelleerimiseks.
• Normaaljaotus: suure n korral ja siis, kui p ei ole liiga lähedal väärtustele 0 või 1, on binoomjaotus ligikaudu kellukakujuline ning seda saab lähendada normaaljaotusega, mille keskväärtus on np ja dispersioon np(1 − p).
• Hüpergeomeetriline jaotus: kasutatakse binoomjaotuse asemel, kui lõplikust üldkogumist tehakse valim ilma tagasipanekuta.

Korduma kippuvad küsimused

Mida teeb binoomjaotuse kalkulaator?

See arvutab täpselt k õnnestumise tõenäosuse n sõltumatus katses, millest igaühe õnnestumise tõenäosus on p, kasutades valemit P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Mis vahe on binoomjaotusel ja normaaljaotusel?

Binoomjaotus on diskreetne, mis tähendab, et see annab ainult õnnestumiste täisarvulisi loendusi. Normaaljaotus on pidev. Suure n korral saab binoomjaotust lähendada normaaljaotuskõveraga, mille keskväärtus on np ja dispersioon np(1 − p).

Kas p võib olla 0 või 1?

Jah. Kui p = 0, ei saa ükski katse õnnestuda, seega P(X = 0) = 1. Kui p = 1, õnnestub iga katse, seega P(X = n) = 1. Kõigi teiste k väärtuste tõenäosus on neil juhtudel 0.

Milline on binoom- ja Bernoulli jaotuse seos?

Bernoulli jaotus kirjeldab üht kahe tulemusega katset (n = 1). Binoomjaotus on n sõltumatu Bernoulli katse summa, seega on Bernoulli jaotus lihtsalt binoomjaotus väärtusega n = 1.

Kui suureks võib n kasvada, enne kui kalkulaator muutub ebatäpseks?

Kalkulaator kasutab standardset kahekordse täpsusega aritmeetikat. See korrutab valemi kolm osa otse ning lülitub logaritmidele, kui binoomkordaja kasvab suuremaks kui suurim arv, mida kahekordse täpsusega saab esitada. See juhtub ligikaudu n = 1 000 korral, kui k on lähedal väärtusele n/2. Tulemused jäävad ka sellest piirist suuremate väärtuste korral õigeks. Tõenäosus, mis on väiksem kui ligikaudu 1e-308, esitatakse kujul 0, sest ükski kahekordse täpsusega arv ei suuda seda talletada.

Kuidas arvutatakse binoomkordaja?

Binoomkordaja C(n, k) loendab viisid, kuidas valida n elemendi hulgast k elementi, sõltumata järjekorrast. See võrdub n! / (k! × (n − k)!). Kalkulaator koostab selle sammhaaval, korrutades ühe teguriga ja jagades järgmisega, nii et kogu faktoriaali ei ole vaja talletada. Väga suurte n väärtuste korral liidab see nende tegurite logaritmid.

Viited

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L. jt Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.