ماشین‌حساب قوس - محاسبه شعاع، دهانه و ارتفاع

ماشین‌حساب قوس چیست؟

ماشین‌حساب قوس، ابعاد یک قوس دایره‌ای—شعاع، دهانه و خیز آن—را با دریافت هر دو مورد از این مقادیر پیدا می‌کند. همچنین طول کمان و مساحت قوس را محاسبه می‌کند. معماران، سازندگان و علاقه‌مندان از آن برای طراحی درگاه‌ها، پنجره‌ها، پل‌ها و عناصر باغیِ منحنی‌شکل استفاده می‌کنند.

ابعاد اصلی قوس

قوس دایره‌ای بخشی است که از لبه یک دایره بریده شده باشد. پنج اندازه شکل آن را توصیف می‌کنند:

• شعاع: فاصله از مرکز دایره تا هر نقطه روی منحنی قوس.
• دهانه: فاصله افقی مستقیم بین دو انتهای پایینی قوس که عرض نیز نامیده می‌شود.
• خیز: فاصله عمودی از خط پاکار، یعنی خط افقیِ وصل‌کننده دو انتها، تا بالاترین نقطه قوس.
• طول کمان: فاصله در امتداد خط منحنی قوس، از یک انتها تا انتهای دیگر.
• مساحت قوس: مساحت ناحیه منحنیِ محصور بین قوس و خط پاکار.

فرمول‌های ابعاد قوس

این فرمول‌ها برای قوس دایره‌ای به‌کار می‌روند؛ یعنی قوسی که از بخشی از یک دایره تشکیل شده است. آن‌ها برای هر خیزی تا دو برابر شعاع معتبرند. این محدوده قوس‌های درگاه، پنجره و پلی را که بیشتر افراد محاسبه می‌کنند دربرمی‌گیرد و قوس‌های نعل‌اسبی را نیز شامل می‌شود؛ قوس‌هایی که منحنی‌شان از نیم‌دایره فراتر می‌رود.

فرمول خیز (از روی شعاع و دهانه)

$\text{خیز} = \text{شعاع} - \sqrt{\text{شعاع}^2 - \left(\frac{\text{دهانه}}{2}\right)^2}$

وقتی شعاع و دهانه مثبت باشند و دهانه ≤ ۲ × شعاع، معتبر است.

فرمول شعاع (از روی دهانه و خیز)

$\text{شعاع} = \frac{\text{دهانه}^2}{8 \times \text{خیز}} + \frac{\text{خیز}}{2}$

وقتی دهانه و خیز مثبت باشند، معتبر است.

فرمول دهانه (از روی شعاع و خیز)

$\text{دهانه} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{شعاع} \times \text{خیز} - \text{خیز}^2}$

وقتی شعاع و خیز مثبت باشند و خیز ≤ ۲ × شعاع، معتبر است.

فرمول طول کمان

$\text{طول کمان} = \text{شعاع} \times \theta$

در اینجا θ (تتا) زاویه مرکزی، برحسب رادیان، است که منحنی قوس در مرکز دایره ایجاد می‌کند. وقتی خیز از شعاع بیشتر نباشد، قوس حداکثر یک نیم‌دایره است و θ برابر است با:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{دهانه}}{2 \times \text{شعاع}}\right)$

وقتی خیز از شعاع بیشتر باشد، قوس بیش از یک نیم‌دایره است و θ ادامه مسیر تا آن سوی دایره را دربرمی‌گیرد:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{دهانه}}{2 \times \text{شعاع}}\right)$

ماشین‌حساب هر دو حالت را با یک گام پوشش می‌دهد: θ = ۲ × atan2(دهانه ÷ ۲، شعاع − خیز)؛ این روش در حالت نیم‌دایره نیز دقیق باقی می‌ماند.

فرمول مساحت قوس

$\text{مساحت قوس} = \frac{1}{2} \times \text{شعاع}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{دهانه} \times (\text{شعاع} - \text{خیز})$

روش استفاده از ماشین‌حساب قوس

ماشین‌حساب سه حالت دارد؛ هر حالت برای یکی از ابعادی است که ممکن است نامعلوم باشد.

محاسبه خیز، زمانی که شعاع و دهانه مشخص باشند: شعاع و دهانه را وارد کنید. ابزار خیز، طول کمان و مساحت قوس را برمی‌گرداند.

محاسبه شعاع، زمانی که دهانه و خیز مشخص باشند: دهانه و خیز را وارد کنید. ابزار شعاع، طول کمان و مساحت قوس را برمی‌گرداند.

محاسبه دهانه، زمانی که شعاع و خیز مشخص باشند: شعاع و خیز را وارد کنید. ابزار دهانه، طول کمان و مساحت قوس را برمی‌گرداند.

ماشین‌حساب ورودی‌هایی را که نمی‌توانند یک قوس واقعی تشکیل دهند رد می‌کند. دهانه نمی‌تواند از دو برابر شعاع بیشتر باشد، خیز نمی‌تواند از دو برابر شعاع بیشتر باشد و همه ابعاد باید اعدادی مثبت باشند. اگر مقداری یکی از این قواعد را نقض کند، پیام خطا نشان داده می‌شود.

مثال حل‌شده

مثال ۱: قوس درگاه

دهانه یک قوس درگاه ۳۶ اینچ (۹۱٫۴ cm) و خیز آن ۱۲ اینچ (۳۰٫۵ cm) است.

شعاع = (۳۶² ÷ (۸ × ۱۲)) + (۱۲ ÷ ۲) = (۱۲۹۶ ÷ ۹۶) + ۶ = ۱۳٫۵ + ۶ = ۱۹٫۵ اینچ (۴۹٫۵ cm)

θ = ۲ × arcsin(۱۸ ÷ ۱۹٫۵) = ۲ × arcsin(۰٫۹۲۳۱) = ۲ × ۱٫۱۷۶ = ۲٫۳۵۲ رادیان

طول کمان = ۱۹٫۵ × ۲٫۳۵۲ = ۴۵٫۸۶ اینچ (۱۱۶ cm)

مساحت قوس = (۰٫۵ × ۱۹٫۵² × ۲٫۳۵۲) − (۰٫۵ × ۳۶ × (۱۹٫۵ − ۱۲)) = ۴۴۷٫۱۸ − ۱۳۵ = ۳۱۲٫۱۸ اینچ مربع (۲٬۰۱۰ cm²)

مثال ۲: قوس باغی

شعاع یک قوس باغی ۴ فوت (۱٫۲ m) و دهانه آن ۶ فوت (۱٫۸ m) است.

خیز = ۴ − √(۴² − (۶ ÷ ۲)²) = ۴ − √(۱۶ − ۹) = ۴ − ۲٫۶۴۵۸ = ۱٫۳۵ فوت (۰٫۴۱۱ m)

θ = ۲ × arcsin(۳ ÷ ۴) = ۲ × arcsin(۰٫۷۵) = ۲ × ۰٫۸۴۸ = ۱٫۶۹۶ رادیان

طول کمان = ۴ × ۱٫۶۹۶ = ۶٫۷۸ فوت (۲٫۰۷ m)

مساحت قوس = (۰٫۵ × ۴² × ۱٫۶۹۶) − (۰٫۵ × ۶ × (۴ − ۱٫۳۵۴۲)) = ۱۳٫۵۷ − ۷٫۹۴ = ۵٫۶۳ فوت مربع (۰٫۵۲۳ m²)

مثال ۳: قوس پل

دهانه یک قوس پل ۵۰ فوت (۱۵ m) و خیز آن ۱۵ فوت (۴٫۵۷ m) است.

شعاع = (۵۰² ÷ (۸ × ۱۵)) + (۱۵ ÷ ۲) = (۲۵۰۰ ÷ ۱۲۰) + ۷٫۵ = ۲۰٫۸۳ + ۷٫۵ = ۲۸٫۳۳ فوت (۸٫۶۳ m)

θ = ۲ × arcsin(۲۵ ÷ ۲۸٫۳۳) = ۲ × arcsin(۰٫۸۸۲۴) = ۲ × ۱٫۰۸۱ = ۲٫۱۶۲ رادیان

طول کمان = ۲۸٫۳۳ × ۲٫۱۶۲ = ۶۱٫۲۵ فوت (۱۸٫۷ m)

مساحت قوس = (۰٫۵ × ۲۸٫۳۳² × ۲٫۱۶۲) − (۰٫۵ × ۵۰ × (۲۸٫۳۳ − ۱۵)) = ۸۶۷٫۶۷ − ۳۳۳٫۳۳ = ۵۳۴٫۳۴ فوت مربع (۴۹٫۶ m²)

کاربردهای رایج محاسبات قوس

سازندگان از ابعاد قوس برای بریدن قالب قوس‌های بتنی، آماده‌سازی الگوهای آجری یا سنگی برای قوس‌های بنایی و طراحی انحنای سقف‌های طاق‌دار استفاده می‌کنند. طراحان پل از دهانه، خیز و شعاع برای ایجاد تعادل میان توزیع بار و فضای عبور بهره می‌گیرند. در مرمت، همین فرمول‌ها برای تطبیق دقیق هندسه یک قوس تاریخی هنگام تعمیر یا بازسازی آن به‌کار می‌روند. باغبانان و سازندگان خانگی نیز از آن‌ها برای داربست‌های قوسی، دروازه‌ها و بازشوهای تزئینی استفاده می‌کنند.

این ماشین‌حساب فقط قوس‌های دایره‌ای را پوشش می‌دهد؛ قوس‌هایی که از کمان یک دایره تشکیل شده‌اند. قوس‌های بیضوی، سهموی، گوتیک و زنجیری منحنی‌های متفاوتی دارند و به فرمول‌های دیگری نیازمندند.

تاریخچه‌ای کوتاه از قوس

سازندگان در میان‌رودان باستان از شکل‌های اولیه شبیه قوس دست‌کم از ۲۵۰۰ پیش از میلاد استفاده می‌کردند، هرچند بیشتر آن‌ها با روش پیش‌آمدگی ساخته می‌شدند؛ یعنی سنگ‌ها طوری روی هم چیده می‌شدند که هر لایه کمی از لایه زیرین جلوتر باشد، نه به‌صورت یک قوس منحنی واقعی. رومیان قوس نیم‌دایره‌ای را به روشی استاندارد در ساختمان‌سازی تبدیل کردند و آن را در آب‌راهه‌ها، پل‌ها و بناهایی مانند کولوسئوم به‌کار بردند. سازندگان قرون وسطی در اروپا قوس نوک‌تیز گوتیک را توسعه دادند که امکان ساخت سازه‌های بلندتر و سبک‌تر را فراهم می‌کرد. معماران دوره‌های بعد به شکل‌های نیم‌دایره‌ای مبتنی بر تناسبات دقیق بازگشتند و امروزه موادی مانند فولاد و بتن مسلح امکان پوشش دهانه‌های بسیار بزرگ‌تری را برای قوس‌ها فراهم می‌کنند.

پرسش‌های متداول

تفاوت خیز و ارتفاع در یک قوس چیست؟

خیز فاصله عمودی از خط پاکار تا بالای منحنی قوس است. ارتفاع گاهی به ارتفاع کلی یک بازشو اشاره دارد که هر دیوار مستقیم زیر خط پاکار را نیز شامل می‌شود.

آیا این ماشین‌حساب برای همه انواع قوس کار می‌کند؟

خیر. این ماشین‌حساب فقط برای قوس‌های دایره‌ای، یعنی قوس‌هایی به شکل بخشی از یک دایره، کار می‌کند. قوس‌های بیضوی، سهموی، گوتیک و زنجیری منحنی‌های متفاوتی دارند و به فرمول‌های جداگانه نیازمندند.

رابطه میان دهانه و شعاع در یک قوس نیم‌دایره‌ای چیست؟

در یک قوس نیم‌دایره‌ای، شعاع برابر نصف دهانه و خیز برابر شعاع است. قوس دقیقاً نصف یک دایره را تشکیل می‌دهد.

چرا دهانه نمی‌تواند از دو برابر شعاع بیشتر باشد؟

دهانه‌ای برابر با دو برابر شعاع، از پیش یک نیم‌دایره ایجاد می‌کند که عریض‌ترین قوس ممکن برای آن شعاع است. دهانه‌ای عریض‌تر اصلاً روی دایره جا نمی‌گیرد.

چرا خیز در حالت محاسبه دهانه نمی‌تواند از دو برابر شعاع بیشتر باشد؟

خیز از خط پاکار تا بالاترین نقطه قوس روی همان دایره اندازه‌گیری می‌شود. دو برابر شعاع برابر با ارتفاع کامل آن دایره است؛ بنابراین خیز بیشتر، بالای قوس را کاملاً خارج از دایره قرار می‌دهد. خیزی بین شعاع و دو برابر شعاع مشکلی ندارد. در این حالت قوس بیش از یک نیم‌دایره است؛ همان شکلی که در قوس‌های نعل‌اسبی به‌کار می‌رود.

ماشین‌حساب از چه واحدهایی استفاده می‌کند؟

هر واحد سازگاری قابل استفاده است—اینچ، فوت، متر یا سانتی‌متر. همه مقادیر را با یک واحد وارد کنید تا نتایج نیز با همان واحد، و مساحت با مربع آن واحد، ارائه شوند.