محاسبه‌گر نرخ نفوذ | ابزار رایگان قانون گراهام

ماشین‌حساب نرخ تراوش چیست؟

ماشین‌حساب نرخ تراوش تعیین می‌کند که یک گاز با چه سرعتی در مقایسه با گازی دیگر از سوراخی بسیار کوچک خارج می‌شود. این ابزار از قانون تراوش گراهام استفاده می‌کند؛ قانونی که سرعت خروج گاز را به جرم مولی و دمای آن مرتبط می‌کند. تراوش زمانی رخ می‌دهد که مولکول‌های گاز یکی‌یکی از دهانه‌ای آن‌قدر کوچک عبور کنند که هنگام عبور با یکدیگر برخورد نکنند.

فرمول قانون تراوش گراهام

قانون گراهام نرخ تراوش دو گاز، گاز ۱ و گاز ۲، را مقایسه می‌کند:

$\frac{\text{نرخ}_1}{\text{نرخ}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

• Rate₁ و Rate₂ نرخ‌های تراوش گاز ۱ و گاز ۲ هستند.
• M₁ و M₂ جرم‌های مولی گاز ۱ و گاز ۲، بر حسب گرم بر مول (g/mol)، هستند.
• T₁ و T₂ دماهای مطلق گاز ۱ و گاز ۲، بر حسب کلوین (K)، هستند.

نتیجه‌ای بزرگ‌تر از ۱ یعنی گاز ۱ سریع‌تر از گاز ۲ تراوش می‌کند. نتیجه‌ای کوچک‌تر از ۱ یعنی گاز ۲ سریع‌تر است. نتیجه دقیقاً برابر با ۱ یعنی هر دو گاز با یک نرخ تراوش می‌کنند.

چرا فرمول کار می‌کند

این فرمول از نظریه جنبشی گازها به دست می‌آید. همه گازها در دمای یکسان، انرژی جنبشی متوسط یکسانی دارند: ½mv² = (3/2)kT؛ در این رابطه m جرم یک مولکول، v سرعت آن، k ثابت بولتزمان و T دمای مطلق است. با حل معادله برای سرعت، v = √(۳kT/m) به دست می‌آید. یک مولکول سبک‌تر برای داشتن همان انرژی جنبشی باید سریع‌تر از مولکولی سنگین‌تر حرکت کند. تعداد مولکول‌هایی که هر ثانیه از سوراخ خارج می‌شوند، با آن سرعت و با تعداد مولکول‌ها در واحد حجم متناسب است. ماشین‌حساب دو گازی را مقایسه می‌کند که تعداد مولکول‌هایشان در واحد حجم یکسان است؛ بنابراین جمله چگالی حذف می‌شود و فقط √(T/M) باقی می‌ماند. تقسیم مقدار مربوط به گاز ۱ بر مقدار مربوط به گاز ۲، فرمول بالا را به دست می‌دهد.

دو حالت ساده‌تر

• دمای یکسان. اگر T₁ با T₂ برابر باشد، جمله‌های دما حذف می‌شوند و فرمول به Rate₁/Rate₂ = √(M₂/M₁) تبدیل می‌شود. فقط جرم‌های مولی اهمیت دارند.
• جرم مولی یکسان. اگر M₁ با M₂ برابر باشد، فرمول به Rate₁/Rate₂ = √(T₁/T₂) تبدیل می‌شود. فقط دماها اهمیت دارند.

روش استفاده از ماشین‌حساب نرخ تراوش

1. جرم مولی و دمای گاز ۱ را وارد کنید.
2. جرم مولی و دمای گاز ۲ را وارد کنید.
3. نرخ نسبی تراوش را بخوانید. این مقدار نشان می‌دهد گاز ۱ چند برابر سریع‌تر از گاز ۲ تراوش می‌کند. ماشین‌حساب پاسخ را تا چهار رقم اعشار نشان می‌دهد.

جرم مولی و دما باید هر دو عددی مثبت باشند. دما باید بر حسب کلوین وارد شود، نه سلسیوس یا فارنهایت؛ زیرا فرمول به دمای مطلق وابسته است.

جرم‌های مولی رایج گازها

مثال حل‌شده

مثال ۱: هلیم در برابر متان، با دمای یکسان

جرم مولی هلیم (He) برابر با ۴٫۰۰ g/mol است. جرم مولی متان (CH₄) برابر با ۱۶٫۰۴ g/mol است. دمای هر دو گاز ۲۹۸ K است.

$\frac{\text{نرخ}_{He}}{\text{نرخ}_{CH_4}} = \sqrt{\frac{16.04}{4.00}} \times \sqrt{\frac{298}{298}} = \sqrt{4.01} \times 1 \approx 2.0025$

هلیم تقریباً ۲٫۰۰ برابر سریع‌تر از متان تراوش می‌کند.

ماشین‌حساب با مقادیر ۴٫۰۰ و ۱۶٫۰۰ g/mol در دمای ۲۹۸ K باز می‌شود؛ در اینجا جرم متان به نزدیک‌ترین عدد صحیح گرد شده است. این مقادیر دقیقاً √۴ = ۲٫۰۰۰۰ را به دست می‌دهند و بررسی دستی نسبت را آسان می‌کنند.

مثال ۲: هیدروژن در برابر اکسیژن، با دماهای متفاوت

جرم مولی هیدروژن (H₂) برابر با ۲٫۰۲ g/mol و دمای آن ۴۰۰ K است. جرم مولی اکسیژن (O₂) برابر با ۳۲٫۰۰ g/mol و دمای آن ۳۰۰ K است.

$\sqrt{\frac{32.00}{2.02}} \approx 3.9801 \qquad \sqrt{\frac{400}{300}} \approx 1.1547$

$\frac{\text{نرخ}_{H_2}}{\text{نرخ}_{O_2}} = 3.9801 \times 1.1547 \approx 4.5959$

هیدروژن در دمای ۴۰۰ K تقریباً ۴٫۶۰ برابر سریع‌تر از اکسیژن در دمای ۳۰۰ K تراوش می‌کند. اگر پیش از ضرب، هر ریشه دوم را مانند برخی مثال‌های حل‌شده آنلاین تا دو رقم اعشار گرد کنیم، حاصل ۳٫۹۸ × ۱٫۱۵ = ۴٫۵۸ می‌شود که اندکی نادرست است. نگه‌داشتن رقم‌های اعشار بیشتر تا مرحله نهایی از این خطا جلوگیری می‌کند.

کاربردهای قانون گراهام

• جداسازی ایزوتوپ‌ها. پروژه منهتن از انتشار گازی برای جداسازی اورانیوم-235 از اورانیوم-۲۳۸ استفاده کرد. این دو ایزوتوپ گاز هگزافلوئورید اورانیوم را با جرم‌های مولی اندکی متفاوت تشکیل می‌دهند؛ بنابراین نرخ‌های تراوششان نیز اندکی متفاوت است.
• تشخیص نشت. هلیم به دلیل جرم مولی کم، گازی ردیاب و رایج برای یافتن نشتی در سامانه‌های خلأ و مخازن تحت فشار است، زیرا می‌تواند به‌سرعت از نشتی‌های کوچک عبور کند.
• کروماتوگرافی گازی. مولکول‌هایی با جرم‌های متفاوت با نرخ‌های متفاوتی در ستون کروماتوگرافی حرکت می‌کنند و این امر به جداسازی و شناسایی ترکیب‌ها در مخلوط گازی کمک می‌کند.
• جداسازی گاز با غشا. غشاهای صنعتی که مخلوط‌های گازی را خالص یا جدا می‌کنند، تا حدی بر نرخ‌های متفاوت تراوش گازهای سازنده متکی هستند.

تاریخچه

شیمی‌دان اسکاتلندی، توماس گراهام، این رابطه را نخستین بار در ۱۸۴۶ توصیف کرد. او سرعت خروج گازهای مختلف از دهانه‌های کوچک را اندازه‌گیری کرد و دریافت که نرخ خروج با جذر چگالی گاز نسبت عکس دارد. نتایج او بعدها به پشتیبانی از نظریه جنبشی گازها کمک کرد؛ نظریه‌ای که جیمز کلرک ماکسول و لودویگ بولتزمان در دهه‌های ۱۸۶۰ و ۱۸۷۰ بیشتر آن را توسعه دادند.

پرسش‌های متداول

تفاوت تراوش و انتشار چیست؟ تراوش، خروج مولکول‌های گاز از سوراخی کوچک به درون خلأ یا ناحیه‌ای با فشار کمتر است؛ سوراخ در این حالت از میانگین مسافتی که یک مولکول بین برخوردها طی می‌کند کوچک‌تر است. انتشار، پخش‌شدن مولکول‌های گاز در گاز یا محیطی دیگر است که بر اثر تفاوت غلظت رخ می‌دهد و شامل برخورد مولکول‌ها با یکدیگر است.

چرا دما باید بر حسب کلوین باشد؟ انرژی جنبشی مولکول‌های گاز با دمای مطلق متناسب است. مقیاس‌های سلسیوس و فارنهایت از صفر مطلق آغاز نمی‌شوند؛ بنابراین استفاده از آن‌ها نسبت نادرستی به دست می‌دهد.

ماشین‌حساب درباره دو گاز چه فرضی دارد؟ فرض می‌کند هر دو گاز تعداد مولکول یکسانی در واحد حجم دارند. بر اساس این فرض، نسبت فقط به جرم مولی و دمای مطلق وابسته است. وقتی دمای دو گاز برابر باشد، جمله دما برابر با ۱ است و پاسخ، یعنی نسبت ساده قانون گراهام، √(M₂/M₁) خواهد بود، فارغ از فشار. وقتی دماها متفاوت باشند، این فرض اهمیت پیدا می‌کند: دو گازی که به‌جای غلظت یکسان، در فشار یکسان نگه داشته شوند، از رابطه Rate₁/Rate₂ = √(M₂T₂ / M₁T₁) پیروی می‌کنند؛ زیرا گاز داغ‌تر در فشار ثابت، در هر لیتر مولکول‌های کمتری دارد.

آیا قانون گراهام می‌تواند جرم مولی یک گاز ناشناخته را پیدا کند؟ بله. اگر نرخ تراوش یک گاز ناشناخته در مقایسه با گازی با جرم مولی معلوم اندازه‌گیری شود، می‌توان فرمول را به شکل زیر بازنویسی کرد:

$M_{unknown} = M_{known} \times \left(\frac{\text{نرخ}_{known}}{\text{نرخ}_{unknown}}\right)^2 \times \frac{T_{unknown}}{T_{known}}$

آیا قانون گراهام درباره مایعات هم کاربرد دارد؟ خیر. این قانون فقط درباره گازها کاربرد دارد. مولکول‌های مایع بسیار نزدیک‌تر به هم قرار دارند و برهم‌کنش بسیار قوی‌تری دارند؛ بنابراین همین فرمول حرکت مایعات از دهانه‌های کوچک را توصیف نمی‌کند.

اگر دمای گاز دو برابر شود، تراوش آن چقدر سریع‌تر می‌شود؟ نرخ تراوش با جذر دمای مطلق متناسب است. اگر دما دو برابر شود، نرخ در √۲، یا تقریباً ۱٫۴۱، ضرب می‌شود؛ به شرط آنکه جرم مولی ثابت بماند.