محاسبه‌گر انرژی شبکه | ابزار رایگان معادله برن-لاندی

انرژی شبکه چیست؟

انرژی شبکه انرژی‌ای است که هنگام گرد هم آمدن یون‌های جداگانه در فاز گازی برای تشکیل یک مول ترکیب یونی جامد آزاد می‌شود. ماشین‌حساب انرژی شبکه با استفاده از معادله بورن–لانده، این مقدار را بر اساس بار یون‌ها، اندازه یون‌ها و یک پارامتر قابل تنظیم به نام نمای بورن برآورد می‌کند.

فرایندی که انرژی شبکه توصیف می‌کند، چنین است:

$M^{n+}(g) + X^{n-}(g) \rightarrow MX(s)$

در اینجا $M^{n+}$ یک کاتیون فلزی (یونی با بار مثبت) و $X^{n-}$ یک آنیون نافلزی (یونی با بار منفی) است. انرژی شبکه همیشه منفی است، زیرا هنگام قفل شدن یون‌ها در یک بلور، انرژی از سامانه خارج می‌شود. شیمی‌دانان فرایندی را که انرژی آزاد می‌کند، «گرمازا» می‌نامند.

سه عامل اندازه انرژی شبکه را تعیین می‌کنند:

1. بار یون. یون‌هایی با بارهای بزرگ‌تر، کشش بیشتری بر یکدیگر وارد می‌کنند.
2. اندازه یون. یون‌های کوچک‌تر می‌توانند به یکدیگر نزدیک‌تر شوند و در نتیجه کشش افزایش می‌یابد.
3. ساختار بلوری. الگوی هندسی تشکیل‌شده از یون‌ها تعداد همسایه‌های هر یون را تغییر می‌دهد؛ این عامل با عددی به نام ثابت مادِلونگ در نظر گرفته می‌شود.

فرمول انرژی شبکه (معادله بورن–لانده)

معادله بورن–لانده که فیزیک‌دانان، ماکس بورن و آلفرد لانده، آن را در ۱۹۱۸ منتشر کردند، به صورت زیر است:

$U = -\frac{N_0 A |z_1 z_2| e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0} \left(1-\frac{1}{n}\right)$

که در آن:

• $U$ = انرژی شبکه، بر حسب کیلوژول بر مول (kJ/mol)
• $N_0$ = عدد آووگادرو، 6.022 × 10²³ بر مول
• $A$ = ثابت مادِلونگ (این ماشین‌حساب از ۱٫۷۴۷۶، یعنی مقدار مربوط به ساختار نمک‌سنگی که NaCl، MgO و بسیاری از نمک‌های ساده دیگر در آن مشترک‌اند، استفاده می‌کند)
• $z_1$، $z_2$ = بارهای کاتیون و آنیون
• $e$ = بار یک الکترون، 1.602 × 10⁻¹⁹ کولن
• $\varepsilon_0$ = گذردهی خلأ، 8.854 × 10⁻¹² F/m
• $r_0$ = فاصله بین‌یونی، یعنی فاصله میان مرکزهای دو یون
• $n$ = نمای بورن، عددی که نشان می‌دهد یون‌ها تا چه اندازه در برابر فشرده شدن به سوی یکدیگر مقاومت می‌کنند (معمولاً بین ۵ و ۱۲ است و همیشه از ۱ بزرگ‌تر است)

بخش نخست معادله، کشش میان دو بار مخالف را محاسبه می‌کند. عبارت $(۱ - ۱/n)$ دافعه‌ای را که پس از شروع هم‌پوشانی ابرهای الکترونی یون‌ها پدیدار می‌شود، کم می‌کند. این عبارت فقط برای $n$ بزرگ‌تر از ۱ معنا دارد. در $n = 1$ برابر صفر است و برای مقادیر کمتر از ۱ منفی می‌شود؛ بنابراین ماشین‌حساب این مقادیر را رد می‌کند.

فاصله بین‌یونی

فاصله میان مرکز یون‌ها، $r_0$، به‌سادگی برابر با مجموع دو شعاع یونی است:

$r_0 = r_{cation} + r_{anion}$

شعاع‌های یونی معمولاً بر حسب پیکومتر (pm) بیان می‌شوند؛ هر پیکومتر یک تریلیونیم متر است.

روش محاسبه انرژی شبکه

1. بار کاتیون را به صورت یک عدد صحیح مثبت وارد کنید (۱ برای Na⁺ و ۲ برای Mg²⁺).
2. بار آنیون را به صورت یک عدد صحیح منفی وارد کنید (-۱ برای Cl⁻ و -۲ برای O²⁻).
3. شعاع کاتیون را بر حسب پیکومتر وارد کنید.
4. شعاع آنیون را بر حسب پیکومتر وارد کنید.
5. یک نمای بورن وارد کنید. مقدار ۹ برای بسیاری از ترکیب‌ها مناسب است. نما باید از ۱ بزرگ‌تر باشد.
6. فاصله بین‌یونی و انرژی شبکه را در پنل نتایج بخوانید.

مثال: انرژی شبکه کلرید سدیم (NaCl)

کلرید سدیم، یعنی نمک خوراکی معمولی، به دلیل داشتن یون‌هایی با بارهای منفرد، مثال نخست مناسبی است.

• بار کاتیون: +۱ (Na⁺)
• بار آنیون: -۱ (Cl⁻)
• شعاع کاتیون: ۱۰۲ pm
• شعاع آنیون: ۱۸۱ pm
• نمای بورن: ۹

مرحله ۱: فاصله بین‌یونی را بیابید.

$r_0 = 102\text{ pm} + 181\text{ pm} = 283\text{ pm}$

مرحله ۲: معادله بورن–لانده را به کار ببرید.

$U = -\frac{(6.022\times10^{23})(1.7476)(1)(1.602\times10^{-19})^2}{4\pi(8.854\times10^{-12})(2.83\times10^{-10})}\left(1-\frac{1}{9}\right)$

$U \approx -762\text{ kJ/mol}$

این مقدار به مقدار معمول ذکرشده در کتاب‌های درسی، یعنی حدود -۷۸۷ kJ/mol، نزدیک است، اما با آن یکسان نیست. مقدار کتاب‌های درسی از داده‌های ترمودینامیکی تجربی به‌دست‌آمده از چرخه بورن–هابر حاصل می‌شود، نه از این معادله. این اختلاف به این دلیل است که معادله بورن–لانده یون‌ها را کره‌هایی کاملاً سخت در نظر می‌گیرد و برای کل بلور از یک نمای دافعه استفاده می‌کند؛ بنابراین تقریبی است و با واقعیت دقیقاً مطابقت ندارد.

مثال: انرژی شبکه اکسید منیزیم (MgO)

اکسید منیزیم یون‌هایی با بار دوبرابر دارد، بنابراین برای مقایسه مناسب است.

• بار کاتیون: +۲ (Mg²⁺)، شعاع ۷۲ pm
• بار آنیون: -۲ (O²⁻)، شعاع ۱۴۰ pm
• نمای بورن: ۹
• فاصله بین‌یونی: ۷۲ pm + ۱۴۰ pm = ۲۱۲ pm

با قرار دادن این اعداد در همان معادله، انرژی شبکه حدود -۴۰۷۱ kJ/mol به دست می‌آید که بیش از پنج برابر منفی‌تر از مقدار مربوط به NaCl است. مقدار اندازه‌گیری‌شده تجربی حدود -۳۷۹۵ kJ/mol است. دو برابر کردن هر دو بار یون، کشش الکترواستاتیکی را تقریباً چهار برابر می‌کند، زیرا معادله $z_1$ را در $z_2$ ضرب می‌کند؛ فاصله بین‌یونی کوتاه‌تر در MgO نیز کشش را بیشتر افزایش می‌دهد.

شعاع‌های یونی و نماهای بورن رایج

شعاع‌های منتخب کاتیون‌ها

شعاع‌های منتخب آنیون‌ها

نماهای معمول بورن

این مقادیر نقطه شروع هستند. منابع منتشرشده گاهی اعداد کمی متفاوتی ارائه می‌کنند.

عوامل مؤثر بر انرژی شبکه

انرژی شبکه با چندین ویژگی که شیمی‌دانان می‌توانند مستقیماً اندازه‌گیری کنند، ارتباط دارد.

• نقطه ذوب. کشش یونی بیشتر معمولاً به معنای نقطه ذوب بالاتر است. یون‌های اکسید منیزیم دو برابر یون‌های کلرید سدیم بار دارند و به یکدیگر نزدیک‌ترند؛ در نتیجه انرژی شبکه MgO بسیار منفی‌تر است. این موضوع یکی از دلایلی است که MgO در حدود ۲۸۵۲ °C ذوب می‌شود، در حالی که نقطه ذوب NaCl حدود ۸۰۱ °C است.
• سختی. بلورهایی با انرژی شبکه بیشتر معمولاً در برابر خراش و تغییر شکل مقاومت بیشتری دارند.
• حلالیت. حل کردن ترکیب‌هایی با انرژی شبکه بسیار زیاد در آب اغلب دشوارتر است، زیرا جدا کردن بلور به انرژی بیشتری از آنچه مولکول‌های آب با احاطه کردن یون‌ها فراهم می‌کنند، نیاز دارد.

انرژی شبکه همچنین یکی از جمله‌های چرخه بورن–هابر است؛ روشی حسابداری که شیمی‌دانان برای محاسبه تغییرات انرژی هنگام تشکیل یک ترکیب یونی از عناصر سازنده‌اش به کار می‌برند.

محدودیت‌های معادله بورن–لانده و این ماشین‌حساب

این ماشین‌حساب همیشه از ثابت مادِلونگ مربوط به ساختار نمک‌سنگی (۱٫۷۴۷۶) استفاده می‌کند. این مقدار برای ترکیب‌هایی که مانند NaCl و MgO بلوری می‌شوند درست است، اما برای ترکیب‌هایی با ساختارهای دیگر، مانند کلرید سزیم یا فلورید کلسیم، درست نیست؛ این ترکیب‌ها ثابت‌های مادِلونگ متفاوتی دارند. معادله بورن–لانده همچنین فرض می‌کند یون‌ها کره‌هایی کاملاً کامل هستند و اثرهایی مانند ماهیت پیوند کووالانسی را نادیده می‌گیرد؛ بنابراین نتایج آن برآوردهایی نزدیک هستند، نه مقادیر تجربی دقیق.

پرسش‌های متداول

انرژی شبکه به زبان ساده چیست؟ انرژی‌ای است که هنگام گرد هم آمدن ذرات بارداری به نام یون و قفل شدن آن‌ها در یک بلور جامد آزاد می‌شود. عددی منفی‌تر به معنای آن است که یون‌ها محکم‌تر به یکدیگر متصل‌اند.

چرا انرژی شبکه همیشه منفی است؟ زیرا تشکیل جامد انرژی آزاد می‌کند، نه اینکه انرژی جذب کند. برخی کتاب‌های درسی در عوض «آنتالپی شبکه» را انرژی مثبت لازم برای جدا کردن بلور تعریف می‌کنند؛ هر دو کمیت استحکام پیوند یکسانی را توصیف می‌کنند، اما با علامت‌های مخالف.

از چه نمای بورنی باید استفاده کنم؟ نه یک مقدار پیش‌فرض رایج است که برای بسیاری از ترکیب‌های یونی تقریباً مناسب عمل می‌کند. برای یک ترکیب مشخص، یک مرجع شیمی یا پایگاه داده بلورشناسی مقدار دقیق‌تری را بر اساس آرایش الکترونی یون‌های آن ارائه می‌کند.

چرا نتیجه ماشین‌حساب دقیقاً با عدد کتاب درسی من یکسان نیست؟ مقادیر کتاب‌های درسی اغلب از آزمایش‌ها (چرخه بورن–هابر) به دست می‌آیند، در حالی که این ماشین‌حساب از معادله نظری بورن–لانده استفاده می‌کند. این دو روش معمولاً در محدوده چند درصد با هم توافق دارند، اما به‌ندرت دقیقاً یکسان می‌شوند.

آیا بزرگ‌تر بودن یون همیشه به معنای انرژی شبکه کمتر است؟ معمولاً بله. یون‌های بزرگ‌تر فاصله بین‌یونی $r_0$ را افزایش می‌دهند و این فاصله در مخرج معادله قرار دارد؛ بنابراین، با بزرگ‌تر شدن یون‌ها، انرژی شبکه، در صورت ثابت بودن سایر عوامل، کمتر منفی می‌شود.

آیا این ماشین‌حساب می‌تواند هر ترکیب یونی را بررسی کند؟ برای ترکیب‌های ساده‌ای که ساختار بلوری نمک‌سنگی دارند، مانند NaCl، MgO و CaO، بهترین عملکرد را دارد. برای ترکیب‌هایی با ساختارهای بلوری متفاوت یا پیوند کووالانسی قابل‌توجه، قابلیت اطمینان آن کمتر است.

منابع

1. اتکینز، P. W. و دِ پائولا، J. (۲۰۱۴). شیمی فیزیکی اتکینز (ویرایش ۱۰). انتشارات دانشگاه آکسفورد.
2. Housecroft, C. E.، و Sharpe, A. G. (۲۰۱۸). Inorganic Chemistry (ویرایش ۵ام). Pearson.
3. بورن، M. و لانده، A. (۱۹۱۸). Über die Berechnung der Kompressibilität regulärer Kristalle aus der Gittertheorie. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft، ۲۰، ۲۱۰-۲۱۶.
4. شنون، R. D. (۱۹۷۶). Revised effective ionic radii and systematic studies of interatomic distances in halides and chalcogenides. Acta Crystallographica Section A، ۳۲(۵)، ۷۵۱-۷۶۷.