حل معادله یانگ-لاپلاس | فشار سطح مشترک

معادلهٔ یانگ–لاپلاس چیست؟

معادلهٔ یانگ–لاپلاس فرمولی در مکانیک سیالات است که اختلاف فشار در دو سوی مرز خمیدهٔ میان دو سیال، مانند سطح یک قطرهٔ آب یا حباب صابون، را به دست می‌دهد. این معادله نشان می‌دهد که این اختلاف فشار به کشش سطحی سیال و میزان خمیدگی مرز بستگی دارد. معادله توضیح می‌دهد چرا فشار درون قطره‌ها و حباب‌ها افزایش می‌یابد و چرا فشار داخلی نمونه‌های کوچک‌تر از نمونه‌های بزرگ‌تر بیشتر است.

این معادله به نام توماس یانگ و پیر-سیمون لاپلاس نام‌گذاری شده است؛ هر یک از آن‌ها این رابطه را در اوایل دههٔ ۱۸۰۰ توصیف کردند.

فرمول معادلهٔ یانگ–لاپلاس

شکل کلی معادله چنین است:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ اختلاف فشار در دو سوی مرز، برحسب پاسکال (Pa) است
• $\gamma$ (گاما) کشش سطحی سیال، برحسب نیوتن بر متر (N/m) است
• $R_1$ و $R_2$ دو شعاع اصلی خمیدگی سطح، برحسب متر (m)، هستند

یک سطح در جهت‌های مختلف به شکل‌های متفاوت خم می‌شود. $R_1$ و $R_2$ خمیدگی را در دو جهت عمود بر یکدیگر توصیف می‌کنند. برای یک کره، مانند قطره یا حباب، $R_1$ برابر $R_2$ است؛ بنابراین فرمول به شکل ساده‌تر زیر درمی‌آید:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

قرارداد علامت

فشار همیشه در سمت مقعرِ یک مرز خمیده، یعنی سمتی که سطح از آن به بیرون برآمده است، بیشتر است. برای قطره یا حباب، این یعنی فشار داخل بیشتر از فشار خارج است. شعاع زمانی مثبت در نظر گرفته می‌شود که مرکز خمیدگی آن در سمت پرفشارتر قرار داشته باشد. اگر سطح در یک جهت به سمت دیگری خم شود، آن شعاع منفی در نظر گرفته می‌شود. یک مرز زینی‌شکل، مانند گردن مایع میان دو دانهٔ در تماس، یک شعاع مثبت و یک شعاع منفی دارد و دو جمله تا حدی یکدیگر را خنثی می‌کنند.

این ماشین‌حساب فقط از شعاع‌های مثبت استفاده می‌کند.

حالت‌های خاص

• سطح تخت: با افزایش شعاع به سوی بی‌نهایت، جملهٔ مربوط به آن در فرمول به سوی صفر کاهش می‌یابد. یک مرز کاملاً تخت اصلاً اختلاف فشار ندارد.
• استوانه: یک سطح استوانه‌ای بلند، مانند جت مایعی که از نازل خارج می‌شود، فقط در یک جهت خمیده است. یکی از شعاع‌ها شعاع استوانه و دیگری در امتداد طول آن بی‌نهایت است؛ بنابراین فرمول به $\Delta P = \gamma / R$ کاهش می‌یابد. این مقدار نصف اختلاف فشار یک کره با همان شعاع است.
• مقیاس‌های بسیار کوچک: در ابعاد کمتر از حدود ۱۰ تا ۲۰ نانومتر، اثرهای دیگری مانند کشش خطی مهم می‌شوند و معادلهٔ ساده دقت خود را از دست می‌دهد.

چگونه اختلاف فشار را با معادلهٔ یانگ–لاپلاس محاسبه کنیم

1. کشش سطحی سیال را در دمای موردنظر، برحسب N/m، پیدا کنید. کشش سطحی با افزایش دما کاهش می‌یابد.
2. نخستین شعاع اصلی خمیدگی، $R_1$، را برحسب متر اندازه‌گیری یا برآورد کنید.
3. دومین شعاع اصلی خمیدگی، $R_2$، را برحسب متر اندازه‌گیری یا برآورد کنید. برای کره، همان مقدار $R_1$ را به کار ببرید. برای استوانه، عددی بسیار بزرگ را به‌جای بی‌نهایت وارد کنید.
4. کشش سطحی را در مجموع $1/R_1$ و $1/R_2$ ضرب کنید. نتیجه، اختلاف فشار برحسب پاسکال است.

همهٔ مقدارها را در واحدهای SI نگه دارید. برای نمونه، ترکیب میلی‌متر و متر پاسخ را به اندازهٔ ضریب هزار نادرست می‌کند.

مثال حل‌شده

یک قطرهٔ کروی آب را با شعاع ۱ میلی‌متر (۰٫۰۰۱ m) و کشش سطحی ۰٫۰۷۲ N/m در نظر بگیرید؛ این مقدار برای آب در نزدیکی دمای اتاق معمول است.

چون قطره یک کره است، $R_1 = R_2 = R$، بنابراین:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

فشار داخل قطره ۱۴۴ Pa بیشتر از فشار هوای پیرامون آن است. این مقدار در مقایسه با فشار معمول جو، یعنی حدود ۱۰۱٬۳۲۵ Pa، کم است؛ اما با کوچک شدن قطره، اثر به‌سرعت افزایش می‌یابد. قطره‌ای با یک‌دهم این اندازه، با شعاع ۰٫۱ mm، اختلاف فشاری ده‌برابر، یعنی ۱٬۴۴۰ Pa، دارد. قطره‌ای با شعاع ۰٫۰۱ mm به فشار ۱۴٬۴۰۰ Pa می‌رسد که بیش از ۱۴٪ فشار جو است.

کاربردهای معادله

• قطره‌ها و حباب‌ها: فشار بیشتر درون قطره‌های کوچک موجب رسش اوستوالد می‌شود؛ در این فرایند قطره‌های کوچک در امولسیون کوچک می‌شوند و قطره‌های بزرگ‌تر رشد می‌کنند، زیرا مواد آن‌ها از ناحیهٔ پرفشار به ناحیهٔ کم‌فشار منتشر می‌شوند.
• خاصیت مویینگی: سطح خمیدهٔ مایع درون یک لولهٔ باریک، مایع را به سمت بالا می‌کشد. به همین دلیل آب در دستمال‌های کاغذی و لوله‌های شیشه‌ای باریک بالا می‌رود.
• تنفس: کیسه‌های هوایی بسیار ریز ریه، که آلوئول نام دارند، مانند حباب‌های کوچک رفتار می‌کنند. پوششی به نام سورفکتانت ریوی کشش سطحی را کاهش می‌دهد تا آلوئول‌های کوچک تحت فشاری که معادله پیش‌بینی می‌کند فرونریزند. نوزادان نارس که سورفکتانت کافی ندارند، به همین دلیل ممکن است دچار مشکلات تنفسی شوند.
• چاپ جوهرافشان: نازل‌های چاپگر قطره‌هایی با قطر چند ده میکرومتر ایجاد می‌کنند؛ در این مقیاس، فشار ناشی از خمیدگی آن‌قدر زیاد است که بر نحوهٔ خروج جوهر از نازل اثر می‌گذارد.
• علم مواد: ابزارهایی که ترشوندگی مایعات روی یک سطح و رفتار پوشش‌های نازک را اندازه‌گیری می‌کنند، از این معادله برای مرتبط کردن شکل قطره با انرژی سطحی آن استفاده می‌کنند.

تاریخچه

مردم مدت‌ها پیش از توضیح علمی این پدیده، بالا رفتن مایعات در لوله‌های باریک را مشاهده کرده بودند. در اوایل دههٔ ۱۷۰۰، فرانسیس هاکسبی به‌صورت تجربی نشان داد که لوله‌های باریک‌تر باعث ارتفاع مویینگی بیشتری می‌شوند و جیمز ژورَن در ۱۷۱۸ این ارتفاع را با قطر لوله نسبت معکوس داد.

توماس یانگ در مقاله‌ای در ۱۸۰۵، فیزیک زیربنایی این پدیده را توضیح داد و کشش سطحی را به‌عنوان ویژگی یک سیال معرفی کرد و آن را به فشار در دو سوی سطوح خمیده مرتبط ساخت، هرچند بررسی او عمدتاً توصیفی بود. در ۱۸۰۶، پیر-سیمون لاپلاس با استفاده از حساب دیفرانسیل شکل ریاضی رابطه را به دست آورد و به‌طور مستقل به همان رابطه رسید. کار مشترک آن‌ها به معادلهٔ یانگ–لاپلاس تبدیل شد. دانشمندان بعدی، از جمله کارل فریدریش گاوس و ژوزف پلاتو، این نظریه را در طول دههٔ ۱۸۰۰ آزمودند و گسترش دادند.

پرسش‌های متداول

معادلهٔ یانگ–لاپلاس چه چیزی را محاسبه می‌کند؟ این معادله اختلاف فشار در دو سوی مرز خمیدهٔ میان دو سیال را بر اساس کشش سطحی سیال و خمیدگی مرز محاسبه می‌کند.

چرا فشار داخل قطرهٔ کوچک‌تر بیشتر است؟ کشش سطحی در امتداد لبهٔ قطره نیرو وارد می‌کند و این نیروی کششی متناسب با شعاع افزایش می‌یابد. مساحتی که فشار باید بر آن نیرو وارد کند، متناسب با مجذور شعاع افزایش می‌یابد. برقراری تعادل میان این دو به $\Delta P = 2\gamma/R$ می‌انجامد؛ بنابراین اختلاف فشار با شعاع نسبت معکوس دارد: اگر شعاع نصف شود، اختلاف فشار دو برابر می‌شود.

دما چه اثری بر معادله دارد؟ دما مقدار کشش سطحی را تغییر می‌دهد و کشش سطحی با افزایش دما کاهش می‌یابد. برای آب، کشش سطحی از حدود ۰٫۰۷۳ N/m در ۲۰ °C به حدود ۰٫۰۶۳ N/m در ۸۰ °C کاهش می‌یابد؛ یعنی به ازای هر درجهٔ سلسیوس حدود ۰٫۱۷ mN/m کم می‌شود. کشش سطحی در دمای اتاق از کشش سطحی آب داغ بیشتر است؛ بنابراین استفاده از مقدار مربوط به دمای اتاق برای سامانه‌ای داغ، اختلاف فشار را بیش از مقدار واقعی برآورد می‌کند.

آیا این معادله برای شکل‌هایی غیر از کره نیز کاربرد دارد؟ بله. شکل کلی معادله، با دو شعاع جداگانهٔ $R_1$ و $R_2$، هر سطح خمیده‌ای، از جمله بیضوی‌وارها و مرزهای زینی‌شکل، را پوشش می‌دهد. فقط شکل ساده‌شدهٔ $2\gamma/R$ به کره‌ها محدود است.

معادلهٔ یانگ–لاپلاس چه تفاوتی با معادلهٔ یانگ دارد؟ معادلهٔ یانگ–لاپلاس اختلاف فشار ناشی از یک مرز خمیده را به دست می‌دهد. معادلهٔ یانگ، که رابطه‌ای جداگانه و آن هم متعلق به توماس یانگ است، زاویهٔ تماس قطره با یک سطح جامد را بر اساس انرژی‌های سطحی سه مادهٔ درگیر تعیین می‌کند. این دو رابطه پدیده‌های متفاوتی را توصیف می‌کنند و گاهی برای تحلیل قطره‌ای که روی یک سطح قرار دارد، با هم به کار می‌روند.

قطره پیش از آنکه معادله کارایی خود را از دست بدهد، تا چه اندازه‌ای می‌تواند کوچک باشد؟ این معادله تا حدود ۱ میکرومتر دقیق باقی می‌ماند. در ابعاد کمتر از حدود ۱۰ تا ۲۰ نانومتر، نیروهای اضافی که معادله نادیده می‌گیرد، از جمله کشش خطی و نیروهای مولکولی میان سطوح، آن‌قدر بزرگ می‌شوند که اهمیت پیدا می‌کنند و به مدل‌های دقیق‌تری نیاز است.

منابع

1. یانگ، ت. (۱۸۰۵). «مقاله‌ای دربارهٔ چسبندگی سیالات». مقالات فلسفی انجمن سلطنتی لندن، ۹۵، ۶۵–۸۷.
2. لاپلاس، پ.س. (۱۸۰۶). رساله‌ای دربارهٔ مکانیک سماوی، پیوست کتاب ۱۰.
3. دو ژن، پ.گ.، بروشار-وایار، ف.، و کِرِه، د. (۲۰۰۴). مویینگی و پدیده‌های ترشوندگی: قطره‌ها، حباب‌ها، مرواریدها، موج‌ها. اشپرینگر.
4. آدامسون، ا.و.، و گاست، ا.پ. (۱۹۹۷). شیمی فیزیکی سطوح (ویرایش ۶). وایلی-اینترساینس.