محاسبه‌گر توزیع لاپلاس - ابزار رایگان PDF و تصویرسازی

توزیع لاپلاس چیست؟

توزیع لاپلاس، که توزیع نماییِ دوگانه نیز نامیده می‌شود، یک توزیع احتمال پیوسته است که شکل آن مانند دو منحنی نمایی است که در نقطهٔ اوج خود از پشت به هم چسبیده‌اند. این توزیع حول یک مقدار مرکزی متقارن است و دنباله‌های سنگین‌تری از توزیع نرمال دارد؛ بنابراین احتمال بیشتری به مقادیر حدی اختصاص می‌دهد. ماشین‌حساب توزیع لاپلاس در این صفحه، چگالی احتمال اوج توزیع را بر اساس پارامتر مکان و پارامتر مقیاس پیدا می‌کند و منحنی کامل چگالی را رسم می‌کند.

این توزیع به نام پیر-سیمون لاپلاس، ریاضی‌دان فرانسوی که نخستین بار آن را در ۱۷۷۴ توصیف کرد، نام‌گذاری شده است.

فرمول توزیع لاپلاس

تابع چگالی احتمال (PDF) توزیع لاپلاس به صورت زیر است:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x هر نقطه‌ای روی خط اعداد است.
• μ (مو)، یعنی پارامتر مکان، مرکز توزیع است. این مقدار همچنین میانگین و میانه است.
• b، یعنی پارامتر مقیاس، میزان گستردگی توزیع را کنترل می‌کند. این مقدار باید بزرگ‌تر از ۰ باشد.
• |x − μ| فاصلهٔ بین x و مرکز است، بدون در نظر گرفتن جهت.

منحنی دقیقاً در x = μ به بیشترین مقدار خود می‌رسد. در این نقطه، فرمول ساده می‌شود، زیرا |μ − μ| = ۰ و exp(۰) = ۱ است؛ بنابراین داریم:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

این مقدار اوج، یعنی ۱/(۲b)، عددی است که ماشین‌حساب گزارش می‌کند.

روش استفاده از ماشین‌حساب توزیع لاپلاس

1. پارامتر مکان (μ) را وارد کنید. این مقدار مرکز توزیع را تعیین می‌کند.
2. پارامتر مقیاس (b) را وارد کنید. این مقدار باید عددی مثبت باشد؛ هرچه مقدار آن بزرگ‌تر باشد، منحنی مسطح‌تر و گسترده‌تر خواهد بود.
3. ماشین‌حساب چگالی اوج، ۱/(۲b)، را نشان می‌دهد و منحنی چگالی f(x) را از μ − ۴b تا μ + ۴b رسم می‌کند. محور عمودی نمودار چگالی احتمال را نشان می‌دهد و منحنی را می‌توان به صورت جدولی از مقادیر x و f(x) دانلود کرد.

ماشین‌حساب مقدار جداگانه‌ای برای x دریافت نمی‌کند. این ابزار همیشه چگالی را در اوج خودِ توزیع، یعنی x = μ، گزارش می‌کند؛ زیرا این مقدار مفیدترین خلاصهٔ منفرد برای مقایسهٔ توزیع‌هایی با مقیاس‌های متفاوت است. برای یافتن چگالی در نقطه‌ای دیگر، از فرمول بالا با مقدار x مورد نظر استفاده کنید یا ارتفاع منحنی را از روی نمودار بخوانید.

مثال حل‌شده

مکان را μ = ۴ و مقیاس را b = ۲ در نظر بگیرید.

1. مثبت بودن b را بررسی کنید: ۲ > ۰، پس ورودی‌ها معتبر هستند.
2. اوج در x = μ = ۴ رخ می‌دهد؛ جایی که |x − μ| = ۰ است.
3. چگالی اوج را محاسبه کنید: ۱ / (۲ × ۲) = ۱ / ۴ = ۰٫۲۵.

ماشین‌حساب مقدار ۰٫۲۵۰۰۰۰ را نمایش می‌دهد. منحنی رسم‌شده در نقطهٔ (۴, ۰٫۲۵) به اوج می‌رسد و در هر دو طرف به‌صورت متقارن کاهش می‌یابد؛ این منحنی از μ − ۴b تا μ + ۴b، یعنی در این مورد از −۴ تا ۱۲، گسترده است.

چون فرمول چگالی اوج، ۱/(۲b)، شامل μ نیست، تغییر مکان فقط منحنی را به چپ یا راست منتقل می‌کند و ارتفاع آن را تغییر نمی‌دهد. فقط پارامتر مقیاس ارتفاع را تغییر می‌دهد.

نمونه‌های بیشتر

میانگین، واریانس و انحراف معیار

برای توزیع لاپلاسی با مکان μ و مقیاس b:

• میانگین = μ
• میانه = μ
• واریانس = ۲b²
• انحراف معیار = b√۲

توزیع لاپلاس در برابر توزیع نرمال

هر دو توزیع متقارن و زنگوله‌ای‌شکل هستند و هر دو با یک مرکز و یک پارامتر پراکندگی به‌طور کامل توصیف می‌شوند. تفاوت در دنباله‌هاست. در توزیع نرمال، چگالی با مربع فاصله از میانگین کاهش می‌یابد؛ بنابراین مقادیر حدی خیلی سریع بسیار نادر می‌شوند. در توزیع لاپلاس، چگالی با خودِ فاصله کاهش می‌یابد؛ ازاین‌رو مقادیر حدی در مقایسه احتمال بیشتری دارند. به همین دلیل، توزیع لاپلاس هر زمان مفید است که داده‌های واقعی پرت‌های بیشتری از آنچه توزیع نرمال پیش‌بینی می‌کند داشته باشند.

کاربردهای رایج

• پردازش سیگنال و تصویر: مدل‌سازی نویز و فشرده‌سازی تصاویر، زیرا اختلاف پیکسل‌ها یا سیگنال‌ها اغلب نزدیک صفر متمرکز هستند و گاهی جهش‌های بزرگی دارند.
• حریم خصوصی تفاضلی: سازوکار لاپلاس برای حفاظت از داده‌های افراد، ضمن حفظ دقت کلی، به نتایج پرس‌وجو نویز با توزیع لاپلاس اضافه می‌کند.
• آمار و رگرسیون مقاوم: رگرسیون لاسو از یک پیشین با شکل لاپلاس استفاده می‌کند که راه‌حل‌هایی با ضرایب زیادی برابر با صفر را ترجیح می‌دهد.
• مالی: مدل‌سازی بازده دارایی‌ها، که معمولاً دنباله‌های سنگین‌تری از آنچه توزیع نرمال نشان می‌دهد دارند.
• زلزله‌شناسی: در مدل‌های الگوهای بزرگی زمین‌لرزه مرتبط با قانون گوتنبرگ–ریشتر ظاهر می‌شود.

پرسش‌های متداول

نتیجهٔ ماشین‌حساب چه معنایی دارد؟

این مقدار، اوج یا بیشینهٔ تابع چگالی احتمال است و برابر با ۱/(۲b) است. این مقدار ارتفاع منحنی در مرکز آن، یعنی x = μ، است.

چرا ماشین‌حساب مقدار x را درخواست نمی‌کند؟

چگالی اوج، ۱/(۲b)، در هر مقدار x برابر با μ یکسان است؛ بنابراین برای یافتن آن، ورودی جداگانه‌ای برای x لازم نیست. این مقدار، عدد استاندارد منفردی است که برای مقایسهٔ ارتفاع و باریکی، یا کوتاهی و پهنی، دو توزیع لاپلاس به کار می‌رود. منحنی کامل، که چگالی را در هر x نشان می‌دهد، در نمودار موجود است.

چگونه چگالی را در نقطه‌ای غیر از اوج پیدا کنم؟

فرمول $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ را با مقدار x مورد نظر به کار ببرید، یا ارتفاع را مستقیماً از منحنی رسم‌شده بخوانید.

توزیع لاپلاس چه تفاوتی با توزیع نمایی دارد؟

توزیع لاپلاس را می‌توان از دو توزیع نمایی ساخت. اگر X و Y متغیرهای تصادفی نمایی مستقل با نرخ یکسان باشند، آنگاه X − Y از توزیع لاپلاس با مرکز ۰ پیروی می‌کند.

کاربردهای معمول توزیع لاپلاس چیست؟

این توزیع در پردازش سیگنال، فشرده‌سازی تصویر، حریم خصوصی تفاضلی، آمار مقاوم، رگرسیون لاسو و مدل‌سازی بازده‌های مالی و بزرگی زمین‌لرزه به کار می‌رود؛ یعنی هر جا که داده‌های واقعی مقادیر حدی بیشتری از آنچه توزیع نرمال پیش‌بینی می‌کند نشان دهند.

آیا توزیع لاپلاس می‌تواند منفی باشد یا فقط برای مقادیر مثبت است؟

این توزیع برای همهٔ اعداد حقیقی، چه مثبت و چه منفی، تعریف می‌شود؛ برخلاف توزیع نمایی که فقط مقادیر نامنفی را می‌پذیرد.

منابع

1. کوتز، س.، کوزوبوفسکی، ت.، و پودگورسکی، ک. (۲۰۰۱). توزیع لاپلاس و تعمیم‌های آن. بیرکهاوزر، بوستون، ماساچوست.
2. "Laplace distribution." ویکی‌پدیا، بنیاد ویکی‌مدیا. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution