محاسبه‌گر نمودار جعبه‌ای - تولیدکننده رایگان نمودار جعبه و سبیل

نمودار جعبه‌ای چیست؟

نمودار جعبه‌ای، که نمودار جعبه‌و‌سبیل نیز نامیده می‌شود، نموداری است که مجموعه‌ای از اعداد را با استفاده از پنج مقدار خلاصه می‌کند: کمینه، چارک اول، میانه، چارک سوم و بیشینه. این نمودار نشان می‌دهد بیشتر داده‌ها در کجا قرار دارند و مقادیر غیرمعمول، معروف به داده‌های پرت، را بدون فهرست کردن تک‌تک نقاط داده مشخص می‌کند.

نمودارهای جعبه‌ای در آمار، علوم و گزارش‌های کسب‌وکار رایج‌اند، زیرا امکان مقایسه سریع چند گروه از اعداد را فراهم می‌کنند.

خلاصه پنج‌عددی

نمودار جعبه‌ای از پنج عدد ساخته می‌شود که پس از مرتب‌سازی داده‌ها از کوچک‌ترین تا بزرگ‌ترین محاسبه می‌شوند.

• کمینه: کوچک‌ترین مقداری که داده پرت نیست. این ماشین‌حساب آن را «کمینه (بدون داده‌های پرت)» برچسب‌گذاری می‌کند.
• چارک اول (Q1): مقداری که حدود یک‌چهارم داده‌ها کمتر از آن قرار می‌گیرند.
• میانه (Q2): مقدار میانی مجموعه داده.
• چارک سوم (Q3): مقداری که حدود سه‌چهارم داده‌ها کمتر از آن قرار می‌گیرند.
• بیشینه: بزرگ‌ترین مقداری که داده پرت نیست. این ماشین‌حساب آن را «بیشینه (بدون داده‌های پرت)» برچسب‌گذاری می‌کند.

وقتی مجموعه داده هیچ داده پرت نداشته باشد، این دو مقدار به‌سادگی کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین اعداد واردشده هستند. اگر داده پرت وجود داشته باشد، این دو مقدار به‌ترتیب انتهای سبیل‌ها هستند؛ بنابراین کوچک‌ترین یا بزرگ‌ترین عدد واردشده به‌طور جداگانه در فهرست داده‌های پرت نشان داده می‌شود.

جعبه در نمودار از Q1 تا Q3 امتداد دارد. خطی درون جعبه میانه را نشان می‌دهد. خطوط باریکی که سبیل نام دارند، از جعبه به‌سمت کمینه و بیشینه امتداد می‌یابند. داده‌های پرت به‌صورت نقاط جداگانه، بیرون از سبیل‌ها، رسم می‌شوند.

فرمول نمودار جعبه‌ای

برای مجموعه داده‌ای که با n مقدار به‌ترتیب صعودی مرتب شده است:

میانه. اگر تعداد مقادیر فرد باشد، میانه مقدار میانی است:

$M = x_{(n+1)/2}$

اگر تعداد مقادیر زوج باشد، میانه میانگین دو مقدار میانی است:

$M = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$

در اینجا M میانه است و x همراه با شماره جایگاه، مقدار موجود در آن جایگاه از داده‌های مرتب‌شده را نشان می‌دهد.

چارک‌ها. داده‌های مرتب‌شده را به نیمه پایین و نیمه بالا تقسیم کنید. اگر n فرد باشد، خود میانه را از هر دو نیمه کنار بگذارید. سپس:

$Q_1 = M_l, \qquad Q_3 = M_u$

در اینجا $M_l$ میانه نیمه پایین و $M_u$ میانه نیمه بالا است.

این روش اغلب روش انحصاری نامیده می‌شود. روش‌های دیگری نیز وجود دارند و ممکن است برای مجموعه‌داده‌های کوچک، مقادیر Q1 و Q3 کمی متفاوتی بدهند؛ اما این ماشین‌حساب از روش انحصاری استفاده می‌کند.

دامنه بین‌چارکی (IQR)

$IQR = Q_3 - Q_1$

کران‌ها و سبیل‌ها. کران‌ها مرز داده‌های پرت را مشخص می‌کنند:

$F_l = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad F_u = Q_3 + 1.5 \times IQR$

در اینجا $F_l$ کران پایین و $F_u$ کران بالا است.

سبیل دقیقاً در کران متوقف نمی‌شود. بلکه در دورترین نقطه داده‌ای متوقف می‌شود که همچنان درون کران‌ها قرار دارد:

$W_l = \min\{x_i : x_i \geq F_l\}, \qquad W_u = \max\{x_i : x_i \leq F_u\}$

در اینجا $W_l$ سبیل پایین و $W_u$ سبیل بالا است.

داده‌های پرت. هر مقداری که پایین‌تر از کران پایین یا بالاتر از کران بالا باشد، داده پرت است و به‌جای ادغام شدن با سبیل، به‌صورت نقطه‌ای مستقل رسم می‌شود.

روش محاسبه نمودار جعبه‌ای، مرحله‌به‌مرحله

1. داده‌ها را از کوچک‌ترین تا بزرگ‌ترین مرتب کنید.
2. میانه را پیدا کنید. اگر تعداد مقادیر فرد باشد، میانه مقدار میانی است. اگر تعداد مقادیر زوج باشد، میانه میانگین دو مقدار میانی است.
3. Q1 را پیدا کنید: میانه نیمه پایین داده‌ها؛ اگر تعداد مقادیر فرد باشد، خود میانه کنار گذاشته می‌شود.
4. Q3 را پیدا کنید: میانه نیمه بالای داده‌ها، با استفاده از همین قاعده.
5. IQR را به‌صورت Q3 منهای Q1 محاسبه کنید.
6. کران پایین و بالا را با استفاده از ۱٫۵ برابر IQR محاسبه کنید.
7. هر مقداری را که بیرون از کران‌هاست، به‌عنوان داده پرت مشخص کنید.
8. سبیل‌ها را روی کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین مقادیری قرار دهید که درون کران‌ها باقی می‌مانند.

مثال حل‌شده

این مجموعه‌داده شامل ۱۱ مقدار را در نظر بگیرید: ۶، ۷، ۱۵، ۳۶، ۳۹، ۴۰، ۴۱، ۴۲، ۴۳، ۴۷، ۴۹. داده‌ها از قبل مرتب شده‌اند.

با ۱۱ مقدار، که فرد است، میانه مقدار ۶ام است: ۴۰.

نیمه پایین شامل ۶، ۷، ۱۵، ۳۶ و ۳۹ است؛ پنج مقدار دارد و میانه از آن کنار گذاشته شده است. میانه آن مقدار میانی است: Q1 = ۱۵.

نیمه بالا شامل ۴۱، ۴۲، ۴۳، ۴۷ و ۴۹ است. میانه آن مقدار میانی است: Q3 = ۴۳.

IQR = ۴۳ − ۱۵ = ۲۸.

کران پایین = ۱۵ − ۱٫۵ × ۲۸ = −۲۷. کران بالا = ۴۳ + ۱٫۵ × ۲۸ = ۸۵. همه مقادیر مجموعه‌داده بین −۲۷ و ۸۵ قرار دارند؛ بنابراین داده پرت وجود ندارد و سبیل‌ها به کمینه و بیشینه واقعی می‌رسند: کمینه = ۶، بیشینه = ۴۹.

اکنون مجموعه‌داده‌ای دارای یک داده پرت را مقایسه کنید: ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸، ۹، ۱۰، ۱۱، ۵۰. در اینجا Q1 = ۳٫۵، Q3 = ۹٫۵ و IQR = ۶ است؛ بنابراین کران بالا برابر است با ۹٫۵ + ۱٫۵ × ۶ = ۱۸٫۵. مقدار ۵۰ بالاتر از این کران قرار دارد، پس به‌صورت داده پرت رسم می‌شود و سبیل بالا به‌جای ۵۰ در ۱۱، یعنی بزرگ‌ترین مقدار همچنان درون کران، متوقف می‌شود.

چگونه نمودار جعبه‌ای را بخوانیم

جعبه بخش میانی ۵۰٪ داده‌ها را پوشش می‌دهد؛ بنابراین جعبه پهن نشان می‌دهد بخش میانی داده‌ها پراکنده است و جعبه باریک نشان می‌دهد این بخش فشرده است. اگر خط میانه به یکی از لبه‌های جعبه نزدیک‌تر باشد، داده‌ها به‌سمت طرف طولانی‌تر متمایل یا چوله‌اند. سبیلی که بسیار طولانی‌تر از سبیل دیگر باشد، نشان می‌دهد داده‌ها در آن سمت دنباله طولانی‌تری دارند. نقاط بیرون از سبیل‌ها داده‌های پرت‌اند و اغلب باید با دقت بیشتری بررسی شوند، زیرا ممکن است مقادیر حدی واقعی یا خطاهای داده باشند.

کاربردهای رایج

از نمودارهای جعبه‌ای برای مقایسه گروه‌ها در کنار یکدیگر استفاده می‌شود؛ مانند نمره‌های آزمون در چند کلاس، زمان تحویل از دو تأمین‌کننده، یا اندازه‌گیری‌های یک آزمایش در مقایسه با گروه کنترل. چون نمودار جعبه‌ای یک توزیع کامل را در پنج عدد خلاصه می‌کند، می‌توان چند نمودار را در یک نمودار کنار هم قرار داد؛ این کار مقایسه پراکندگی و مقادیر معمول گروه‌ها را نسبت به جدول اعداد خام آسان‌تر می‌کند.

مقایسه نمودارهای جعبه‌ای با نمودارهای دیگر

هیستوگرام شکل کامل یک توزیع را با جزئیات بیشتری نشان می‌دهد، اما هنگام مقایسه هم‌زمان گروه‌های زیاد، استفاده از آن دشوارتر است. نمودار ویولنی منحنی چگالی را پیرامون جعبه اضافه می‌کند و نشان می‌دهد مقادیر با دقت بیشتری در کجا تجمع دارند. نمودار پراکندگی رابطه بین دو متغیر را نشان می‌دهد؛ کاری که نمودار جعبه‌ای نمی‌تواند انجام دهد. انتخاب مناسب به هدف بستگی دارد: مقایسه گروه‌ها با نمودار جعبه‌ای، مشاهده جزئیات شکل یک توزیع با هیستوگرام یا نمودار ویولنی، یا بررسی یک رابطه با نمودار پراکندگی.

تاریخچه

آماردان، جان توکی، نمودار جعبه‌ای را در دهه ۱۹۷۰ معرفی کرد و آن را در کتاب ۱۹۷۷ خود با عنوان تحلیل اکتشافی داده‌ها توضیح داد. نسخه اصلی او، که گاهی نمودار شماتیک نامیده می‌شود، میانه، چارک‌ها و مقادیر حدی را نشان می‌داد. در ۱۹۷۸، آماردانان رابرت مک‌گیل، توکی و وین لارسن نسخه بریدگی‌دار را توصیف کردند که فاصله اطمینان پیرامون میانه را اضافه می‌کند. قاعده ۱٫۵ × IQR برای مشخص کردن داده‌های پرت، اندکی پس از آن به قراردادی استاندارد تبدیل شد.

پرسش‌های متداول

نمودار جعبه‌ای برای چه کاری استفاده می‌شود؟ این نمودار نشان می‌دهد مجموعه‌ای از اعداد چگونه پراکنده شده است و با استفاده از کمینه، Q1، میانه، Q3 و بیشینه، داده‌های پرت احتمالی را مشخص می‌کند. این نمودار به‌ویژه برای مقایسه چند گروه در یک نمودار مفید است.

چگونه نمودار جعبه‌ای را می‌خوانید؟ جعبه از Q1 تا Q3 امتداد دارد و نیمه میانی داده‌ها را پوشش می‌دهد. خط داخل جعبه میانه است. سبیل‌ها تا دورترین مقادیری می‌رسند که داده پرت نیستند و هر مقدار بیرون از سبیل‌ها به‌صورت نقطه‌ای جداگانه رسم می‌شود.

چگونه داده‌های پرت را در نمودار جعبه‌ای شناسایی می‌کنید؟ اگر مقداری کمتر از Q1 − ۱٫۵ × IQR یا بیشتر از Q3 + ۱٫۵ × IQR باشد، داده پرت است.

تفاوت نمودار جعبه‌ای و هیستوگرام چیست؟ نمودار جعبه‌ای یک توزیع را در پنج عدد و داده‌های پرت خلاصه می‌کند؛ بنابراین فشرده است و برای مقایسه گروه‌ها کاربرد خوبی دارد. هیستوگرام فراوانی مقادیر را در بازه‌های مختلف نشان می‌دهد و جزئیات بیشتری درباره شکل یک توزیع منفرد ارائه می‌کند.

آیا این ماشین‌حساب می‌تواند مجموعه‌داده‌های کوچک را پردازش کند؟ این ماشین‌حساب برای تولید خلاصه پنج‌عددی به حداقل پنج عدد نیاز دارد. نمودارهای جعبه‌ای با مجموعه‌داده‌های بزرگ‌تر اطلاعات بیشتری ارائه می‌کنند، زیرا چند مقدار اندک تصویر روشنی از پراکندگی یا داده‌های پرت به دست نمی‌دهد.

ماشین‌حساب چه نوع ورودی‌ای را می‌پذیرد؟ اعدادی که با ویرگول، فاصله یا شکست خط از هم جدا شده باشند؛ بنابراین چسباندن یک ستون از صفحه‌گسترده نیز کار می‌کند. هر چیزی که عدد نباشد رد می‌شود و نادیده گرفته نمی‌شود، تا یک اشتباه تایپی نتواند بی‌سروصدا نتیجه را تغییر دهد.

اگر نمودار جعبه‌ای چوله به نظر برسد، چه معنایی دارد؟ اگر میانه به Q1 نزدیک‌تر باشد، داده‌ها در سمت مقادیر بزرگ‌تر دنباله‌ای طولانی‌تر دارند. اگر میانه به Q3 نزدیک‌تر باشد، داده‌ها در سمت مقادیر کوچک‌تر دنباله‌ای طولانی‌تر دارند.