محاسبه مقدار بحرانی برای آزمون‌های آماری مختلف

محاسبه مقدار بحرانی

مقدمه

مقادیر بحرانی در آزمون فرضیه‌های آماری بسیار مهم هستند. آنها آستانه‌ای را تعریف می‌کنند که در آن ما فرض صفر را به نفع فرضیه جایگزین رد می‌کنیم. با محاسبه مقدار بحرانی، پژوهشگران می‌توانند تعیین کنند که آیا آمار آزمون آنها در ناحیه رد قرار دارد و بر اساس داده‌های خود تصمیمات آگاهانه‌ای بگیرند.

این محاسبه‌گر به شما کمک می‌کند تا مقادیر بحرانی یک‌طرفه و دوطرفه را برای رایج‌ترین آزمون‌های آماری، از جمله آزمون Z، آزمون t و آزمون کای‌مربع پیدا کنید. این ابزار از سطوح معنی‌داری و درجات آزادی مختلف پشتیبانی می‌کند و نتایج دقیقی را برای تحلیل‌های آماری شما ارائه می‌دهد.

نحوه استفاده از این محاسبه‌گر

نوع آزمون را انتخاب کنید:
- آزمون Z: برای اندازه‌های نمونه بزرگ یا واریانس جمعیت شناخته شده.
- آزمون t: زمانی که اندازه نمونه کوچک است و واریانس جمعیت ناشناخته است.
- آزمون کای‌مربع: برای داده‌های دسته‌ای و آزمون‌های برازش.
نوع دم را انتخاب کنید:
- آزمون یک‌طرفه: آزمون برای یک اثر جهت‌دار (مثلاً بیشتر یا کمتر از یک مقدار خاص).
- آزمون دوطرفه: آزمون برای هر تفاوت معنادار بدون توجه به جهت.
سطح معنی‌داری (( \alpha )) را وارد کنید:
- مقداری بین 0 و 1 (انتخاب‌های رایج 0.05، 0.01، 0.10).
- نمایانگر احتمال رد فرض صفر وقتی که درست است (خطای نوع I).
درجات آزادی (در صورت لزوم) را وارد کنید:
- برای آزمون‌های t و کای‌مربع لازم است.
- برای آزمون‌های t: ( df = n - 1 )، که در آن ( n ) اندازه نمونه است.
- برای آزمون‌های کای‌مربع: ( df = ) تعداد دسته‌ها منهای 1.
محاسبه:
- بر روی دکمه محاسبه کلیک کنید تا مقدار بحرانی(ها) را به دست آورید.
- نتیجه مقادیر بحرانی مربوط به ورودی‌های شما را نمایش خواهد داد.

فرمول

مقدار بحرانی آزمون Z

برای توزیع نرمال استاندارد:

آزمون یک‌طرفه: $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha)$
آزمون دوطرفه: $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}\right)$

که در آن:

( \Phi^{-1} ) تابع توزیع تجمعی معکوس (تابع کوانتایل) توزیع نرمال استاندارد است.

مقدار بحرانی آزمون t

برای توزیع t با ( df ) درجه آزادی:

آزمون یک‌طرفه: $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
آزمون دوطرفه: $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right)$

که در آن:

( t^{-1}(p, df) ) کوانتایل p-ام توزیع t با ( df ) درجه آزادی است.

مقدار بحرانی آزمون کای‌مربع

برای توزیع کای‌مربع با ( df ) درجه آزادی:

آزمون یک‌طرفه: $\chi^2_c = \chi^2_{1 - \alpha, df}$
آزمون دوطرفه (هر دو مقدار بحرانی پایین و بالا را ارائه می‌دهد):
- مقدار بحرانی پایین: $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df}$
- مقدار بحرانی بالا: $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df}$

که در آن:

( \chi^2_{p, df} ) کوانتایل p-ام توزیع کای‌مربع است.

محاسبه

محاسبه‌گر مراحل زیر را انجام می‌دهد:

اعتبارسنجی ورودی:
- بررسی می‌کند که ( \alpha ) بین 0 و 1 باشد (0 < ( \alpha ) < 1).
- تأیید می‌کند که ( df ) یک عدد صحیح مثبت است (برای آزمون‌های t و کای‌مربع).
تنظیم سطح معنی‌داری برای نوع دم:
- برای آزمون‌های دوطرفه، ( \alpha ) به 2 تقسیم می‌شود.
محاسبه مقدار(های) بحرانی:
- از توزیع‌های آماری برای پیدا کردن مقادیر بحرانی استفاده می‌کند.
- دقت را حتی برای مقادیر شدید ( \alpha ) و ( df ) تضمین می‌کند.
نمایش نتایج:
- مقادیر بحرانی را با دقت چهار رقم اعشار نمایش می‌دهد.
- برای آزمون‌های دوطرفه کای‌مربع، هر دو مقدار بحرانی پایین و بالا ارائه می‌شود.

موارد حاشیه‌ای و ملاحظات

سطوح معنی‌داری شدید (( \alpha ) نزدیک به 0 یا 1):
- مقادیر بحرانی به بی‌نهایت نزدیک می‌شوند وقتی که ( \alpha ) به 0 نزدیک می‌شود.
- وقتی ( \alpha ) به شدت کوچک باشد (مثلاً کمتر از ( 10^{-10} ))، مقدار بحرانی ممکن است به طور محاسباتی بی‌نهایت یا نامشخص باشد.
- مدیریت: محاسبه‌گر برای چنین مواردی 'بی‌نهایت' یا 'نامشخص' را نمایش خواهد داد. کاربران باید این نتایج را با احتیاط تفسیر کنند و در نظر بگیرند که آیا چنین سطوح معنی‌داری شدید برای تحلیل آنها مناسب است.
درجات آزادی بزرگ (( df )):
- با افزایش ( df )، توزیع t و توزیع کای‌مربع به توزیع نرمال نزدیک می‌شوند.
- برای ( df ) بسیار بزرگ، مقادیر بحرانی ممکن است به دلیل محدودیت‌های محاسباتی نامشخص شوند.
- مدیریت: محاسبه‌گر زمانی که ( df ) از حد عملی فراتر می‌رود، هشدارهایی ارائه می‌دهد. در چنین مواردی، در نظر گرفتن استفاده از آزمون Z به عنوان یک تقریب، مفید است.
درجات آزادی کوچک (( df \leq 1 )):
- برای ( df = 1 )، توزیع t و توزیع کای‌مربع دارای دم‌های سنگین هستند.
- مقادیر بحرانی می‌توانند بسیار بزرگ یا نامشخص باشند.
- مدیریت: محاسبه‌گر به کاربران هشدار می‌دهد اگر ( df ) برای نتایج قابل اعتماد خیلی کوچک باشد.
آزمون‌های یک‌طرفه در مقابل آزمون‌های دوطرفه:
- انتخاب نوع دم صحیح برای مقادیر بحرانی دقیق بسیار حیاتی است.
- سوءاستفاده می‌تواند منجر به نتایج نادرست در آزمون فرضیه‌ها شود.
- راهنمایی: اطمینان حاصل کنید که سوال تحقیق شما با نوع دم انتخاب شده هم‌راستا باشد.

موارد استفاده

مقادیر بحرانی در حوزه‌های مختلف مورد استفاده قرار می‌گیرند:

تحقیقات دانشگاهی:
- آزمون فرضیه‌ها در آزمایش‌ها و مطالعات.
- تعیین معناداری آماری نتایج.
کنترل کیفیت:
- نظارت بر فرآیندهای تولید.
- استفاده از نمودارهای کنترل برای شناسایی ناهنجاری‌ها.
بهداشت و پزشکی:
- ارزیابی اثربخشی درمان‌ها یا داروهای جدید.
- تحلیل نتایج آزمایش‌های بالینی.
مالی و اقتصاد:
- ارزیابی روندهای بازار و شاخص‌های اقتصادی.
- اتخاذ تصمیمات سرمایه‌گذاری مبتنی بر داده‌ها.

گزینه‌های جایگزین

مقادیر p:
- مزایا:
  - احتمال دقیق به دست آوردن یک آمار آزمون حداقل به اندازه مقدار مشاهده شده را ارائه می‌دهد.
  - اجازه می‌دهد تا تصمیم‌گیری‌های دقیق‌تری انجام شود به جای یک قطعیت سخت.
- معایب:
  - ممکن است به اشتباه تفسیر شود؛ یک مقدار p کوچک اندازه اثر یا اهمیت آن را اندازه‌گیری نمی‌کند.
  - وابسته به اندازه نمونه است؛ نمونه‌های بزرگ ممکن است مقادیر p کوچک برای اثرات پیش پا افتاده تولید کنند.
فواصل اطمینان:
- مزایا:
  - دامنه‌ای از مقادیر را ارائه می‌دهد که در آن پارامتر واقعی احتمالاً قرار دارد.
  - اطلاعاتی درباره دقت تخمین ارائه می‌دهد.
- معایب:
  - به طور مستقیم برای آزمون فرضیه‌ها استفاده نمی‌شود.
  - تفسیر نتایج می‌تواند چالش‌برانگیز باشد اگر فواصل اطمینان همپوشانی داشته باشند.
روش‌های بیزی:
- مزایا:
  - دانش یا باورهای قبلی را در تحلیل گنجانده می‌شود.
  - توزیع احتمال تخمین پارامتر را ارائه می‌دهد.
- معایب:
  - نیاز به مشخص کردن توزیع‌های قبلی دارد که می‌تواند ذهنی باشد.
  - محاسباتی برای مدل‌های پیچیده نیاز دارد.
آزمون‌های غیرپارامتری:
- مزایا:
  - فرض توزیع خاصی را فرض نمی‌کند.
  - زمانی که داده‌ها فرضیات آزمون‌های پارامتری را برآورده نمی‌کنند، مفید است.
- معایب:
  - به طور کلی قدرت کمتری نسبت به آزمون‌های پارامتری دارد زمانی که فرضیات برآورده شوند.
  - تفسیر نتایج می‌تواند کمتر واضح باشد.

تاریخچه

توسعه مقادیر بحرانی با تکامل استنباط آماری در هم تنیده است:

اوایل قرن 20:
- کارل پیرسون آزمون کای‌مربع را در سال 1900 معرفی کرد و پایه‌گذاری آزمون‌های برازش را انجام داد.
- ویلیام گوسِت (با نام مستعار "دانش‌آموز") توزیع t را در سال 1908 برای اندازه‌های نمونه کوچک توسعه داد.
رونالد فیشر:
- در دهه 1920، فیشر مفهوم آزمون فرضیه آماری را رسمی کرد.
- اصطلاح "سطح معنی‌داری" را معرفی کرد و بر انتخاب مقادیر بحرانی مناسب تأکید کرد.
پیشرفت‌های محاسباتی:
- ظهور کامپیوترها محاسبات دقیق مقادیر بحرانی برای توزیع‌های مختلف را ممکن ساخت.
- نرم‌افزارهای آماری اکنون نتایج سریع و دقیقی را ارائه می‌دهند و استفاده گسترده‌ای در تحقیقات را تسهیل می‌کنند.

مثال‌ها

مثال 1: محاسبه مقدار بحرانی آزمون Z (یک‌طرفه)

سناریو: یک شرکت می‌خواهد آزمایش کند که آیا یک فرآیند جدید زمان تولید متوسط را کاهش می‌دهد. آنها ( \alpha = 0.05 ) را تنظیم می‌کنند.

راه‌حل:

مقدار بحرانی: $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

مثال‌های کد:

پایتون

1import scipy.stats as stats
2
3alpha = 0.05
4Z_c = stats.norm.ppf(1 - alpha)
5print(f"مقدار بحرانی (Z_c): {Z_c:.4f}")
6

جاوااسکریپت

1// مثال جاوااسکریپت برای مقدار بحرانی آزمون Z
2function calculateZCriticalValue(alpha) {
3  return jStat.normal.inv(1 - alpha, 0, 1);
4}
5
6const alpha = 0.05;
7const Z_c = calculateZCriticalValue(alpha);
8console.log(`مقدار بحرانی (Z_c): ${Z_c.toFixed(4)}`);
9

توجه: نیاز به کتابخانه jStat برای توابع آماری دارد.

اکسل

1' فرمول اکسل برای مقدار بحرانی آزمون Z (یک‌طرفه)
2' در یک سلول وارد کنید:
3=NORM.S.INV(1 - 0.05)
4
5' نتیجه:
6' 1.6449 را برمی‌گرداند
7

مثال 2: محاسبه مقدار بحرانی آزمون t (دوطرفه)

سناریو: یک پژوهشگر آزمایشی با 20 شرکت‌کننده (( df = 19 )) انجام می‌دهد و از ( \alpha = 0.01 ) استفاده می‌کند.

راه‌حل:

مقدار بحرانی: $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right) = t^{-1}(0.995, 19) \approx 2.8609$

مثال‌های کد:

R

1alpha <- 0.01
2df <- 19
3t_c <- qt(1 - alpha / 2, df)
4print(paste("مقدار بحرانی (t_c):", round(t_c, 4)))
5

MATLAB

1alpha = 0.01;
2df = 19;
3t_c = tinv(1 - alpha / 2, df);
4fprintf('مقدار بحرانی (t_c): %.4f\n', t_c);
5

جاوااسکریپت

1// مثال جاوااسکریپت برای مقدار بحرانی آزمون t
2function calculateTCriticalValue(alpha, df) {
3  return jStat.studentt.inv(1 - alpha / 2, df);
4}
5
6const alpha = 0.01;
7const df = 19;
8const t_c = calculateTCriticalValue(alpha, df);
9console.log(`مقدار بحرانی (t_c): ${t_c.toFixed(4)}`);
10

توجه: نیاز به کتابخانه jStat دارد.

اکسل

1' فرمول اکسل برای مقدار بحرانی آزمون t (دوطرفه)
2' در یک سلول وارد کنید:
3=T.INV.2T(0.01, 19)
4
5' نتیجه:
6' 2.8609 را برمی‌گرداند
7

مثال 3: محاسبه مقادیر بحرانی آزمون کای‌مربع (دوطرفه)

سناریو: یک تحلیل‌گر برازش داده‌های مشاهده شده با فرکانس‌های مورد انتظار در 5 دسته (( df = 4 )) را در ( \alpha = 0.05 ) آزمایش می‌کند.

راه‌حل:

مقدار بحرانی پایین: $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df} = \chi^2_{0.025, 4} \approx 0.7107$
مقدار بحرانی بالا: $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df} = \chi^2_{0.975, 4} \approx 11.1433$

مثال‌های کد:

پایتون

1import scipy.stats as stats
2
3alpha = 0.05
4df = 4
5chi2_lower = stats.chi2.ppf(alpha / 2, df)
6chi2_upper = stats.chi2.ppf(1 - alpha / 2, df)
7print(f"مقدار بحرانی پایین: {chi2_lower:.4f}")
8print(f"مقدار بحرانی بالا: {chi2_upper:.4f}")
9

MATLAB

1alpha = 0.05;
2df = 4;
3chi2_lower = chi2inv(alpha / 2, df);
4chi2_upper = chi2inv(1 - alpha / 2, df);
5fprintf('مقدار بحرانی پایین: %.4f\n', chi2_lower);
6fprintf('مقدار بحرانی بالا: %.4f\n', chi2_upper);
7

جاوااسکریپت

1// مثال جاوااسکریپت برای مقادیر بحرانی آزمون کای‌مربع
2function calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df) {
3  const lower = jStat.chisquare.inv(alpha / 2, df);
4  const upper = jStat.chisquare.inv(1 - alpha / 2, df);
5  return { lower, upper };
6}
7
8const alpha = 0.05;
9const df = 4;
10const chi2_vals = calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df);
11console.log(`مقدار بحرانی پایین: ${chi2_vals.lower.toFixed(4)}`);
12console.log(`مقدار بحرانی بالا: ${chi2_vals.upper.toFixed(4)}`);
13

توجه: نیاز به کتابخانه jStat دارد.

اکسل

1' فرمول‌های اکسل برای مقادیر بحرانی آزمون کای‌مربع (دوطرفه)
2' مقدار بحرانی پایین (در یک سلول):
3=CHISQ.INV(0.025, 4)
4
5' مقدار بحرانی بالا (در یک سلول دیگر):
6=CHISQ.INV(0.975, 4)
7
8' نتایج:
9' مقدار بحرانی پایین: 0.7107
10' مقدار بحرانی بالا: 11.1433
11

مثال 4: مدیریت مقادیر شدید (مورد حاشیه‌ای)

سناریو: آزمایشی با سطح معنی‌داری بسیار کوچک ( \alpha = 0.0001 ) و ( df = 1 ) انجام می‌شود.

راه‌حل:

برای آزمون t یک‌طرفه: $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
مقدار بحرانی به عدد بسیار بزرگی نزدیک می‌شود.

مثال کد (پایتون):

1import scipy.stats as stats
2
3alpha = 0.0001
4df = 1
5t_c = stats.t.ppf(1 - alpha, df)
6print(f"مقدار بحرانی (t_c): {t_c}")
7

نتیجه:

خروجی مقدار بحرانی بسیار بزرگی را نشان می‌دهد که نشان می‌دهد با چنین ( \alpha ) کوچک و ( df ) پایین، مقدار بحرانی به شدت بالا است و ممکن است به بی‌نهایت نزدیک شود. این نمونه‌ای از این است که چگونه ورودی‌های شدید می‌توانند منجر به چالش‌های محاسباتی شوند.

مدیریت در محاسبه‌گر:

محاسبه‌گر برای چنین مواردی 'بی‌نهایت' یا 'نامشخص' را بازمی‌گرداند و به کاربر توصیه می‌کند که سطح معنی‌داری را تنظیم کند یا از روش‌های جایگزین استفاده کند.

تجسم

درک مقادیر بحرانی با تجسم منحنی‌های توزیع و نواحی رد شده تسهیل می‌شود.

توزیع نرمال (آزمون Z)

0 1.96 توزیع نرمال استاندارد ناحیه رد ناحیه ناحیه پذیرش ناحیه مقدار بحرانی

یک نمودار SVG که توزیع نرمال استاندارد را با مقدار بحرانی(ها) علامت‌گذاری شده نشان می‌دهد. ناحیه فراتر از مقدار بحرانی نمایانگر ناحیه رد است. محور x نمایانگر نمره z و محور y نمایانگر تابع چگالی احتمال f(z) است.

توزیع t

0 -2.101 2.101 توزیع t (df = 20) ناحیه رد چپ ناحیه ناحیه رد راست ناحیه ناحیه پذیرش ناحیه مقدار بحرانی مقدار بحرانی

یک نمودار SVG که توزیع t را برای درجات آزادی مشخص شده با مقدار بحرانی(ها) علامت‌گذاری شده نشان می‌دهد. به‌ویژه، توزیع t نسبت به توزیع نرمال دم‌های سنگین‌تری دارد.

توزیع کای‌مربع

χ² چگالی احتمال توزیع کای‌مربع آزمون دوطرفه

یک نمودار SVG که توزیع کای‌مربع را با مقادیر بحرانی پایین و بالا علامت‌گذاری شده برای آزمون دوطرفه نشان می‌دهد. توزیع به سمت راست کج شده است.

توجه: نمودارهای SVG در محتوا گنجانده شده‌اند تا درک را تسهیل کنند. هر نمودار به دقت برچسب‌گذاری شده و رنگ‌ها به گونه‌ای انتخاب شده‌اند که با Tailwind CSS همخوانی داشته باشند.

منابع

پیرسون، ک. (1900). On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is Such that it Can be Reasonably Supposed to Have Arisen from Random Sampling. Philosophical Magazine Series 5, 50(302), 157–175. لینک
دانش‌آموز (گوسِت، و. س.) (1908). The Probable Error of a Mean. Biometrika, 6(1), 1–25. لینک
فیشر، ر. ا. (1925). Statistical Methods for Research Workers. ادینبرو: اولیور و بویید.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. مقادیر بحرانی. لینک
ویکی‌پدیا. مقدار بحرانی. لینک

محاسبه مقدار بحرانی برای آزمون‌های آماری مختلف

مقدار بحرانی

مستندات