محاسبه‌گر مقدار بحرانی | آزمون Z، آزمون t، کای-اسکوئر

مقدار بحرانی، نقطهٔ برشی در یک توزیع احتمال است که مرز «ناحیهٔ رد» را در آزمون فرض مشخص می‌کند. اگر آمارهٔ آزمون از مقدار بحرانی فراتر رود، نتیجه از نظر آماری معنادار تلقی می‌شود و فرض صفر رد می‌گردد. این ماشین‌حساب مقادیر بحرانی سه آزمون رایج را پیدا می‌کند: آزمون Z، آزمون t و آزمون کای‌دو.

مقدار بحرانی چیست؟

در آمار، پژوهشگران اغلب با یک فرض صفر آغاز می‌کنند؛ فرضی ساده مبنی بر اینکه اتفاق غیرعادی رخ نمی‌دهد (برای مثال، اینکه یک داروی جدید اثری ندارد). آمارهٔ آزمون از داده‌های نمونه محاسبه می‌شود و برای تصمیم‌گیری دربارهٔ اینکه آیا داده‌ها شواهد کافی علیه فرض صفر ارائه می‌کنند یا نه، با یک مقدار بحرانی مقایسه می‌شود.

مقدار بحرانی به سه چیز بستگی دارد: انتخاب آزمون، سطح معناداری (که با α، حرف یونانی آلفا، نوشته می‌شود) و یک‌طرفه یا دوطرفه بودن آزمون. سطح معناداری احتمال رد اشتباه یک فرض صفر درست است و اغلب روی ۰٫۰۵ (۵٪) یا ۰٫۰۱ (۱٪) تنظیم می‌شود.

آزمون یک‌طرفه اثر را در یک جهت، مانند «بزرگ‌تر از»، بررسی می‌کند و یک مقدار بحرانی دارد. آزمون دوطرفه اثر را در هر یک از دو جهت بررسی می‌کند و دو مقدار بحرانی دارد؛ یکی در هر سوی توزیع.

نحوهٔ محاسبهٔ مقدار بحرانی

1. آزمون را انتخاب کنید: آزمون Z (نمونه‌های بزرگ یا واریانس جامعهٔ معلوم)، آزمون t (نمونه‌های کوچک با واریانس نامعلوم) یا آزمون کای‌دو (داده‌های طبقه‌ای یا نیکویی برازش).
2. نوع دُم را انتخاب کنید: یک‌طرفه یا دوطرفه.
3. سطح معناداری α را انتخاب کنید؛ عددی بین ۰ و ۱. گزینه‌های رایج عبارت‌اند از ۰٫۱۰، ۰٫۰۵ و ۰٫۰۱.
4. برای آزمون t یا آزمون کای‌دو، درجات آزادی (df) را وارد کنید. در آزمون t، df برابر است با اندازهٔ نمونه منهای ۱. در آزمون کای‌دو برای نیکویی برازش، df برابر است با تعداد دسته‌ها منهای ۱.
5. مقداری را که ناحیهٔ دُم انتخاب‌شده را زیر منحنی توزیع جدا می‌کند، از جدول پیدا کنید (یا محاسبه کنید). این مقدار، مقدار بحرانی است.

فرمول‌های مقدار بحرانی

هر فرمول از معکوس تابع توزیع تجمعی استفاده می‌کند: مقدار x که مساحت زیر منحنی تا x برابر با احتمال هدف p باشد.

فرمول آزمون Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(یک‌طرفه)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(دوطرفه)}$

Φ⁻¹ معکوس تابع توزیع تجمعی نرمال استاندارد است.

فرمول آزمون t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(یک‌طرفه)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(دوطرفه)}$

t⁻¹(p, df) معکوس تابع توزیع تجمعی توزیع t با df درجهٔ آزادی است.

فرمول آزمون کای‌دو

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(یک‌طرفه)}$ $\chi^2_{\text{پایین}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{بالا}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(دوطرفه)}$

توزیع کای‌دو فقط مقادیر مثبت می‌گیرد؛ بنابراین هر دو مقدار بحرانی مثبت‌اند و مقدار بحرانی پایین از مقدار بحرانی بالا کوچک‌تر است.

مثال: مقدار بحرانی آزمون Z

یک گروه کنترل کیفیت به مقدار بحرانی آزمون Z یک‌طرفه در α = ۰٫۰۵ نیاز دارد.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

هر آمارهٔ آزمون بالاتر از ۱٫۶۴۴۹ در ناحیهٔ رد قرار می‌گیرد.

مثال: مقدار بحرانی آزمون t

یک پژوهشگر آزمایشی با ۲۰ شرکت‌کننده انجام می‌دهد، بنابراین df = ۱۹ است. او مقدار بحرانی دوطرفه را در α = ۰٫۰۱ می‌خواهد.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

نواحی رد عبارت‌اند از t < -۲٫۸۶۰۹ و t > ۲٫۸۶۰۹.

مثال: مقادیر بحرانی کای‌دو

یک تحلیل‌گر فراوانی‌های مشاهده‌شده و موردانتظار را در ۵ دسته مقایسه می‌کند، بنابراین df = ۴ است. او مقادیر بحرانی دوطرفه را در α = ۰٫۰۵ می‌خواهد.

$\chi^2_{\text{پایین}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{بالا}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

آمارهٔ کای‌دو کمتر از ۰٫۴۸۴۴ یا بیشتر از ۱۱٫۱۴۳۳ در ناحیهٔ رد قرار می‌گیرد.

مقادیر بحرانی رایج

با افزایش درجات آزادی، مقادیر بحرانی توزیع t به مقادیر متناظر آزمون Z نزدیک‌تر و کوچک‌تر می‌شوند، زیرا توزیع t به توزیع نرمال نزدیک می‌شود.

پرسش‌های متداول

مقدار بحرانی برای چه چیزی استفاده می‌شود؟ این مقدار مرزی برای تصمیم‌گیری دربارهٔ اینکه آیا آمارهٔ آزمون به‌اندازهٔ کافی افراطی هست که فرض صفر رد شود یا نه تعیین می‌کند. اگر آماره از مقدار بحرانی عبور کند، نتیجه در سطح α انتخاب‌شده از نظر آماری معنادار است.

تفاوت مقدار بحرانی یک‌طرفه و دوطرفه چیست؟ آزمون یک‌طرفه به دنبال اثر در یک جهت است و یک مقدار بحرانی دارد. آزمون دوطرفه به دنبال اثر در هر یک از دو جهت است و دو مقدار بحرانی دارد که در آزمون Z و آزمون t به‌صورت متقارن در دو سوی مرکز قرار می‌گیرند. برای α یکسان، مقدار بحرانی دوطرفه از نظر قدرمطلق بزرگ‌تر از مقدار یک‌طرفه است، زیرا همان احتمال کل به‌جای یک دُم، میان دو دُم تقسیم می‌شود.

چه زمانی باید به‌جای آزمون t از آزمون Z استفاده کرد؟ آزمون Z زمانی استفاده می‌شود که واریانس جامعه معلوم باشد یا نمونه بزرگ باشد؛ معمولاً ۳۰ مشاهده یا بیشتر. آزمون t برای نمونه‌های کوچک‌تر با واریانس نامعلوم جامعه استفاده می‌شود. با افزایش اندازهٔ نمونه، مقادیر بحرانی آزمون t به مقادیر بحرانی آزمون Z همگرا می‌شوند.

آیا مقدار بحرانی می‌تواند منفی باشد؟ بله. توزیع‌های آزمون Z و آزمون t حول صفر متقارن‌اند؛ بنابراین آزمون دوطرفه یک مقدار بحرانی منفی و یک مقدار بحرانی مثبت دارد. مقادیر بحرانی کای‌دو همیشه مثبت‌اند، زیرا توزیع کای‌دو فقط برای مقادیر صفر یا بیشتر تعریف می‌شود.

درجات آزادی چه اثری بر مقدار بحرانی دارند؟ درجات آزادی میزان اطلاعات مستقل موجود در داده‌ها را نشان می‌دهند و معمولاً برابرند با اندازهٔ نمونه منهای تعداد پارامترهایی که پیش‌تر برآورد شده‌اند. درجات آزادی کمتر، توزیع‌هایی با پراکندگی بیشتر و دُم‌های سنگین‌تر و در نتیجه مقادیر بحرانی بزرگ‌تر ایجاد می‌کنند. درجات آزادی بیشتر، توزیع t و توزیع کای‌دو را به توزیع نرمال نزدیک‌تر می‌کنند.

کدام مقدار بحرانی با سطح اطمینان ۹۵٪ مطابقت دارد؟ سطح اطمینان ۹۵٪ از α = ۰٫۰۵ استفاده می‌کند. در آزمون Z دوطرفه، مقادیر بحرانی ±۱٫۹۶۰۰ هستند. در آزمون Z یک‌طرفه، مقدار بحرانی ۱٫۶۴۴۹ است.

تاریخچه

کارل پیرسون آزمون کای‌دو را در ۱۹۰۰ معرفی کرد. ویلیام سیلی گاست، که با نام «Student» مقاله منتشر می‌کرد، توزیع t را در ۱۹۰۸ برای کار با نمونه‌های کوچک در کارخانهٔ آبجوسازی گینس توسعه داد. رونالد فیشر در دههٔ ۱۹۲۰ در کتاب روش‌های آماری برای پژوهشگران آزمون معناداری و مقادیر بحرانی را صورت‌بندی کرد. پیش از رایانه‌ها، پژوهشگران مقادیر بحرانی را در جدول‌های چاپی پیدا می‌کردند؛ امروزه ماشین‌حساب‌ها و نرم‌افزارها آن‌ها را مستقیماً از فرمول‌های توزیع محاسبه می‌کنند.

منابع

1. پیرسون، ک. (۱۹۰۰). «دربارهٔ معیاری که بر اساس آن می‌توان به‌طور معقول فرض کرد یک دستگاه معین از انحراف‌ها... از نمونه‌گیری تصادفی پدید آمده است.» مجلهٔ فلسفی، مجموعهٔ ۵، ۵۰(۳۰۲)، ۱۵۷–۱۷۵.
2. Student [گاست، و. س.] (۱۹۰۸). «خطای محتمل میانگین.» Biometrika، ۶(۱)، ۱–۲۵.
3. فیشر، ر. ا. (۱۹۲۵). روش‌های آماری برای پژوهشگران. ادینبرو: الیور و بوید.
4. کتابچهٔ الکترونیکی روش‌های آماری NIST/SEMATECH، «مقادیر بحرانی».