Miller Indices Calculator - Muunna kiteen tasojen leikkaukset hkl-merkintään

Millerin indeksilaskin: Olennainen työkalu kristallografiassa

Millerin indeksilaskin on tehokas verkkotyökalu kristallografeille, materiaalitieteilijöille ja opiskelijoille, joka auttaa määrittämään Millerin indeksit kiteisille tasoille. Millerin indeksit ovat merkintäjärjestelmä, jota käytetään kristallografiassa tasojen ja suuntien määrittämiseen kiteisissä verkoissa. Tämä Millerin indeksilaskin mahdollistaa kiteisen tason leikkausten helpon muuntamisen koordinaattiakseleihin vastaaviksi Millerin indekseiksi (hkl), tarjoten standardoidun tavan tunnistaa ja kommunikoida erityisistä kiteisistä tasoista.

Millerin indeksit ovat perustavanlaatuisia kiteisten rakenteiden ja niiden ominaisuuksien ymmärtämisessä. Esittämällä tasot yksinkertaisella kolmen kokonaisluvun (h,k,l) joukolle, Millerin indeksit mahdollistavat tutkijoiden analysoida röntgendiffraktiokuvioita, ennustaa kiteen kasvukäyttäytymistä, laskea taso- ja väliä sekä tutkia erilaisia fysikaalisia ominaisuuksia, jotka riippuvat kristallografisesta suuntauksesta.

Mitä ovat Millerin indeksit kristallografiassa?

Millerin indeksit ovat kolmonen kokonaisluku (h,k,l), jotka määrittävät perhesarjan rinnakkaisia tasoja kiteisessä verkossa. Nämä indeksit johdetaan tason leikkausten käänteisistä arvoista, jotka tason tekee kristallografisten akselien kanssa. Millerin indeksimerkintä tarjoaa standardoidun tavan tunnistaa erityiset kiteiset tasot kiteisessä rakenteessa, mikä tekee siitä olennaisen kristallografia ja materiaalitiede sovelluksille.

Millerin indeksien visuaalinen esitys

x y z

a=2 b=3 c=6

(3,2,1) Taso

Millerin indeksit (3,2,1) kiteinen taso

3D-visualisointi kiteisestä tasosta, jossa on Millerin indeksit (3,2,1). Taso leikkaa x-, y- ja z-akseleita pisteissä 2, 3 ja 6, mikä johtaa Millerin indekseihin (3,2,1) ottaen käänteiset arvot ja löytämällä pienimmän kokonaislukujoukon, jolla on sama suhde.

Millerin indeksien kaava ja laskentamenetelmä

Laske Millerin indeksit (h,k,l) kiteiselle tasolle seuraamalla näitä matemaattisia vaiheita käyttäen Millerin indeksilaskinta:

Määritä tason leikkaukset x-, y- ja z-kristallografisten akselien kanssa, antaen arvot a, b ja c.
Ota näiden leikkausten käänteiset arvot: 1/a, 1/b, 1/c.
Muunna nämä käänteiset arvot pienimpään kokonaislukujoukkoon, joka säilyttää saman suhteen.
Tuloksena olevat kolme kokonaislukua ovat Millerin indeksit (h,k,l).

Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista seuraavasti:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Missä:

(h,k,l) ovat Millerin indeksit
a, b, c ovat tason leikkaukset x-, y- ja z-akseleiden kanssa, vastaavasti

Erityistapaukset ja käytännöt

Useat erityistapaukset ja käytännöt ovat tärkeitä ymmärtää:

Äärettömät leikkaukset: Jos taso on rinnakkain akselin kanssa, sen leikkaus katsotaan äärettömäksi, ja vastaava Millerin indeksi tulee nollaksi.
Negatiiviset indeksit: Jos taso leikkaa akselin alkuperän negatiivisella puolella, vastaava Millerin indeksi on negatiivinen, merkitty viivalla numeron ylle kristallografisessa merkinnässä, esim. (h̄kl).
Murtoluvut leikkauksissa: Jos leikkaukset ovat murtolukuja, ne muunnetaan kokonaisluvuiksi kertomalla pienimmällä yhteisellä monikerralla.
Yksinkertaistaminen: Millerin indeksit vähennetään aina pienimpään kokonaislukujoukkoon, joka säilyttää saman suhteen.

Kuinka käyttää Millerin indeksilaskinta: Askel askeleelta -opas

Millerin indeksilaskin tarjoaa yksinkertaisen tavan määrittää Millerin indeksit mille tahansa kiteiselle tasolle. Tässä on, kuinka käyttää Millerin indeksilaskinta:

Syötä leikkaukset: Syötä arvot, joissa taso leikkaa x-, y- ja z-akseleita.
- Käytä positiivisia lukuja leikkauksille, jotka ovat alkuperän positiivisella puolella.
- Käytä negatiivisia lukuja leikkauksille, jotka ovat negatiivisella puolella.
- Syötä "0" tasoille, jotka ovat rinnakkain akselin kanssa (äärettömän leikkauksen).
Katso tulokset: Laskin laskee automaattisesti ja näyttää Millerin indeksit (h,k,l) määritetylle tasolle.
Visualisoi taso: Laskin sisältää 3D-visualisoinnin, joka auttaa ymmärtämään tason suuntaa kiteisessä verkossa.
Kopioi tulokset: Käytä "Kopioi leikepöydälle" -painiketta siirtääksesi lasketut Millerin indeksit helposti muihin sovelluksiin.

Esimerkki Millerin indeksien laskennasta

Käydään läpi esimerkki:

Oletetaan, että taso leikkaa x-, y- ja z-akseleita pisteissä 2, 3 ja 6.

Leikkaukset ovat (2, 3, 6).
Ota käänteiset arvot: (1/2, 1/3, 1/6).
Löydä pienin kokonaislukujoukko, jolla on sama suhde, kertomalla pienimmällä yhteisellä monikerralla (2, 3, 6 = 6): (1/2 × 6, 1/3 × 6, 1/6 × 6) = (3, 2, 1).
Siksi Millerin indeksit ovat (3,2,1).

Millerin indeksien sovellukset tieteessä ja insinööritieteessä

Millerin indeksit ovat monilla sovelluksilla eri tieteellisten ja insinööritieteiden aloilla, mikä tekee Millerin indeksilaskimesta olennaisen:

Kristallografia ja röntgendiffraktio

Millerin indeksit ovat välttämättömiä röntgendiffraktiokuvioiden tulkinnassa. Kiteisten tasojen välinen etäisyys, jonka Millerin indeksit tunnistavat, määrää kulmat, joilla röntgensäteet diffraktoituvat, noudattaen Braggin lakia:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Missä:

$n$ on kokonaisluku
$\lambda$ on röntgensäteiden aallonpituus
$d_{hkl}$ on etäisyys tasojen välillä, joilla on Millerin indeksit (h,k,l)
$\theta$ on tulokulma

Materiaalitiede ja insinööritiede

Pintajännitysanalyysi: Eri kristallografiset tasot omaavat erilaisia pintajännityksiä, mikä vaikuttaa ominaisuuksiin, kuten kiteen kasvuun, katalyysiin ja tartuntaan.
Mekaaniset ominaisuudet: Kiteisten tasojen suuntaus vaikuttaa mekaanisiin ominaisuuksiin, kuten liukujärjestelmiin, halkeamatasoihin ja murtokäyttäytymiseen.
Puolijohteiden valmistus: Puolijohteiden valmistuksessa valitaan erityiset kiteiset tasot epitaksiaalista kasvua ja laitesuunnittelua varten niiden elektronisten ominaisuuksien vuoksi.
Tekstuurianalyysi: Millerin indeksit auttavat kuvaamaan suosittuja suuntia (tekstuuria) polykrystalinisissa materiaaleissa, mikä vaikuttaa niiden fysikaalisiin ominaisuuksiin.

Mineralogia ja geologia

Geologit käyttävät Millerin indeksejä kuvaamaan kiteisiä pintoja ja halkeamatasoja mineraaleissa, mikä auttaa tunnistamisessa ja muodostumisolosuhteiden ymmärtämisessä.

Koulutussovellukset

Millerin indeksit ovat perustavanlaatuisia käsitteitä, joita opetetaan materiaalitieteessä, kristallografiassa ja kiinteän aineen fysiikan kursseilla, mikä tekee tästä laskimesta arvokkaan koulutustyökalun.

Vaihtoehdot Millerin indekseille

Vaikka Millerin indeksit ovat yleisimmin käytetty merkintä kiteisille tasoille, useita vaihtoehtoisia järjestelmiä on olemassa:

Miller-Bravais-indeksit: Neljän indeksin merkintä (h,k,i,l), jota käytetään kuusikulmaisissa kiteisissä järjestelmissä, missä i = -(h+k). Tämä merkintä heijastaa paremmin kuusikulmaisten rakenteiden symmetriaa.
Weber-symbolit: Käytetään pääasiassa vanhemmassa kirjallisuudessa, erityisesti kuvaamaan suuntia kuutioissa.
Suorat verkko-vektorit: Joissakin tapauksissa tasoja kuvataan suoran verkko-vektorin avulla sen sijaan, että käytettäisiin Millerin indeksejä.
Wyckoff-asemat: Käytetään kuvaamaan atomiasemia kiteisissä rakenteissa sen sijaan, että kuvataan tasoja.

Huolimatta näistä vaihtoehdoista, Millerin indeksit pysyvät standardimerkintänä niiden yksinkertaisuuden ja yleisen sovellettavuuden vuoksi kaikissa kiteisissä järjestelmissä.

Millerin indeksien historia

Millerin indeksijärjestelmä kehitettiin brittiläisen mineralogin ja kristallografin William Hallowes Millerin toimesta vuonna 1839, ja se julkaistiin hänen teoksessaan "A Treatise on Crystallography". Millerin merkintä perustui aikaisempaan työhön, jonka olivat tehneet Auguste Bravais ja muut, mutta se tarjosi elegantimman ja matemaattisesti johdonmukaisemman lähestymistavan.

Ennen Millerin järjestelmää käytettiin erilaisia merkintöjä kiteisten pintojen kuvaamiseen, mukaan lukien Weiss-parametrit ja Naumann-symbolit. Millerin innovaatio oli käyttää leikkausten käänteisiä arvoja, mikä yksinkertaisti monia kristallografisia laskelmia ja tarjosi intuitiivisemman esityksen rinnakkaisista tasoista.

Millerin indeksien hyväksyntä kiihtyi Max von Laue'n röntgendiffraktion löytämisen myötä vuonna 1912 ja William Lawrence Bragg ja William Henry Braggin myöhemmän työn myötä. Heidän tutkimuksensa osoitti Millerin indeksien käytännön hyödyn diffraktiokuvioiden tulkinnassa ja kiteisten rakenteiden määrittämisessä.

Koko 1900-luvun ajan, kun kristallografia tuli yhä tärkeämmäksi materiaalitieteessä, kiinteän aineen fysiikassa ja biokemian alalla, Millerin indeksit vakiintuivat standardimerkinnäksi. Nykyään ne ovat olennaisia nykyaikaisissa materiaalien karakterisointitekniikoissa, laskennallisessa kristallografiassa ja nanomateriaalien suunnittelussa.

Koodiesimerkit Millerin indeksien laskemiseksi

1import math
2import numpy as np
3
4def calculate_miller_indices(intercepts):
5    """
6    Laske Millerin indeksit leikkauksista
7    
8    Args:
9        intercepts: Kolmonen leikkausta [a, b, c]
10        
11    Returns:
12        Kolmonen Millerin indeksi [h, k, l]
13    """
14    # Käsittele äärettömiä leikkauksia (rinnakkain akselin kanssa)
15    reciprocals = []
16    for intercept in intercepts:
17        if intercept == 0 or math.isinf(intercept):
18            reciprocals.append(0)
19        else:
20            reciprocals.append(1 / intercept)
21    
22    # Etsi ei-nolla-arvot GCD-laskentaa varten
23    non_zero = [r for r in reciprocals if r != 0]
24    
25    if not non_zero:
26        return [0, 0, 0]
27    
28    # Skaalaa kohtuullisiin kokonaislukuihin (välttää liukulukujen ongelmat)
29    scale = 1000
30    scaled = [round(r * scale) for r in non_zero]
31    
32    # Etsi GCD
33    gcd_value = np.gcd.reduce(scaled)
34    
35    # Muunna takaisin pienimmiksi kokonaisluvuiksi
36    miller_indices = []
37    for r in reciprocals:
38        if r == 0:
39            miller_indices.append(0)
40        else:
41            miller_indices.append(round((r * scale) / gcd_value))
42    
43    return miller_indices
44
45# Esimerkin käyttö
46intercepts = [2, 3, 6]
47indices = calculate_miller_indices(intercepts)
48print(f"Millerin indeksit leikkauksille {intercepts}: {indices}")  # Tulostus: [3, 2, 1]
49

function gcd(a, b) {
  a = Math.abs(a);
  b = Math.abs(b);
  
  while (b !== 0) {
    const temp = b;
    b = a % b;
    a = temp;
  }
  
  return a;
}

function gcdMultiple(numbers) {
  return numbers.reduce((result, num

Whiz Tools

Millerin indeksit laskin kiteiden tasojen tunnistamiseen

Millerin Indeksit Laskin

Kiteen Tason Leikkaukset

Millerin Indeksit

Visualisointi

Mitä ovat Millerin Indeksit?

Dokumentaatio

Miller Indices Calculator - Muunna kiteen tasojen leikkaukset hkl-merkintään

Millerin indeksilaskin: Olennainen työkalu kristallografiassa

Mitä ovat Millerin indeksit kristallografiassa?

Millerin indeksien visuaalinen esitys

Millerin indeksien kaava ja laskentamenetelmä

Erityistapaukset ja käytännöt

Kuinka käyttää Millerin indeksilaskinta: Askel askeleelta -opas

Esimerkki Millerin indeksien laskennasta

Millerin indeksien sovellukset tieteessä ja insinööritieteessä

Kristallografia ja röntgendiffraktio

Materiaalitiede ja insinööritiede

Mineralogia ja geologia

Koulutussovellukset

Vaihtoehdot Millerin indekseille

Millerin indeksien historia

Koodiesimerkit Millerin indeksien laskemiseksi

Liittyvät Työkalut

Kaltekulma Laskuri Puusepäntyöhön ja Rakentamiseen

Six Sigma -laskin: Mittaa prosessisi laatua

Molekyylipainon Laskin - Ilmainen Kemiallisten Kaavojen Työkalu

Binomijakauman laskin: Laskentatyökalu tilastotieteelle

Gamma-jakauman laskin käyttäjän parametreilla

Betonikannan laskin: Tilavuus ja tarvittavat säkit