Miller-indeksien Laskuri - Muunna Kidekerroksen Leikkauspisteet (hkl):ksi

Mitä Millerin indeksit ovat?

Millerin indeksit ovat kolmen kokonaisluvun joukko, joka merkitään muodossa (h,k,l) ja joka yksilöi tason kidehilassa. Kidehila on kiinteässä aineessa esiintyvä atomien toistuva ja säännöllinen järjestys. Millerin indeksit kertovat tutkijoille täsmälleen, mitä hilan läpi kulkevaa leikkaustasoa taso edustaa ilman, että sen geometriaa tarvitsee kuvata sanoin. Brittiläinen mineralogi William Hallowes Miller otti ne käyttöön vuonna 1839, ja ne ovat edelleen kristallografian vakiintunut merkintätapa.

Tämä laskin muuntaa tason leikkauspisteet kristallografisilla x-, y- ja z-akseleilla Millerin indekseiksi (h,k,l).

Millerin indeksien kaava

Millerin indeksit saadaan tason akselileikkauspisteiden käänteisluvuista. Jos taso leikkaa x-, y- ja z-akselit etäisyyksillä a, b ja c origosta, indeksit toteuttavat seuraavan ehdon:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Millerin indeksien laskeminen leikkauspisteistä

1. Selvitä, missä kohdissa taso leikkaa kunkin akselin, kun etäisyydet ilmoitetaan yksikkökopin särmän yksiköissä. Merkitään näitä leikkauspisteitä symboleilla a, b ja c.
2. Ota kunkin leikkauspisteen käänteisluku: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Kerro kaikki kolme käänteislukua samalla luvulla niin, että kustakin tulee kokonaisluku.
4. Jaa kolme kokonaislukua niiden suurimmalla yhteisellä tekijällä, jotta niitä ei voida enää supistaa.

Saadut kolme kokonaislukua ovat h, k ja l. Jos taso ei koskaan leikkaa akselia, sen katsotaan leikkaavan akselin äärettömyydessä, ja 1 jaettuna äärettömyydellä on 0, joten kyseisen akselin Millerin indeksiksi tulee 0.

Laskuesimerkki

Taso leikkaa x-akselin kohdassa 2, y-akselin kohdassa 3 ja z-akselin kohdassa 6.

1. Leikkauspisteet: (2, 3, 6)
2. Käänteisluvut: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Kerrotaan nimittäjien pienimmällä yhteisellä jaettavalla, 6: (3, 2, 1)
4. Lukujen 3, 2 ja 1 suurin yhteinen tekijä on 1, joten lukuja ei voida enää supistaa.

Millerin indeksit ovat (321).

Muita esimerkkejä

• Tason, joka kulkee pisteen (1, ∞, 2) kautta ja on yhdensuuntainen y-akselin kanssa, käänteisluvut ovat (1, 0, 1/2). Kun nämä kerrotaan luvulla 2, saadaan (2, 0, 1). Arvo 0 osoittaa, ettei taso leikkaa y-akselia.
• Tason, joka kulkee pisteen (-1, 2, 3) kautta, käänteisluvut ovat (-1, 1/2, 1/3). Kun nämä kerrotaan luvulla 6, saadaan (-6, 3, 2), joka kirjoitetaan yleensä muodossa (6̄32), jossa negatiivisen indeksin päällä on viiva.
• Tason, joka kulkee pisteen (1, ∞, ∞) kautta, käänteisluvut ovat (1, 0, 0), joten indeksit ovat (100). Tämä on yksi kuution kuudesta tahkosta.

Erityistapaukset

Akselin suuntainen taso ei koskaan leikkaa tätä akselia, joten leikkauspisteen katsotaan olevan äärettömyydessä ja sen Millerin indeksiksi tulee 0. Taso, joka leikkaa akselin origon negatiivisella puolella, saa negatiivisen indeksin. Muodollisessa merkinnässä luvun päällä käytetään viivaa, ja tavallisessa tekstissä miinusmerkkiä. Origon kautta kulkevalla tasolla ei ole määriteltyjä Millerin indeksejä, koska jokaisen kidehilan yhdensuuntaisten tasojen joukon on oltava siirtynyt origosta, jotta sille voidaan määrittää indeksit; origoa on siirrettävä ennen kuin tällainen taso voidaan kuvata. Murtolukuna ilmoitetut leikkauspisteet käsitellään samalla tavalla kuin kokonaisluvut: otetaan kunkin käänteisluku ja poistetaan sitten murtoluvut.

Indeksit supistetaan aina mahdollisimman pieniksi kokonaisluvuiksi. (622) ja (311) kuvaavat samaa tasoperhettä, mutta kristallografit kirjoittavat aina (311).

Laskimen käyttö

Syötä tason leikkauspisteet x-, y- ja z-akselien kanssa.

• Käytä positiivista lukua origon positiivisella puolella olevalle leikkauspisteelle ja negatiivista lukua negatiivisella puolella olevalle.
• Kirjoita tasolle, joka kulkee akselin suuntaisesti, ”infinity”, ”inf” tai ”∞”.
• Nollaleikkauspistettä ei hyväksytä, koska origon kautta kulkevalle tasolle ei voida määrittää Millerin indeksejä tällä menetelmällä.

Laskin laskee indeksit heti ja näyttää kaavion tasosta yksikkökopin sisällä.

Millerin indeksien sovellukset

Röntgendiffraktio. Jokainen piste tai huippu röntgendiffraktiokuviossa vastaa kidehilan tasojoukkoa, jolla on tietty (hkl). Braggin laki yhdistää näiden tasojen välisen etäisyyden diffraktiokulmaan:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Tässä d_hkl on tasojen (h,k,l) välinen etäisyys, λ on röntgensäteilyn aallonpituus ja θ on diffraktiokulma. Havaittujen huippujen yhdistäminen (hkl)-arvoihin, eli indeksointi, on keskeinen vaihe tuntemattoman kiderakenteen tunnistamisessa.

Materiaalitiede. Eri kidetasot paljastavat erilaisia atomijärjestyksiä, joten niillä on erilaiset pintaenergiat, kemiallisten reaktioiden nopeudet ja tehtävät metallin muodonmuutoksessa. Pintakeskisissä kuutiollisissa metalleissa, kuten alumiinissa, atomitasot liukuvat helpoimmin toistensa ohi tasoperheissä {111}. Tietokonesirujen piikiekot leikataan yleensä (100)- tai (111)-tasoa pitkin, koska valinta vaikuttaa myöhempien valmistusvaiheiden toimintaan.

Mineralogia. Luonnollisessa kiteessä näkyvät tasaiset tahkot ja suunnat, joita pitkin mineraali lohkeaa siististi eli sen lohkeavuus, vastaavat tiettyjä pienindeksisiä tasoja. Halitti eli ruokasuola lohkeaa {100}-tasojen suuntaisesti, ja fluoriitti lohkeaa {111}-tasojen suuntaisesti.

Miller–Bravais-indeksit heksagonaalisille kiteille

Heksagonaaliset kiteet, kuten magnesium, sinkki ja titaani, kuvataan yleensä neljän indeksin järjestelmällä (hkil) kolmen sijaan. Ylimääräinen indeksi i ei ole riippumaton, vaan i = -(h+k). Tämä esitystapa helpottaa sen havaitsemista, että kaksi tasoa kuuluu samaan symmetrian suhteen ekvivalenttien tasojen perheeseen, mikä ei heksagonaalisessa hilassa aina käy ilmi pelkästä kolmen indeksin Millerin merkinnästä.

Historia

William Hallowes Miller esitteli Millerin indeksit vuonna 1839 ilmestyneessä kirjassaan A Treatise on Crystallography. Kidetahkojen merkitsemiseen oli jo aiempia järjestelmiä, mutta Millerin menetelmä, jossa käytetään leikkauspisteiden käänteislukuja, helpotti akselin suuntaisten tasojen käsittelyä, koska niiden leikkauspiste on äärettömyydessä ja sen käänteisluku on yksinkertaisesti 0. Max von Laue havaitsi kiteiden röntgendiffraktion vuonna 1912, minkä jälkeen William Henry Bragg ja William Lawrence Bragg osoittivat, että Millerin indeksit kuvaavat täsmälleen diffraktiohuippujen aiheuttajina olevat tasot. Tästä työstä he saivat yhdessä fysiikan Nobelin palkinnon vuonna 1915.

Usein kysyttyä

Mihin Millerin indeksejä käytetään? Ne yksilöivät kidehilan tietyt tasot. Niitä käytetään röntgen- ja elektronidiffraktion huippujen indeksointiin, metallien liukutasojen kuvaamiseen, puolijohdekiekkojen orientaation määrittämiseen sekä mineraalien tahkojen ja lohkeavuuden merkitsemiseen.

Mitä nolla Millerin indeksissä tarkoittaa? Se tarkoittaa, että taso on yhdensuuntainen kyseisen akselin kanssa eikä koskaan leikkaa sitä. Esimerkiksi (201) on yhdensuuntainen y-akselin kanssa.

Mitä negatiiviset Millerin indeksit tarkoittavat? Ne tarkoittavat, että taso leikkaa kyseisen akselin origon negatiivisella puolella. Negatiivinen indeksi merkitään luvun päälle asetettavalla viivalla, kuten (2̄11), tai miinusmerkillä, kuten (-2,1,1).

Miksi origon kautta kulkevalla tasolla ei voi olla Millerin indeksejä? Millerin indeksit saadaan leikkauspisteen käänteisluvusta. Origoon kulkeva taso leikkaa jokaisen akselin kohdassa 0, ja 1/0 on määrittelemätön, joten menetelmä ei voi antaa indeksejä, ellei tasoa siirretä.

Mitä eroa on Millerin ja Miller–Bravais'n indekseillä? Millerin indeksit (hkl) käyttävät kolmea lukua ja soveltuvat kaikkiin kidejärjestelmiin. Miller–Bravais-indeksit (hkil) lisäävät neljännen, riippuvan indeksin, ja niitä käytetään pääasiassa heksagonaalisille kiteille, joissa symmetrian suhteen ekvivalentit tasot on helpompi tunnistaa.

Miten tasojen välinen etäisyys liittyy Millerin indekseihin? Kuutiollisessa kiteessä, jonka särmän pituus on a, vierekkäisten (hkl)-tasojen välinen etäisyys on d = a / √(h² + k² + l²). Suuri-indeksiset tasot ovat lähempänä toisiaan. Muissa kidejärjestelmissä käytetään samankaltaista mutta monimutkaisempaa kaavaa, joka ottaa huomioon akselien erisuuruiset pituudet ja ei-90°:n kulmat.

Lähteet

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W. & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4. painos). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D. & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3. painos). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.