Gamma-jakauman laskin

Johdanto

Gamma-jakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, jota käytetään laajalti eri tieteen, insinöörityön ja rahoituksen aloilla. Sitä luonnehtii kaksi parametria: muoto-parametri (k tai α) ja skaala-parametri (θ tai β). Tämä laskin mahdollistaa gamma-jakauman eri ominaisuuksien laskemisen näiden syöttöparametrien perusteella.

Kaava

Gamma-jakauman tiheysfunktio (PDF) on seuraava:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Missä:

• x > 0 on satunnaismuuttuja
• k > 0 on muoto-parametri
• θ > 0 on skaala-parametri
• Γ(k) on gamma-funktio

Kumulatiivinen jakaumafunktio (CDF) on:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Missä γ(k, x/θ) on alhainen epätäydellinen gamma-funktio.

Gamma-jakauman keskeisiä ominaisuuksia ovat:

1. Keskiarvo: $E[X] = k\theta$
2. Varianssi: $Var[X] = k\theta^2$
3. Vinous: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$

Kuinka käyttää tätä laskinta

1. Syötä muoto-parametri (k tai α)
2. Syötä skaala-parametri (θ tai β)
3. Napsauta "Laske" laskeaksesi gamma-jakauman eri ominaisuuksia
4. Tulokset näyttävät keskiarvon, varianssin, vinouden, kurtosisin ja muita asiaankuuluvia tietoja
5. Todennäköisyysjakauman tiheysfunktion visualisointi näytetään

Laskenta

Laskin käyttää yllä mainittuja kaavoja gamma-jakauman eri ominaisuuksien laskemiseen. Tässä on vaiheittainen selitys:

1. Vahvista syöttöparametrit (sekä k että θ on oltava positiivisia)
2. Laske keskiarvo: $k\theta$
3. Laske varianssi: $k\theta^2$
4. Laske vinous: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Laske kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$
6. Laske moodi: $(k-1)\theta$ kun k ≥ 1, muuten 0
7. Generoi pisteitä PDF-käyrälle käyttämällä yllä annettua kaavaa
8. Piirrä PDF-käyrä

Numeraaliset huomioitavat seikat

Gamma-jakauman laskentaa toteutettaessa on otettava huomioon useita numeerisia seikkoja:

1. Erittäin pienillä muoto-parametreilla (k < 1) PDF voi lähestyä äärettömyyttä, kun x lähestyy 0, mikä voi aiheuttaa numeerista epävakautta.
2. Suurilla muoto-parametreilla gamma-funktio Γ(k) voi kasvaa erittäin suureksi, mikä voi aiheuttaa ylivuotoa. Tällaisissa tapauksissa on suositeltavaa työskennellä gamma-funktion logaritmin kanssa.
3. Kumulatiivisen jakaumafunktion (CDF) laskemisessa on usein numeerisesti vakaampaa käyttää erikoistuneita algoritmeja epätäydelliseen gamma-funktioon kuin suoraa PDF:n integrointia.
4. Äärimmäisten parametrien arvojen kohdalla voi olla tarpeen käyttää laajennettua tarkkuuslaskentaa tarkkuuden ylläpitämiseksi.

Käyttötapaukset

Gamma-jakaumalla on lukuisia sovelluksia eri aloilla:

1. Rahoitus: Tulonjakaumien, vakuutuskorvausmäärien ja omaisuuserien tuottojen mallintaminen
2. Meteorologia: Sateen mallintaminen ja muut sääilmiöt
3. Insinööritiede: Luotettavuusanalyysi ja vika-aikojen mallintaminen
4. Fysiikka: Radioaktiivisten hajoamisilmiöiden odotusaikojen kuvaaminen
5. Biologia: Lajien runsauden ja geeniekspression tasojen mallintaminen
6. Operaatioiden tutkimus: Jonotusteoria ja varastonhallinta

Vaihtoehdot

Vaikka gamma-jakauma on monipuolinen, on olemassa liittyviä jakaumia, jotka saattavat olla sopivampia tietyissä tilanteissa:

1. Eksponentiaalijakauma: Gamma-jakauman erityistapaus, kun k = 1
2. Khi-neliö-jakauma: Gamma-jakauman erityistapaus, kun k = n/2 ja θ = 2
3. Weibull-jakauma: Usein käytetään vaihtoehtona luotettavuusanalyysissä
4. Log-normaalijakauma: Toinen yleinen valinta vinon, positiivisen datan mallintamiseen

Parametrin arviointi

Kun työskennellään todellisten tietojen kanssa, on usein tarpeen arvioida gamma-jakauman parametreja. Yleisimmät menetelmät ovat:

1. Momenttimenetelmä: Näytteen hetkien tasaaminen teoreettisiin hetkiin
2. Maksimimääräysarviointi (MLE): Etsitään parametreja, jotka maksimoivat havaintojen todennäköisyyden
3. Bayesilainen arviointi: Sisällytetään ennakkotietoa parametreista

Hypoteesitestaus

Gamma-jakaumaa voidaan käyttää erilaisissa hypoteesitesteissä, mukaan lukien:

1. Hyvänsopivuustestit selvittääkseen, seuraako data gamma-jakaumaa
2. Testit kahden gamma-jakauman skaala-parametrien yhtäläisyyden arvioimiseksi
3. Testit kahden gamma-jakauman muoto-parametrien yhtäläisyyden arvioimiseksi

Historia

Gamma-jakaumalla on rikas historia matematiikassa ja tilastotieteessä:

• 1700-luku: Leonhard Euler esitteli gamma-funktion, joka on läheisesti liittyvä gamma-jakaumaan
• 1836: Siméon Denis Poisson käytti gamma-jakauman erityistapausta työssään todennäköisyysteoriassa
• 1920-luku: Ronald Fisher popularisoi gamma-jakauman käytön tilastollisessa analyysissä
• 1900-luvun puoliväli: Gamma-jakaumasta tuli laajalti käytetty luotettavuustekniikassa ja elinkaaritestauksessa
• 1900-luvun loppu ja nykyhetki: Laskentatehon edistys on helpottanut gamma-jakaumien käyttöä eri sovelluksissa

Esimerkit

Tässä on joitakin koodiesimerkkejä gamma-jakauman ominaisuuksien laskemiseksi:

1' Excel VBA -toiminto gamma-jakauman PDF:lle
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Käyttö:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Gamma-jakauma (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Todennäköisyys tiheys')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Esimerkkikäyttö:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Laske ominaisuudet
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Keskiarvo: {mean}")
29print(f"Varianssi: {variance}")
30print(f"Vinous: {skewness}")
31print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Keskiarvo: ${mean}`);
19    console.log(`Varianssi: ${variance}`);
20    console.log(`Vinous: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Esimerkkikäyttö:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Piirrä PDF (käyttäen hypoteettista piirto-kirjastoa)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Nämä esimerkit osoittavat, kuinka gamma-jakauman ominaisuuksia lasketaan ja sen todennäköisyysjakauman tiheysfunktiota visualisoidaan eri ohjelmointikielillä. Voit mukauttaa näitä toimintoja erityisiin tarpeisiisi tai integroida ne laajempiin tilastollisiin analyysijärjestelmiin.

Viitteet

1. "Gamma-jakauma." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Viitattu 2. elokuuta 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistical distributions. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). A note on the gamma distribution. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). A generalization of the gamma distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.