Gamma-jakauman laskuri - Tilastollinen analyysityökalu

Mikä on gammajakaumalaskuri?

Gammajakaumalaskuri laskee gammajakauman keskiarvon, varianssin, vinouden, huipukkuuden ja moodin kahden syötteen perusteella: muotoparametrin ja skaalausparametrin. Se piirtää myös jakauman tiheysfunktion käyränä.

Mikä on gammajakauma?

Gammajakauma on positiivisten arvojen jatkuva todennäköisyysjakauma. Sen määrittävät kaksi parametria: muotoparametri, joka merkitään yleensä k:lla, ja skaalausparametri, joka merkitään yleensä θ:lla (theta). Molempien on oltava suurempia kuin nolla. Gammajakaumaa käytetään mallintamaan suureita, jotka eivät voi olla negatiivisia, kuten sademääriä, vakuutuskorvausten määriä ja aikaa koneen osan vikaantumiseen.

Gammajakauman kaava

Gammajakauman todennäköisyystiheysfunktio (PDF) on:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Tässä x on arvo, jossa tiheys mitataan, ja Γ(k) on gammafunktio, joka on kertoman yleistys epäkokonaisluvuille. Kaava pätee vain, kun x > 0; kaikkialla muualla tiheys on nolla.

Gammajakauman ominaisuuksien laskeminen

Laskuri laskee muotoparametrin k ja skaalausparametrin θ perusteella:

• Keskiarvo: k × θ
• Varianssi: k × θ²
• Vinous: 2 / √k
• Huipukkuus: 3 + 6 / k
• Moodi: (k − 1) × θ, kun k ≥ 1, muuten 0

Vinous mittaa käyrän epäsymmetrisyyttä. Pienempi k tuottaa pidemmän oikean hännän. Huipukkuus mittaa häntien raskautta verrattuna normaalijakaumaan, jonka huipukkuus on 3. Moodi on x-arvo, jossa käyrä saavuttaa huippunsa. Kun k on pienempi kuin 1, tiheys kasvaa jatkuvasti x:n lähestyessä arvoa 0, joten sisäpuolista huippua ei ole ja laskuri ilmoittaa moodiksi arvon 0.

Laskuesimerkki

Olkoon muotoparametri k = 2 ja skaalausparametri θ = 3.

• Keskiarvo = 2 × 3 = 6
• Varianssi = 2 × 3² = 18
• Vinous = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Huipukkuus = 3 + 6 / 2 = 6
• Moodi = (2 − 1) × 3 = 3

Moodin kohdalla, kun x = 3, tiheydeksi saadaan f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Laskuri piirtää koko käyrän automaattisesti, kun molemmat parametrit on syötetty.

Gammajakaumalaskurin käyttö

1. Syötä muotoparametri (k), positiivinen luku.
2. Syötä skaalausparametri (θ), positiivinen luku.
3. Keskiarvo, varianssi, vinous, huipukkuus ja moodi tulevat näkyviin heti, kun molemmissa kentissä on kelvolliset luvut. Erillistä laskentapainiketta ei ole, vaan tulokset päivittyvät lukujen syöttämisen aikana.
4. Tulosten alapuolella oleva kaavio näyttää todennäköisyystiheysfunktion. Se piirretään hieman arvon x = 0 yläpuolelta siihen asti, kumpi on suurempi: kolme kertaa keskiarvo vai viisi kertaa skaalausparametri.

Molempien parametrien on oltava äärellisiä lukuja, jotka ovat suurempia kuin 0, eivätkä ne saa olla suurempia kuin 1000. Myös noin arvoa 2 × 10⁻¹⁶ pienemmät arvot hylätään, koska yhteenvetoluvut eivät enää ole mielekkäitä näin pienillä arvoilla. Hyväksytyn alueen ulkopuolinen arvo tuottaa tulosten sijaan virheilmoituksen.

Gammajakauman käyttökohteet

Gammajakauma mallintaa monia reaalimaailman suureita, jotka ovat aina positiivisia ja usein oikealle vinoja:

• Vakuutukset: korvausten määrät ja maksettavat summat
• Meteorologia: sademäärät tietyn ajanjakson aikana
• Tekniikka: aika komponentin vikaantumiseen
• Jonoteoria: useista eksponentiaalisista vaiheista koostuvat odotusajat
• Biologia: geenien ilmentymistasot ja lajimääräaineistot

Läheiset jakaumat

Kaksi tunnettua jakaumaa ovat gammajakauman erikoistapauksia:

• Eksponenttijakauma: gammajakauma, jossa k = 1
• Khiin neliöjakauma: gammajakauma, jossa k = n/2 ja θ = 2, missä n on vapausasteiden määrä

Weibull- ja lognormaalijakaumat ovat yleisiä vaihtoehtoja positiivisten ja vinojen aineistojen mallintamiseen.

Usein kysyttyä

Mihin gammajakaumaa käytetään? Sillä mallinnetaan jatkuvia positiivisia suureita, kuten odotusaikoja, sademääriä ja vakuutuskorvauksia, etenkin kun aineisto painottuu suuriin arvoihin.

Miten gammajakauman keskiarvo löydetään? Kerro muotoparametri skaalausparametrilla: keskiarvo = k × θ. Kun k = 2 ja θ = 3, keskiarvo on 6.

Mikä ero on muoto- ja skaalausparametrilla? Muotoparametri (k) määrää käyrän muodon, mukaan lukien sen vinouden. Skaalausparametri (θ) venyttää tai puristaa käyrää x-akselin suunnassa muuttamatta sen perusmuotoa.

Miten gammajakauma liittyy eksponenttijakaumaan? Eksponenttijakauma on gammajakauma, jonka muotoparametri on k = 1.

Voiko gammajakauma saada negatiivisia arvoja? Ei. Se on määritelty vain arvoille x > 0. Negatiivisia arvoja sisältävä aineisto tarvitsee jonkin muun jakauman, kuten normaalijakauman.

Laskeeko tämä laskuri kertymäfunktioarvon? Ei. Se laskee keskiarvon, varianssin, vinouden, huipukkuuden ja moodin sekä piirtää todennäköisyystiheysfunktion. Se ei anna kertymätodennäköisyyden arvoja.

Viitteet

1. "Gamma distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S. ja Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, osa 1. John Wiley & Sons.