Binomijakauman Laskuri - Ilmainen Todennäköisyyslaskuri

Mikä on binomijakaumalaskin?

Binomijakaumalaskin laskee todennäköisyyden saada täsmälleen tietty määrä onnistumisia kiinteässä määrässä toisistaan riippumattomia kokeita, kun jokaisessa kokeessa on sama onnistumisen todennäköisyys. Sitä käytetään tilastotieteessä, laadunvalvonnassa, lääketieteessä ja kaikilla aloilla, joilla tutkitaan toistuvia kyllä–ei-tapahtumia.

Taustalla on binomijakauma, joka on todennäköisyysmalli onnistumisten laskemiseen toistuvissa kokeissa, joissa on vain kaksi mahdollista tulosta, joita kutsutaan yleensä onnistumiseksi ja epäonnistumiseksi.

Binomijakauman kaava

Todennäköisyys saada täsmälleen k onnistumista n:ssä kokeessa on:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Kukin symboli tarkoittaa:

• n — kokeiden määrä.
• k — niiden onnistumisten määrä, joille todennäköisyys lasketaan.
• p — onnistumisen todennäköisyys yhdessä kokeessa, luku välillä 0 ja 1.
• $\binom{n}{k}$ — binomikerroin eli niiden eri tapojen määrä, joilla k onnistumista voidaan valita n:stä kokeesta. Se on yhtä suuri kuin $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Jokaisen kokeen on oltava riippumaton, mikä tarkoittaa, ettei yhden kokeen tulos muuta toisen kokeen todennäköisyyttä, ja onnistumisen todennäköisyyden p on pysyttävä samana kaikissa kokeissa. Yksittäistä koetta, jolla on kaksi mahdollista tulosta, kuten yksi kolikonheitto, kutsutaan Bernoulli-kokeeksi. Binomijakauma saadaan laskemalla yhteen n Bernoulli-koetta.

Binomitodennäköisyyden laskeminen

1. Merkitse muistiin n, k ja p.
2. Laske binomikerroin $\binom{n}{k}$ eli niiden tapojen määrä, joilla k onnistumista voidaan sijoittaa n:ään kokeeseen.
3. Korota p potenssiin k.
4. Korota (1 − p) potenssiin (n − k).
5. Kerro kolme lukua keskenään.

Tämän sivun laskin suorittaa nämä vaiheet automaattisesti. Syötä n, p ja k, niin laskin antaa arvon P(X = k) sekä pylväskaavion, joka näyttää kaikkien mahdollisten tulosten todennäköisyydet 0 onnistumisesta n:ään onnistumiseen.

Esimerkkilaskelma

Esimerkki 1: kolikonheitot

Heitetään reilua kolikkoa 10 kertaa. Mikä on todennäköisyys saada täsmälleen 3 kruunaa?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Tulos: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172 eli noin 11,72 %

Esimerkki 2: laadunvalvonta

Tehtaassa tarkastetaan 100 tuotetta. Jokaisella tuotteella on 2 %:n todennäköisyys olla viallinen. Mikä on todennäköisyys, ettei yksikään 100 tuotteesta ole viallinen?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Koska k = 0, kaava sievenee muotoon $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Tulos: ≈ 0,1326 eli noin 13,26 %

Esimerkki 3: tautien testaus

Kaupungissa testataan 1 000 henkilöä taudin varalta. Tauti tartuttaa 0,1 % väestöstä (p = 0,001). Mikä on todennäköisyys, että täsmälleen 5 1 000 henkilöstä on saanut tartunnan?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Tulos: 8 250 291 250 200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305 eli noin 0,30 % (tarkka arvo 0,0030488 eli 0,30488 %)

Keskiarvo ja varianssi

Parametreilla n ja p määritellylle binomijakaumalle:

• Keskiarvo (odotusarvo): E(X) = np
• Varianssi: Var(X) = np(1 − p)
• Keskihajonta: σ = √[np(1 − p)]

Keskiarvo kertoo monenko onnistumisen keskimäärin odotetaan tapahtuvan, kun koe toistetaan monta kertaa. Esimerkissä 1 keskiarvo on 10 × 0,5 = 5 kruunaa.

Laskimen hyväksymät arvot

• n:n on oltava kokonaisluku 1 tai suurempi. Desimaaliluku pyöristetään lähimpään kokeiden kokonaismäärään, joten 10,9 käsitellään arvona 11.
• p:n on oltava välillä 0–1, päätepisteet mukaan lukien.
• k:n on oltava kokonaisluku 0 tai suurempi, eikä se voi olla suurempi kuin n. 8 onnistumisen saaminen 5 kokeessa on mahdotonta, joten laskin ilmoittaa virheestä luvun sijaan.

Jos jokin kenttä jätetään tyhjäksi, laskin ei näytä tulosta eikä kaaviota eikä yritä arvata puuttuvaa arvoa.

Milloin binomijakaumaa voidaan käyttää

Binomijakauma sopii tilanteeseen vain, jos kaikki neljä ehtoa täyttyvät:

1. Kokeiden määrä n on päätetty etukäteen.
2. Jokaisella kokeella on vain kaksi mahdollista tulosta: onnistuminen tai epäonnistuminen.
3. Onnistumisen todennäköisyys p on sama jokaisessa kokeessa.
4. Kokeet ovat toisistaan riippumattomia.

Korttien nostaminen pakasta ilman palautusta rikkoo riippumattomuusehdon, koska kortin poistaminen muuttaa seuraavan noston todennäköisyyksiä. Tällöin käytetään sen sijaan hypergeometrista jakaumaa.

Läheiset jakaumat

• Poisson-jakauma: sitä käytetään binomijakauman approksimaationa, kun n on suuri ja p pieni, jolloin onnistumisten keskimääräinen määrä (np) pysyy kohtuullisena. Se sopii esimerkiksi harvinaisten tapahtumien, kuten esimerkin 3 tautitapausten, mallintamiseen.
• Normaalijakauma: kun n on suuri eikä p ole liian lähellä arvoja 0 tai 1, binomijakauma on likimäärin kellonmuotoinen ja sitä voidaan approksimoida normaalijakaumalla, jonka keskiarvo on np ja varianssi np(1 − p).
• Hypergeometrinen jakauma: sitä käytetään binomijakauman sijaan, kun äärellisestä perusjoukosta otetaan otos ilman palautusta.

Usein kysyttyä

Mitä binomijakaumalaskin tekee?

Se laskee todennäköisyyden saada täsmälleen k onnistumista n:ssä toisistaan riippumattomassa kokeessa, joissa jokaisessa onnistumisen todennäköisyys on p, käyttäen kaavaa P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Mikä ero on binomi- ja normaalijakaumalla?

Binomijakauma on diskreetti, mikä tarkoittaa, että se tuottaa vain onnistumisten kokonaislukumääriä. Normaalijakauma on jatkuva. Kun n on suuri, binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalikäyrällä, jonka keskiarvo on np ja varianssi np(1 − p).

Voiko p olla 0 tai 1?

Kyllä. Jos p = 0, mikään koe ei voi onnistua, joten P(X = 0) = 1. Jos p = 1, jokainen koe onnistuu, joten P(X = n) = 1. Kaikilla muilla k:n arvoilla todennäköisyys on näissä tapauksissa 0.

Mikä on binomi- ja Bernoulli-jakaumien välinen suhde?

Bernoulli-jakauma kuvaa yksittäistä koetta, jolla on kaksi mahdollista tulosta (n = 1). Binomijakauma on n:n toisistaan riippumattoman Bernoulli-kokeen summa, joten Bernoulli-jakauma on binomijakauma, jossa n = 1.

Kuinka suuri n voi olla, ennen kuin laskin muuttuu epätarkaksi?

Laskin käyttää tavanomaista kaksinkertaisen tarkkuuden liukulukulaskentaa. Se kertoo kaavan kolme osaa suoraan keskenään ja siirtyy logaritmeihin, kun binomikerroin kasvaa suuremmaksi kuin suurin kaksinkertaisen tarkkuuden luvulla esitettävä luku. Näin tapahtuu lähellä arvoa n = 1 000, kun k on lähellä arvoa n/2. Tulokset pysyvät oikeina tämän rajan yläpuolellakin. Noin arvoa 1e-308 pienempi todennäköisyys ilmoitetaan arvona 0, koska sitä ei voida esittää kaksinkertaisen tarkkuuden luvulla.

Miten binomikerroin lasketaan?

Binomikerroin C(n, k) laskee niiden tapojen määrän, joilla k alkiota voidaan valita n:stä alkiosta järjestyksestä riippumatta. Se on yhtä suuri kuin n! / (k! × (n − k)!). Laskin muodostaa tuloksen vaiheittain kertomalla yhdellä tekijällä ja jakamalla seuraavalla, joten sen ei tarvitse tallentaa koko kertomaa. Hyvin suurilla n:n arvoilla se laskee sen sijaan näiden tekijöiden logaritmien summan.

Lähteet

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L. ym. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.