Poissonin jakauman laskuri - Laske tapahtumien todennäköisyydet

Mikä on Poisson-jakaumalaskuri?

Poisson-jakaumalaskuri laskee todennäköisyyden sille, että tietty määrä tapahtumia sattuu tietyllä ajanjaksolla tai tietyssä tilassa, kun tiedetään, kuinka usein tapahtumia keskimäärin esiintyy. Sitä käytetään, kun tapahtumat esiintyvät yksi kerrallaan toisistaan riippumatta ja keskimääräinen esiintymisnopeus pysyy vakiona. Tyypillisiä esimerkkejä ovat puhelinpalvelukeskukseen tunnin aikana tulevien puhelujen määrä ja sivulla olevien kirjoitusvirheiden määrä.

Poisson-jakauman kaava

Poisson-jakauma antaa todennäköisyyden täsmälleen k:lle tapahtumalle, kun keskimääräinen nopeus on λ (kreikkalainen lambda-kirjain):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Kukin symboli tarkoittaa:

• λ (lambda) — tapahtumien keskimääräinen määrä tarkasteluvälillä. Se on jakauman ainoa parametri.
• k — niiden tapahtumien täsmällinen määrä, joiden todennäköisyys lasketaan. Sen on oltava kokonaisluku, 0 tai suurempi.
• e — Eulerin luku, kiinteä vakio, joka on noin 2,71828.
• k! — ”k:n kertoma”, kaikkien kokonaislukujen tulo luvusta 1 lukuun k asti. Esimerkiksi 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Sopimuksen mukaan 0! = 1.

Kaava tarvitsee vain λ:n ja k:n. Toisin kuin binomijakauma, se ei tarvitse kokeiden kokonaismäärää.

Poisson-todennäköisyyden laskeminen

1. Valitse λ eli tutkittavan tarkasteluvälin tapahtumien keskimääräinen määrä.
2. Valitse k eli tapahtumien täsmällinen määrä, jolle todennäköisyys halutaan laskea.
3. Korota e negatiivisen λ:n potenssiin: näin saadaan e^(−λ).
4. Korota λ k:n potenssiin: näin saadaan λ^k.
5. Laske k! eli k:n kertoma.
6. Kerro vaiheiden 3 ja 4 tulokset keskenään ja jaa tulo vaiheen 5 tuloksella.

Saatu luku on todennäköisyys välillä 0–1. Kerro se luvulla 100 ilmaistaksesi sen prosenttiosuutena.

Laskuesimerkki

Puhelinpalvelukeskukseen tulee keskimäärin 5 puhelua tunnissa (λ = 5). Mikä on todennäköisyys, että tietyn tunnin aikana tulee täsmälleen 3 puhelua (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Kerrotaan: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Jaetaan luvulla 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Todennäköisyys täsmälleen 3 puhelulle kyseisen tunnin aikana on noin 0,140 eli 14 %.

Lisää esimerkkejä

Poisson-jakauman käyttökohteet

Poisson-jakauma mallintaa harvinaisten, toisistaan riippumattomien tapahtumien lukumääriä. Tavallisia käyttökohteita ovat:

• Puhelinpalvelukeskukset ja asiakaspalvelu: tunnin aikana saapuvien puhelujen tai keskustelujen määrän ennustaminen.
• Teollinen tuotanto: tuote-erän vikojen määrän arvioiminen.
• Vakuutukset: tietyn ajanjakson aikana saapuvien korvausvaatimusten määrän arvioiminen.
• Biologia ja lääketiede: mutaatioiden määrän tai harvinaisten tautien leviämisen mallintaminen.
• Fysiikka: radioaktiivisen hajoamisen kuvaaminen, kun kukin atomi hajoaa toisista riippumatta vakionopeudella.
• Liikenne- ja verkkotekniikka: risteykseen saapuvien ajoneuvojen tai palvelimelle tulevien pyyntöjen määrän arvioiminen.

Poisson-jakauman käytön ehdot

Poisson-jakauma sopii tilanteeseen vain, jos kaikki seuraavat ehdot täyttyvät:

• Tapahtumat sattuvat yksi kerrallaan; kaksi tapahtumaa ei voi sattua täsmälleen samalla hetkellä.
• Tapahtumat ovat toisistaan riippumattomia — yksi tapahtuma ei tee seuraavasta tapahtumasta sen enempää eikä vähempää todennäköistä.
• Keskimääräinen nopeus λ pysyy vakiona tarkasteltavalla aikavälillä.

Jos nopeus muuttuu ajan kuluessa tai tapahtumat pyrkivät kasaantumaan, tavallinen Poisson-jakauma ei kuvaa aineistoa hyvin.

Poisson-jakauma ja siihen liittyvät jakaumat

• Binomijakauma: käytetään, kun kokeiden määrä on kiinteä ja jokaisella kokeella on tunnettu onnistumistodennäköisyys, kuten kun kolikkoa heitetään 20 kertaa. Kun kokeiden määrä kasvaa hyvin suureksi ja yksittäisen kokeen onnistumistodennäköisyys lähestyy nollaa, binomijakauma muuttuu Poisson-jakaumaksi, kun niiden tulo pysyy suunnilleen λ:n suuruisena.
• Normaalijakauma: kun λ on suuri, suunnilleen yli 20, Poisson-jakauma muistuttaa läheisesti kellokäyrän muotoista normaalijakaumaa, jonka odotusarvo ja varianssi ovat λ.
• Eksponenttijakauma: Poisson-jakauma laskee kiinteällä aikavälillä sattuvien tapahtumien määrää, kun taas eksponenttijakauma kuvaa tapahtumien välistä odotusaikaa.

Historiallinen huomautus

Ranskalainen matemaatikko Siméon Denis Poisson esitteli jakauman vuonna 1837 teoksessa, joka käsitteli todennäköisyyttä oikeuden päätöksissä. Aluksi se herätti vain vähän huomiota. Sen käyttö yleistyi 20. vuosisadan alussa, kun muun muassa Ladislaus Bortkiewicz ja Ronald Fisher sovelsivat sitä todellisiin lukumääräaineistoihin, esimerkiksi kuuluisassa tutkimuksessa, joka käsitteli preussilaisten sotilaiden kuolemia hevosenpotkujen seurauksena.

Usein kysyttyä

Mitä lambda (λ) tarkoittaa Poisson-jakaumassa? Lambda on tutkittavalla aikavälillä odotettavien tapahtumien keskimääräinen määrä. Se on myös jakauman varianssi, joten suurempi λ tarkoittaa sekä suurempaa keskimääräistä lukumäärää että mahdollisten tulosten suurempaa hajontaa.

Voivatko k tai λ olla negatiivisia tai murtolukuja? λ:n on oltava suurempi kuin 0, mutta se voi olla desimaaliluku, kuten 2,5 tapahtumaa tunnissa. k:n on oltava kokonaisluku 0 tai suurempi, koska se ilmaisee todellisten tapahtumien lukumäärän; se ei voi olla negatiivinen eikä murtoluku.

Miten Poisson-jakauma eroaa binomijakaumasta? Binomijakauma tarvitsee kokeiden kiinteän määrän ja kullekin kokeelle kiinteän onnistumistodennäköisyyden. Poisson-jakauma tarvitsee vain tapahtumien keskimääräisen esiintymisnopeuden ja soveltuu tapahtumiin, jotka voisivat periaatteessa sattua kuinka monta kertaa tahansa.

Milloin normaalijakaumaa pitäisi käyttää sen sijaan? Kun λ on suuri, yleensä noin yli 20, normaalijakauma, jolla on sama odotusarvo ja varianssi, approksimoi Poisson-jakaumaa hyvin ja on usein käsin helpompi laskea.

Miksi laskuri näyttää joskus luvun tieteellisessä merkintätavassa? Tulokset näytetään tavallisesti kuuden desimaalin tarkkuudella. Kun todennäköisyys on pienempi kuin 0,0001, kuuden desimaalin tarkkuudella pyöristettynä tulokseksi tulisi 0,000000, mikä peittäisi sen todellisen pienuuden, joten laskuri siirtyy tieteelliseen merkintätapaan. Kun λ = 20 ja k = 1, laskuri näyttää 4.122307e-8, mikä tarkoittaa 0,00000004122307.

Onko laskurin hyväksymillä arvoilla rajoituksia? Kyllä. λ:n on oltava suurempi kuin 0 ja enintään 700, ja k:n on oltava kokonaisluku välillä 0–1000. Näiden rajojen ulkopuolella laskuri näyttää virheen. Rajat pitävät tuloksen tietokoneen tallennettavissa olevalla lukujen alueella ja kaavion pylväsmäärän luettavana.

Salliiko Poisson-jakauma useamman kuin yhden tapahtuman kerrallaan? Ei. Malli olettaa, että tapahtumat sattuvat yksi kerrallaan. Jos kaksi tapahtumaa sattuu säännöllisesti yhdessä, jokin toinen jakauma sopii aineistoon paremmin.

Lähteet

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Pariisi, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, osio 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp ja Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.