Calculateur de nombres premiers entre eux

Les nombres premiers entre eux sont deux entiers ou plus dont le seul diviseur positif commun est 1. Cette calculatrice vérifie si les nombres saisis sont premiers entre eux en recherchant leur plus grand commun diviseur (PGCD). Si le PGCD est 1, les nombres sont premiers entre eux.

Les nombres premiers entre eux sont également appelés nombres relativement premiers ou nombres mutuellement premiers.

Que signifie « premiers entre eux » ?

Deux entiers sont premiers entre eux lorsqu'aucun entier supérieur à 1 ne les divise tous les deux. Les nombres eux-mêmes ne doivent pas nécessairement être premiers. Par exemple, 8 et 15 sont premiers entre eux : les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4 et 8, tandis que les diviseurs de 15 sont 1, 3, 5 et 15. Le seul diviseur qu'ils ont en commun est 1 ; ils sont donc premiers entre eux.

En revanche, 12 et 18 ne sont pas premiers entre eux. Ils sont tous deux divisibles par 2, 3 et 6, leur plus grand commun diviseur est donc 6.

Comment vérifier si des nombres sont premiers entre eux

1. Trouvez le plus grand commun diviseur (PGCD) de tous les nombres. Le PGCD est le plus grand entier qui divise chaque nombre sans reste.
2. Comparez le PGCD à 1. Si le PGCD est égal à 1, les nombres sont premiers entre eux. Si le PGCD est supérieur à 1, ils ne sont pas premiers entre eux.

Le PGCD d'un groupe de nombres se calcule en appliquant l'algorithme d'Euclide à deux nombres à la fois : le PGCD de trois nombres a, b et c est PGCD(PGCD(a, b), c).

Formule des nombres premiers entre eux

Les nombres a₁, a₂, …, aₙ sont premiers entre eux lorsque :

PGCD(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

Exemple de calcul

Vérifiez si 6, 10 et 15 sont premiers entre eux.

• PGCD(6, 10) = 2
• PGCD(2, 15) = 1

Le plus grand commun diviseur des trois nombres est 1 ; 6, 10 et 15 sont donc premiers entre eux dans leur ensemble.

Notez que ces trois nombres ne sont pas premiers entre eux deux à deux. 6 et 10 ont le facteur 2 en commun, 6 et 15 ont le facteur 3 en commun, et 10 et 15 ont le facteur 5 en commun. Le fait que les nombres soient premiers entre eux dans leur ensemble (le PGCD de tous les nombres réunis est 1) est une condition moins stricte que le fait qu'ils soient premiers entre eux deux à deux (chaque paire ayant un PGCD égal à 1). Cette calculatrice indique les deux résultats.

Nombres premiers entre eux deux à deux et dans leur ensemble

Un groupe de nombres est premier entre eux dans son ensemble lorsque le PGCD de tout le groupe est 1. Il est premier entre eux deux à deux lorsque chaque paire possible du groupe a un PGCD égal à 1. Des nombres premiers entre eux deux à deux sont toujours premiers entre eux dans leur ensemble, mais l'inverse n'est pas toujours vrai, comme le montre l'exemple ci-dessus.

Foire aux questions

1 et n'importe quel nombre sont-ils premiers entre eux ?

Oui. Le nombre 1 n'a aucun facteur supérieur à 1 en commun avec un entier quelconque ; 1 est donc premier avec tout entier, y compris lui-même.

Les nombres premiers entre eux doivent-ils être premiers ?

Non. Des nombres premiers entre eux peuvent être composés. 8 et 15 sont tous deux composés, mais ils sont premiers entre eux, car ils n'ont aucun facteur commun autre que 1.

Deux nombres premiers différents sont-ils toujours premiers entre eux ?

Oui. Deux nombres premiers distincts n'ont aucun facteur commun à l'exception de 1 ; deux nombres premiers différents sont donc toujours premiers entre eux.

Des nombres négatifs peuvent-ils être premiers entre eux ?

La notion de nombres premiers entre eux est généralement définie pour les entiers positifs. Cette calculatrice accepte les entiers positifs supérieurs ou égaux à 1.

Quelle est la différence entre le PGCD et la notion de nombres premiers entre eux ?

Le PGCD est le plus grand nombre qui divise toutes les valeurs saisies. « Premiers entre eux » désigne le cas particulier où ce PGCD est égal à 1.