Calculateur de nombres premiers entre eux

Des nombres premiers entre eux sont deux nombres entiers ou plus dont le seul diviseur positif commun est 1. Ce calculateur vérifie si les nombres saisis sont premiers entre eux en calculant leur plus grand commun diviseur (PGCD). Si le PGCD vaut 1, les nombres sont premiers entre eux.

Les nombres premiers entre eux sont aussi appelés nombres relativement premiers ou nombres mutuellement premiers.

Que signifie « premiers entre eux » ?

Deux nombres entiers sont premiers entre eux quand aucun nombre entier plus grand que 1 ne les divise tous les deux. Les nombres eux-mêmes n'ont pas besoin d'être des nombres premiers. Par exemple, 8 et 15 sont premiers entre eux : les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4 et 8, tandis que les diviseurs de 15 sont 1, 3, 5 et 15. Le seul diviseur commun est 1, donc ils sont premiers entre eux.

À l'inverse, 12 et 18 ne sont pas premiers entre eux. Les deux nombres sont divisibles par 2, 3 et 6, donc leur plus grand commun diviseur est 6.

Comment vérifier si des nombres sont premiers entre eux

1. Calculez le plus grand commun diviseur (PGCD) de tous les nombres. Le PGCD est le plus grand nombre entier qui divise chaque nombre sans reste.
2. Comparez le PGCD à 1. Si le PGCD vaut 1, les nombres sont premiers entre eux. Si le PGCD est supérieur à 1, ils ne le sont pas.

Le PGCD d'un groupe de nombres se calcule en appliquant l'algorithme d'Euclide deux nombres à la fois : le PGCD de trois nombres a, b et c est GCD(GCD(a, b), c).

Formule des nombres premiers entre eux

Les nombres a₁, a₂, …, aₙ sont premiers entre eux quand :

GCD(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

Exemple

Vérifions si 6, 10 et 15 sont premiers entre eux.

• GCD(6, 10) = 2
• GCD(2, 15) = 1

Le plus grand commun diviseur des trois nombres vaut 1, donc 6, 10 et 15 sont premiers entre eux dans leur ensemble.

Notez que ces trois nombres ne sont pas premiers entre eux deux à deux. 6 et 10 partagent le facteur 2, 6 et 15 partagent le facteur 3, et 10 et 15 partagent le facteur 5. Le fait d'être premiers entre eux dans leur ensemble (le PGCD de tous les nombres pris ensemble vaut 1) est une condition plus faible que le fait d'être premiers entre eux deux à deux (chaque paire a un PGCD de 1). Ce calculateur indique les deux résultats.

Premiers entre eux deux à deux ou dans leur ensemble

Un groupe de nombres est premier entre eux dans son ensemble quand le PGCD de tout le groupe vaut 1. Il est premier entre eux deux à deux quand chaque paire possible dans le groupe a un PGCD de 1. Des nombres premiers entre eux deux à deux sont toujours premiers entre eux dans leur ensemble, mais l'inverse n'est pas toujours vrai, comme le montre l'exemple ci-dessus.

Questions fréquentes

1 et n'importe quel nombre sont-ils premiers entre eux ?

Oui. Le nombre 1 ne partage aucun facteur supérieur à 1 avec aucun nombre entier, donc 1 est premier avec tout nombre entier, y compris avec lui-même.

Des nombres premiers entre eux doivent-ils être des nombres premiers ?

Non. Des nombres premiers entre eux peuvent être composés. 8 et 15 sont tous deux composés, et pourtant ils sont premiers entre eux car ils ne partagent aucun facteur commun autre que 1.

Deux nombres premiers différents sont-ils toujours premiers entre eux ?

Oui. Deux nombres premiers distincts n'ont aucun facteur commun autre que 1, donc deux nombres premiers différents sont toujours premiers entre eux.

Des nombres négatifs peuvent-ils être premiers entre eux ?

La notion de nombres premiers entre eux est généralement définie pour des nombres entiers positifs. Ce calculateur n'accepte que des nombres entiers positifs de 1 ou plus.

Quelle est la différence entre le PGCD et le fait d'être premiers entre eux ?

Le PGCD est le plus grand nombre qui divise toutes les valeurs saisies. « Premiers entre eux » désigne le cas particulier où ce PGCD vaut 1.