Calculateur d'Équation Quadratique - Calculer les Racines de ax² + bx + c = 0

Qu’est-ce qu’une équation du second degré ?

Une équation du second degré est une équation de la forme $ax^2 + bx + c = 0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres et où $a$ n’est pas nul. Le solveur d’équations du second degré de cette page trouve la ou les valeurs de $x$ qui vérifient l’équation, à partir des coefficients $a$, $b$ et $c$ saisis par l’utilisateur.

Si $a$ était nul, le terme en $x^2$ disparaîtrait et l’équation deviendrait linéaire au lieu d’être du second degré. Pour cette raison, le calculateur exige $a \neq 0$ et affiche une erreur si $a = 0$.

La formule quadratique

Toute équation du second degré de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ peut se résoudre avec la formule quadratique :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Le signe $\pm$ représente deux calculs distincts, l’un avec un signe plus et l’autre avec un signe moins. C’est pourquoi une équation du second degré peut avoir deux solutions différentes.

L’expression sous la racine carrée, $b^2 - 4ac$, s’appelle le discriminant. On la note généralement $\Delta$ (la lettre grecque delta). Le discriminant seul indique combien l’équation a de solutions réelles, avant même de faire le reste du calcul.

Comment calculer les racines

1. Écrivez l’équation sous forme standard, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Identifiez les coefficients $a$, $b$ et $c$.
3. Calculez le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Si $\Delta$ est positif, calculez les deux racines avec $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Si $\Delta$ est nul, calculez la racine unique avec $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Si $\Delta$ est négatif, l’équation n’a pas de racine réelle, car un nombre négatif n’a pas de racine carrée réelle.

Le calculateur de cette page effectue ces étapes automatiquement. Il accepte des coefficients compris entre $-10^{10}$ et $10^{10}$ et arrondit les résultats à un nombre de décimales choisi, de 0 à 10.

Ce que signifie le discriminant

Le signe du discriminant répartit les équations en trois cas.

Ce calculateur indique « aucune racine réelle » lorsque $\Delta$ est négatif. Il ne calcule pas les racines complexes (nombres faisant intervenir $i = \sqrt{-1}$).

Exemple détaillé

Résolvez $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Ici, $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Calculons d’abord le discriminant :

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Comme $\Delta$ est positif, l’équation a deux racines réelles :

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

On peut le vérifier par factorisation : $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, qui s’annule lorsque $x = -2$ ou $x = -3$.

Un second exemple présente un discriminant négatif. Pour $x^2 + x + 1 = 0$, on a $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, donc $\Delta = 1 - 4 = -3$. Comme $\Delta$ est négatif, l’équation n’a pas de racine réelle.

La parabole, le sommet et l’axe de symétrie

Le graphique de $f(x) = ax^2 + bx + c$ est une courbe appelée parabole. Si $a$ est positif, la parabole est ouverte vers le haut et possède un point le plus bas. Si $a$ est négatif, elle est ouverte vers le bas et possède un point le plus haut. Ce point le plus bas ou le plus haut est le sommet.

Le sommet se trouve en :

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Une droite verticale passant par le sommet, $x = -\dfrac{b}{2a}$, s’appelle l’axe de symétrie, car les deux moitiés de la parabole sont symétriques de part et d’autre de cette droite. Les racines réelles de l’équation sont les points où la parabole coupe l’axe des abscisses ; elles se trouvent donc de chaque côté de l’axe de symétrie, à la même distance.

Où les équations du second degré sont utilisées

Les équations du second degré décrivent de nombreuses situations réelles. En physique, la hauteur d’un objet lancé en fonction du temps suit l’équation $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, et sa résolution en $t$ donne l’instant où l’objet retombe. En ingénierie, des formes paraboliques apparaissent dans les antennes paraboliques et les câbles de pont, en raison de la façon dont elles concentrent ou répartissent les forces. En infographie, les programmes de lancer de rayons résolvent des équations du second degré pour trouver où une droite coupe une sphère.

Bref historique

Les mathématiciens babyloniens résolvaient des problèmes menant à des équations du second degré dès environ 1800 av. J.-C.. Ils employaient des recettes étape par étape, et non des équations. Vers 300 av. J.-C., Euclide a traité ces problèmes de façon géométrique, comme la recherche d’une longueur. Le mathématicien indien Brahmagupta (598–665 apr. J.-C.) a donné une méthode presque moderne qui admettait les quantités négatives. Vers 800 apr. J.-C., al-Khwarizmi a classé les équations du second degré par types. Il a donné une règle de résolution pour chaque type, ainsi qu’une démonstration géométrique par complétion du carré.

Foire aux questions

Que se passe-t-il si je saisis 0 pour le coefficient a ? Le calculateur affiche une erreur, car $a = 0$ transforme l’équation en équation linéaire, $bx + c = 0$, qui se résout autrement.

Pourquoi une équation n’a-t-elle parfois aucune racine réelle ? Cela se produit lorsque le discriminant, $b^2 - 4ac$, est négatif. Un nombre négatif n’a pas de racine carrée réelle ; la formule ne peut donc pas produire de valeur réelle de $x$. L’équation a tout de même deux racines complexes, mais ce calculateur ne les calcule pas.

Quelle est la différence entre une racine et une solution ? Aucune. Les deux mots désignent une valeur de $x$ qui rend l’équation égale à zéro. Le mot « racine » renvoie à l’endroit où le graphique rencontre l’axe des abscisses ; le mot « solution » renvoie à l’algèbre.

Combien de décimales puis-je choisir ? Entre 0 et 10. Deux ou trois décimales suffisent généralement pour les problèmes courants.

Puis-je saisir de très grands coefficients ? Les coefficients doivent être compris entre $-10^{10}$ et $10^{10}$. Les valeurs hors de cette plage peuvent provoquer des erreurs d’arrondi et sont rejetées.

Ce calculateur peut-il trouver les racines complexes ? Non. Lorsque le discriminant est négatif, il indique « aucune racine réelle » au lieu de calculer des nombres complexes.

Références

1. NIST. Digital Library of Mathematical Functions, §1.11 Zeros of Polynomials. DLMF §1,11 — les racines de az² + bz + c = 0 sont (−b ± √D)/(2a), de discriminant D = b² − 4ac (1,6 ha).
2. OpenStax. College Algebra 2e, 2.5 Quadratic Equations. Équations du second degré — ce que le discriminant b² − 4ac (1,6 ha) indique sur le nombre et la nature des solutions.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Quadratic, cubic and quartic equations. Histoire des équations du second degré — méthodes babyloniennes (vers 1800 av. J.-C.), Euclide (vers 300 av. J.-C.), Brahmagupta et al-Khwarizmi (vers 800).