Résolveur d’équations du second degré – Racines de $ax^2 + bx + c = 0$

Qu’est-ce qu’une équation du second degré ?

Une équation du second degré est une équation de la forme $ax^2 + bx + c = 0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres et où $a$ n’est pas nul. Le résolveur d’équations du second degré de cette page trouve la ou les valeurs de $x$ qui rendent l’équation vraie, à partir des coefficients $a$, $b$ et $c$ saisis.

Si $a$ était nul, le terme $x^2$ disparaîtrait et l’équation deviendrait une équation du premier degré au lieu d’une équation du second degré. C’est pourquoi la calculatrice exige $a \neq 0$ et affiche une erreur si $a = 0$.

Formule de résolution du second degré

Toute équation du second degré de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ peut être résolue avec la formule suivante :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Le signe $\pm$ représente deux calculs distincts : l’un avec un signe plus et l’autre avec un signe moins. C’est pourquoi une équation du second degré peut avoir deux solutions différentes.

L’expression située sous la racine carrée, $b^2 - 4ac$, s’appelle le discriminant. Elle est généralement notée $\Delta$ (la lettre grecque delta). Le discriminant indique à lui seul le nombre de solutions réelles de l’équation, avant même d’effectuer le reste du calcul.

Comment calculer les racines

1. Écrire l’équation sous sa forme standard, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$.
3. Calculer le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Si $\Delta$ est positif, calculer les deux racines avec $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Si $\Delta$ est nul, calculer l’unique racine avec $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Si $\Delta$ est négatif, l’équation n’a pas de racines réelles, car un nombre négatif n’a pas de racine carrée réelle.

La calculatrice de cette page effectue automatiquement ces étapes. Elle accepte des coefficients compris entre $-10^{10}$ et $10^{10}$ et arrondit les résultats au nombre de décimales choisi, de 0 à 10.

Signification du discriminant

Cette calculatrice affiche « aucune racine réelle » lorsque $\Delta$ est négatif. Elle ne calcule pas les racines complexes, c’est-à-dire les nombres qui font intervenir $i = \sqrt{-1}$.

Exemple de calcul

Résoudre $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Ici, $a = 1$, $b = 5$ et $c = 6$.

Il faut d’abord calculer le discriminant :

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Puisque $\Delta$ est positif, l’équation possède deux racines réelles :

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

On peut vérifier le résultat en factorisant : $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, expression qui est nulle lorsque $x = -2$ ou $x = -3$.

Un deuxième exemple présente un discriminant négatif. Pour $x^2 + x + 1 = 0$, on a $a = 1$, $b = 1$ et $c = 1$, donc $\Delta = 1 - 4 = -3$. Comme $\Delta$ est négatif, l’équation n’a aucune racine réelle.

Parabole, sommet et axe de symétrie

La courbe représentative de $f(x) = ax^2 + bx + c$ est appelée une parabole. Si $a$ est positif, la parabole est ouverte vers le haut et possède un point le plus bas. Si $a$ est négatif, elle est ouverte vers le bas et possède un point le plus haut. Ce point le plus bas ou le plus haut est le sommet.

Le sommet se trouve aux coordonnées suivantes :

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

La droite verticale passant par le sommet, $x = -\dfrac{b}{2a}$, s’appelle l’axe de symétrie, car les deux moitiés de la parabole se reflètent l’une par rapport à l’autre de part et d’autre de cette droite. Les racines réelles de l’équation sont les points où la parabole coupe l’axe des x. Elles se trouvent donc de part et d’autre de l’axe de symétrie, à la même distance de celui-ci.

La calculatrice trace cette parabole à côté du résultat. Elle indique le sommet et les éventuelles racines réelles sur la courbe, et élargit la plage représentée lorsque cela est nécessaire pour que toutes les racines restent visibles.

Utilisations des équations du second degré

Les équations du second degré décrivent de nombreuses situations réelles. En physique, la hauteur d’un objet lancé au cours du temps suit l’équation $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, et sa résolution par rapport à $t$ donne le moment où l’objet retombe. En ingénierie, des formes paraboliques apparaissent dans les antennes paraboliques et les câbles de pont, en raison de leur manière de concentrer ou de répartir les forces. En infographie, les programmes de lancer de rayons résolvent des équations du second degré pour déterminer le point où une ligne intersecte une sphère.

Bref historique

Les mathématiciens babyloniens résolvaient déjà certains problèmes du second degré vers 2000 av. J.-C., en utilisant des méthodes géométriques plutôt que l’algèbre. Les mathématiciens grecs, notamment Euclide, traitaient également les équations du second degré de manière géométrique. Vers 600 apr. J.-C., le mathématicien indien Brahmagupta a donné une formule explicite des racines, y compris des solutions négatives. Vers 800 apr. J.-C., le mathématicien perse Al-Khwarizmi a décrit des méthodes systématiques de résolution des équations du second degré dans un ouvrage dont le titre a donné naissance au mot « algèbre ». La forme symbolique moderne de la formule du second degré s’est ensuite standardisée, au fur et à mesure du développement de la notation algébrique pendant la Renaissance.

Questions fréquentes

Que se passe-t-il si je saisis 0 pour le coefficient $a$ ?
La calculatrice affiche une erreur, car $a = 0$ transforme l’équation en équation du premier degré, $bx + c = 0$, qui se résout différemment.

Pourquoi une équation n’a-t-elle parfois aucune racine réelle ?
Cela se produit lorsque le discriminant, $b^2 - 4ac$, est négatif. Un nombre négatif n’a pas de racine carrée réelle, donc la formule ne peut pas produire de valeur réelle de $x$. L’équation possède toujours deux racines complexes, mais cette calculatrice ne les calcule pas.

Quelle est la différence entre une racine et une solution ?
Il n’y en a aucune. Les deux termes désignent une valeur de $x$ qui rend l’équation égale à zéro. Le terme « racine » fait référence au point où la courbe rencontre l’axe des x ; le terme « solution » renvoie au calcul algébrique.

Combien de décimales puis-je choisir ?
Entre 0 et 10. Deux ou trois décimales suffisent généralement pour les problèmes courants.

Puis-je saisir des coefficients très grands ?
Les coefficients doivent être compris entre $-10^{10}$ et $10^{10}$. Les valeurs situées en dehors de cette plage peuvent provoquer des erreurs d’arrondi et sont refusées.

Cette calculatrice peut-elle trouver des racines complexes ?
Non. Lorsque le discriminant est négatif, elle affiche « aucune racine réelle » au lieu de calculer les nombres complexes.

Références

1. Équation du second degré – MathWorld
2. Bibliothèque numérique des fonctions mathématiques du NIST, §1.11, Algèbre : équation du second degré