Solveur de l'Équation de Young-Laplace | Pression d'Interface

Qu’est-ce que l’équation de Young-Laplace ?

L’équation de Young-Laplace est une formule de mécanique des fluides qui donne la différence de pression de part et d’autre d’une interface courbe entre deux fluides, comme la surface d’une goutte d’eau ou d’une bulle de savon. Elle montre que cette différence de pression dépend de la tension superficielle du fluide et de la courbure de l’interface. L’équation explique pourquoi la pression augmente à l’intérieur des gouttes et des bulles, et pourquoi les plus petites ont une pression interne supérieure à celle des plus grandes.

Elle porte le nom de Thomas Young et de Pierre-Simon Laplace, qui ont chacun décrit cette relation au début des années 1800.

Formule de l’équation de Young-Laplace

La forme générale de l’équation est la suivante :

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ est la différence de pression de part et d’autre de l’interface, en pascals (Pa)
• $\gamma$ (gamma) est la tension superficielle du fluide, en newtons par mètre (N/m)
• $R_1$ et $R_2$ sont les deux rayons principaux de courbure de la surface, en mètres (m)

Une surface se courbe différemment selon la direction. $R_1$ et $R_2$ décrivent la courbure suivant deux directions perpendiculaires. Pour une sphère, comme une goutte ou une bulle, $R_1$ est égal à $R_2$, de sorte que la formule se simplifie ainsi :

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Convention de signe

La pression est toujours plus élevée du côté concave d’une interface courbe, c’est-à-dire du côté dont la surface s’éloigne en se bombant. Pour une goutte ou une bulle, cela signifie que la pression intérieure est supérieure à la pression extérieure. Un rayon est considéré comme positif lorsque son centre de courbure se trouve du côté où la pression est la plus élevée. Si la surface se courbe dans l’autre sens suivant une direction, ce rayon est considéré comme négatif. Une interface en forme de selle, comme le col liquide entre deux grains en contact, présente un rayon de courbure positif et un rayon de courbure négatif, et les deux termes se compensent partiellement.

Ce calculateur utilise uniquement des rayons positifs.

Cas particuliers

• Surface plane : lorsqu’un rayon tend vers l’infini, le terme correspondant dans la formule tend vers zéro. Une interface parfaitement plane ne présente aucune différence de pression.
• Cylindre : une longue surface cylindrique, comme un jet liquide sortant d’une buse, se courbe dans une seule direction. Un rayon est le rayon du cylindre et l’autre est infini dans le sens de sa longueur, de sorte que la formule devient $\Delta P = \gamma / R$. La différence de pression est alors deux fois plus faible que celle d’une sphère de même rayon.
• Très petites échelles : en dessous d’environ 10 à 20 nanomètres, des effets supplémentaires comme la tension de ligne deviennent importants et l’équation simple perd en précision.

Comment calculer la différence de pression avec l’équation de Young-Laplace

1. Déterminer la tension superficielle du fluide, en N/m, à la température étudiée. La tension superficielle diminue lorsque la température augmente.
2. Mesurer ou estimer le premier rayon principal de courbure, $R_1$, en mètres.
3. Mesurer ou estimer le second rayon principal de courbure, $R_2$, en mètres. Pour une sphère, utiliser la même valeur que pour $R_1$. Pour un cylindre, utiliser un nombre très grand pour représenter l’infini.
4. Multiplier la tension superficielle par la somme de $1/R_1$ et de $1/R_2$. Le résultat est la différence de pression en pascals.

Conserver toutes les valeurs dans les unités du SI. Mélanger des millimètres et des mètres, par exemple, fausse le résultat d’un facteur mille.

Exemple détaillé

Considérons une goutte d’eau sphérique de rayon 1 millimètre (0,001 m) et de tension superficielle 0,072 N/m, une valeur typique pour l’eau proche de la température ambiante.

Comme la goutte est une sphère, $R_1 = R_2 = R$, donc :

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

La pression à l’intérieur de la goutte est supérieure de 144 Pa à la pression de l’air environnant. Cette différence est faible par rapport à la pression atmosphérique normale, d’environ 101 325 Pa, mais l’effet augmente rapidement lorsque la goutte rétrécit. Une goutte dix fois plus petite, de rayon 0,1 mm, présente une différence de pression dix fois supérieure : 1 440 Pa. Une goutte de rayon 0,01 mm atteint 14 400 Pa, soit plus de 14 % de la pression atmosphérique.

Applications de l’équation

• Gouttes et bulles : la pression plus élevée à l’intérieur des petites gouttes provoque la maturation d’Ostwald, processus par lequel les petites gouttes d’une émulsion rétrécissent tandis que les plus grandes grossissent, car leur contenu diffuse des zones de haute pression vers les zones de basse pression.
• Action capillaire : la surface courbe à l’intérieur d’un tube étroit attire le liquide vers le haut. C’est pourquoi l’eau monte dans les essuie-tout et les tubes en verre étroits.
• Respiration : les minuscules sacs aériens des poumons, appelés alvéoles, se comportent comme de petites bulles. Un revêtement appelé surfactant pulmonaire réduit la tension superficielle afin que les petites alvéoles ne s’affaissent pas sous la pression que prédit l’équation. Les bébés prématurés qui manquent de surfactant peuvent ainsi développer des problèmes respiratoires.
• Impression à jet d’encre : les buses d’imprimante forment des gouttes de quelques dizaines de micromètres de diamètre, pour lesquelles la pression due à la courbure est suffisamment élevée pour influencer la façon dont l’encre sort de la buse.
• Science des matériaux : les instruments qui mesurent la façon dont les liquides mouillent une surface et le comportement des revêtements minces utilisent l’équation pour relier la forme d’une goutte à son énergie de surface.

Historique

Les liquides qui montent dans des tubes étroits ont été observés bien avant que leur cause soit expliquée. Au début des années 1700, Francis Hauksbee a montré expérimentalement que les tubes plus étroits provoquent une montée capillaire plus importante, et en 1718 James Jurin a décrit cette montée comme inversement proportionnelle au diamètre du tube.

Thomas Young a expliqué la physique sous-jacente dans un article de 1805, en présentant la tension superficielle comme une propriété d’un fluide et en la reliant à la pression de part et d’autre des surfaces courbes, bien que son traitement soit principalement descriptif. En 1806, Pierre-Simon Laplace a établi la forme mathématique à l’aide du calcul différentiel et intégral, parvenant indépendamment à la même relation. Leurs travaux réunis ont donné naissance à l’équation de Young-Laplace. Des scientifiques ultérieurs, dont Carl Friedrich Gauss et Joseph Plateau, ont testé et étendu la théorie au cours des années 1800.

Foire aux questions

Que calcule l’équation de Young-Laplace ? Elle calcule la différence de pression de part et d’autre d’une interface courbe entre deux fluides, à partir de la tension superficielle du fluide et de la courbure de l’interface.

Pourquoi la pression est-elle plus élevée à l’intérieur d’une petite goutte ? La tension superficielle s’exerce le long du bord de la goutte, et cette force augmente proportionnellement au rayon. La surface sur laquelle la pression doit s’exercer augmente proportionnellement au carré du rayon. L’équilibre entre les deux donne $\Delta P = 2\gamma/R$, si bien que la différence de pression est inversement proportionnelle au rayon : si le rayon est divisé par deux, la différence de pression double.

Comment la température agit-elle sur l’équation ? La température modifie la valeur de la tension superficielle, qui diminue lorsque la température augmente. Pour l’eau, la tension superficielle passe d’environ 0,073 N/m à 20 °C à environ 0,063 N/m à 80 °C, soit une diminution d’environ 0,17 mN/m pour chaque degré Celsius. La tension superficielle à température ambiante est supérieure à celle de l’eau chaude ; utiliser une valeur correspondant à la température ambiante pour un système chaud surestime donc la différence de pression.

L’équation fonctionne-t-elle pour des formes autres que les sphères ? Oui. La forme générale, avec deux rayons distincts $R_1$ et $R_2$, s’applique à toute surface courbe, notamment aux ellipsoïdes et aux interfaces en forme de selle. Seule la version simplifiée $2\gamma/R$ est limitée aux sphères.

Quelle est la différence entre l’équation de Young-Laplace et l’équation de Young ? L’équation de Young-Laplace donne la différence de pression provoquée par une interface courbe. L’équation de Young, une relation distincte également due à Thomas Young, donne l’angle de contact d’une goutte avec une surface solide, à partir des énergies de surface des trois matériaux concernés. Elles décrivent des phénomènes différents et sont parfois utilisées ensemble pour analyser une goutte déposée sur une surface.

Quelle peut être la taille minimale d’une goutte avant que l’équation ne cesse d’être applicable ? L’équation reste précise jusqu’à environ 1 micromètre. En dessous d’environ 10 à 20 nanomètres, des forces supplémentaires ignorées par l’équation, notamment la tension de ligne et les forces entre surfaces à l’échelle moléculaire, deviennent suffisamment importantes pour compter, et des modèles plus détaillés sont nécessaires.

Références

1. Young, T. (1805). « An Essay on the Cohesion of Fluids ». Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P. S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, supplément au livre 10.
3. de Gennes, P. G., Brochard-Wyart, F. et Quéré, D. (2004). Capillarité et phénomènes de mouillage : gouttes, bulles, perles, vagues. Springer.
4. Adamson, A. W. et Gast, A. P. (1997). Chimie physique des surfaces (6e éd.). Wiley-Interscience.