Calculateur de Distribution Binomiale - Outil de Probabilité Gratuit

Qu’est-ce qu’un calculateur de loi binomiale ?

Un calculateur de loi binomiale détermine la probabilité d’obtenir un nombre exact de succès lors d’un nombre fixe d’épreuves indépendantes, lorsque chaque épreuve présente la même probabilité de succès. Il est utilisé en statistique, en contrôle qualité, en médecine et dans tout domaine qui étudie des événements répétés à réponse oui ou non.

L’idée sous-jacente est la loi binomiale, un modèle probabiliste qui compte les succès lors d’épreuves répétées ne présentant que deux résultats, généralement appelés succès et échec.

Formule de la loi binomiale

La probabilité d’obtenir exactement k succès lors de n épreuves est la suivante :

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Chaque symbole signifie :

• n — le nombre d’épreuves.
• k — le nombre de succès dont on veut calculer la probabilité.
• p — la probabilité de succès lors d’une épreuve, un nombre compris entre 0 et 1.
• $\binom{n}{k}$ — le coefficient binomial, c’est-à-dire le nombre de façons différentes de choisir k succès parmi n épreuves. Il est égal à $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Chaque épreuve doit être indépendante, ce qui signifie que le résultat d’une épreuve ne modifie pas les chances d’une autre, et la probabilité de succès p doit rester la même pour toutes les épreuves. Une épreuve unique à deux résultats possibles, comme un seul lancer de pièce, est appelée une épreuve de Bernoulli. Une loi binomiale s’obtient en additionnant n épreuves de Bernoulli.

Comment calculer une probabilité binomiale

1. Notez n, k et p.
2. Calculez le coefficient binomial $\binom{n}{k}$, c’est-à-dire le nombre de façons de répartir k succès parmi n épreuves.
3. Élevez p à la puissance k.
4. Élevez (1 − p) à la puissance (n − k).
5. Multipliez les trois nombres entre eux.

Le calculateur de cette page effectue automatiquement ces étapes. Saisissez n, p et k ; il renvoie P(X = k) ainsi qu’un diagramme en barres indiquant la probabilité de chaque résultat possible, de 0 à n succès.

Exemple détaillé

Exemple 1 : lancers d’une pièce

Lancez une pièce équilibrée 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 3 faces ?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Résultat : 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, soit environ 11,72 %

Exemple 2 : contrôle qualité

Une usine inspecte 100 articles. Chaque article présente une probabilité de 2 % d’être défectueux. Quelle est la probabilité qu’aucun des 100 articles ne soit défectueux ?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Puisque k = 0, la formule se réduit à $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Résultat : ≈ 0,1326, soit environ 13,26 %

Exemple 3 : dépistage d’une maladie

Une ville dépiste 1 000 personnes pour une maladie qui touche 0,1 % de la population (p = 0,001). Quelle est la probabilité qu’exactement 5 des 1 000 personnes soient infectées ?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Résultat : 8 250 291 250 200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, soit environ 0,30 % (valeur précise 0,0030488, c’est-à-dire 0,30488 %)

Moyenne et variance

Pour une loi binomiale de paramètres n et p :

• Moyenne (espérance) : E(X) = np
• Variance : Var(X) = np(1 − p)
• Écart type : σ = √[np(1 − p)]

La moyenne indique le nombre moyen de succès attendu sur un grand nombre de répétitions. Dans l’exemple 1, la moyenne est de 10 × 0,5 = 5 faces.

Ce que le calculateur accepte

• n doit être un nombre entier de 1 ou plus. Une valeur décimale est arrondie à l’entier le plus proche du nombre d’épreuves ; ainsi, 10,9 est traité comme 11.
• p doit être compris entre 0 et 1, bornes incluses.
• k doit être un nombre entier de 0 ou plus et ne peut pas être supérieur à n. Obtenir 8 succès en 5 épreuves est impossible ; le calculateur signale donc une erreur au lieu d’afficher un nombre.

Si une case est laissée vide, le calculateur n’affiche ni résultat ni graphique plutôt que de deviner une valeur.

Quand la loi binomiale s’applique

La loi binomiale ne convient à une situation que si les quatre conditions suivantes sont réunies :

1. Le nombre d’épreuves n est fixé à l’avance.
2. Chaque épreuve ne présente que deux résultats : succès ou échec.
3. La probabilité de succès p est la même à chaque épreuve.
4. Les épreuves sont indépendantes les unes des autres.

Tirer des cartes d’un jeu sans remise rompt la condition d’indépendance, car retirer une carte modifie les probabilités du tirage suivant. Cette situation nécessite plutôt une loi hypergéométrique.

Lois apparentées

• Loi de Poisson : utilisée pour approximer la loi binomiale lorsque n est grand et p faible, de sorte que le nombre moyen de succès (np) reste modéré. Elle sert couramment à modéliser des événements rares, comme le cas de maladie dans l’exemple 3.
• Loi normale : pour un n élevé et lorsque p n’est pas trop proche de 0 ou de 1, la loi binomiale présente approximativement une forme en cloche et peut être approchée par une loi normale de moyenne np et de variance np(1 − p).
• Loi hypergéométrique : utilisée à la place de la loi binomiale lorsque l’échantillonnage est effectué sans remise dans une population finie.

Foire aux questions

Que fait un calculateur de loi binomiale ?

Il calcule la probabilité d’obtenir exactement k succès lors de n épreuves indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès p, à l’aide de la formule P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Quelle est la différence entre les lois binomiale et normale ?

La loi binomiale est discrète, ce qui signifie qu’elle ne produit que des nombres entiers de succès. La loi normale est continue. Pour un n élevé, une loi binomiale peut être approchée par une courbe normale de moyenne np et de variance np(1 − p).

p peut-il être égal à 0 ou à 1 ?

Oui. Si p = 0, aucune épreuve ne peut aboutir à un succès, donc P(X = 0) = 1. Si p = 1, chaque épreuve aboutit à un succès, donc P(X = n) = 1. Dans ces cas, tous les autres nombres k ont une probabilité de 0.

Quelle est la relation entre les lois binomiale et de Bernoulli ?

Une loi de Bernoulli décrit une seule épreuve à deux résultats (n = 1). Une loi binomiale est la somme de n épreuves de Bernoulli indépendantes ; une loi de Bernoulli est donc simplement une loi binomiale avec n = 1.

Jusqu’à quelle valeur n le calculateur reste-t-il précis ?

Le calculateur utilise l’arithmétique standard en double précision. Il multiplie directement les trois parties de la formule et passe aux logarithmes lorsque le coefficient binomial dépasse le plus grand nombre qu’un type double peut contenir, ce qui se produit vers n = 1 000 lorsque k est proche de n/2. Les résultats restent corrects au-delà de ce point. Une probabilité inférieure à environ 1e-308 est affichée comme 0, car aucun type double ne peut la contenir.

Comment le coefficient binomial est-il calculé ?

Le coefficient binomial C(n, k) compte le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, quel que soit l’ordre. Il est égal à n! / (k! × (n − k)!). Le calculateur le construit étape par étape, en multipliant par un facteur puis en divisant par le suivant, de sorte qu’il n’a jamais à stocker une factorielle complète. Pour les valeurs très grandes de n, il additionne plutôt les logarithmes de ces facteurs.

Références

1. "Binomial Distribution." Wikipédia, Fondation Wikimedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L., et al. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.