Calculateur de Distribution Gamma - Outil d'Analyse Statistique

Qu’est-ce qu’un calculateur de loi gamma ?

Un calculateur de loi gamma détermine la moyenne, la variance, l’asymétrie, l’aplatissement et le mode d’une loi gamma à partir de deux valeurs : un paramètre de forme et un paramètre d’échelle. Il trace également la fonction de densité de probabilité de la loi sous forme de courbe.

Qu’est-ce qu’une loi gamma ?

La loi gamma est une loi de probabilité continue pour les valeurs positives. Elle est définie par deux paramètres : un paramètre de forme, généralement noté k, et un paramètre d’échelle, généralement noté θ (thêta). Ces deux paramètres doivent être supérieurs à zéro. La loi gamma sert à modéliser des quantités qui ne peuvent pas être négatives, comme les cumuls de précipitations, les montants de sinistres et le temps avant la défaillance d’une pièce mécanique.

Formule de la loi gamma

La fonction de densité de probabilité (PDF) de la loi gamma est :

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Ici, x est la valeur à laquelle la densité est mesurée, et Γ(k) est la fonction gamma, une généralisation de la factorielle aux nombres non entiers. La formule ne s’applique que pour x > 0 ; la densité est nulle partout ailleurs.

Comment calculer les propriétés d’une loi gamma

À partir du paramètre de forme k et du paramètre d’échelle θ, le calculateur détermine :

• Moyenne : k × θ
• Variance : k × θ²
• Asymétrie : 2 / √k
• Aplatissement : 3 + 6 / k
• Mode : (k − 1) × θ lorsque k ≥ 1, sinon 0

L’asymétrie mesure le déséquilibre de la courbe. Une valeur plus faible de k produit une queue plus longue vers la droite. L’aplatissement mesure le poids des queues par rapport à une loi normale, dont l’aplatissement est égal à 3. Le mode est la valeur de x pour laquelle la courbe atteint son maximum. Lorsque k est inférieur à 1, la densité continue d’augmenter à mesure que x se rapproche de 0. Il n’y a donc pas de maximum intérieur et le calculateur indique un mode égal à 0.

Exemple de calcul

Prenons un paramètre de forme k = 2 et un paramètre d’échelle θ = 3.

• Moyenne = 2 × 3 = 6
• Variance = 2 × 3² = 18
• Asymétrie = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Aplatissement = 3 + 6 / 2 = 6
• Mode = (2 − 1) × 3 = 3

Au niveau du mode, x = 3, la densité est égale à f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Le calculateur trace automatiquement la courbe complète dès que les deux paramètres sont saisis.

Comment utiliser le calculateur de loi gamma

1. Saisissez le paramètre de forme (k), qui doit être un nombre positif.
2. Saisissez le paramètre d’échelle (θ), qui doit être un nombre positif.
3. La moyenne, la variance, l’asymétrie, l’aplatissement et le mode apparaissent dès que les deux champs contiennent des nombres valides. Aucun bouton de calcul distinct n’est nécessaire : les résultats sont mis à jour au fur et à mesure de la saisie.
4. Le graphique situé sous les résultats affiche la fonction de densité de probabilité. Il est tracé depuis une valeur légèrement supérieure à x = 0 jusqu’à la plus grande des deux valeurs suivantes : trois fois la moyenne ou cinq fois le paramètre d’échelle.

Les deux paramètres doivent être des nombres finis supérieurs à 0, et aucun ne peut être supérieur à 1 000. Les valeurs inférieures à environ 2 × 10⁻¹⁶ sont également refusées, car les nombres récapitulatifs cessent d’être significatifs à cette échelle. Une valeur en dehors de l’intervalle accepté produit un message d’erreur au lieu des résultats.

Applications de la loi gamma

La loi gamma modélise de nombreuses quantités réelles qui sont toujours positives et souvent asymétriques vers la droite :

• Assurance : montants des sinistres et des indemnisations
• Météorologie : cumuls de précipitations sur une période donnée
• Ingénierie : temps avant la défaillance d’un composant
• Théorie des files d’attente : temps d’attente résultant de plusieurs étapes exponentielles
• Biologie : niveaux d’expression des gènes et données de comptage des espèces

Lois apparentées

Deux lois connues sont des cas particuliers de la loi gamma :

• Loi exponentielle : loi gamma avec k = 1
• Loi du khi carré : loi gamma avec k = n/2 et θ = 2, où n représente le nombre de degrés de liberté

Les lois de Weibull et log-normale sont des solutions courantes pour modéliser des données positives et asymétriques.

Foire aux questions

À quoi sert la loi gamma ?
Elle modélise des quantités continues et positives, comme les temps d’attente, les quantités de précipitations et les sinistres d’assurance, en particulier lorsque les données sont davantage concentrées vers les grandes valeurs.

Comment trouver la moyenne d’une loi gamma ?
Multipliez le paramètre de forme par le paramètre d’échelle : moyenne = k × θ. Pour k = 2 et θ = 3, la moyenne est égale à 6.

Quelle est la différence entre les paramètres de forme et d’échelle ?
Le paramètre de forme (k) contrôle la forme de la courbe, notamment son asymétrie. Le paramètre d’échelle (θ) étire ou comprime la courbe le long de l’axe des x sans modifier sa forme générale.

Quel est le lien entre la loi gamma et la loi exponentielle ?
La loi exponentielle est une loi gamma dont le paramètre de forme est k = 1.

La loi gamma peut-elle prendre des valeurs négatives ?
Non. Elle est définie uniquement pour x > 0. Les données pouvant être négatives nécessitent une autre loi, comme la loi normale.

Ce calculateur détermine-t-il la fonction de répartition ?
Non. Il calcule la moyenne, la variance, l’asymétrie, l’aplatissement et le mode, puis trace la fonction de densité de probabilité. Il ne fournit pas de valeurs de probabilité cumulée.

Références

1. « Gamma distribution. » Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. John Wiley & Sons.