Calculateur de Distribution Gamma - Outil d'Analyse Statistique

Qu’est-ce qu’un calculateur de loi gamma ?

Un calculateur de loi gamma détermine la moyenne, la variance, l’asymétrie, le kurtosis et le mode d’une loi gamma à partir de deux données : un paramètre de forme et un paramètre d’échelle. Il trace aussi la fonction de densité de probabilité de la loi sous forme de courbe.

Qu’est-ce que la loi gamma ?

La loi gamma est une loi de probabilité continue pour les valeurs positives. Elle est définie par deux paramètres : un paramètre de forme, généralement noté k, et un paramètre d’échelle, généralement noté θ (thêta). Les deux doivent être supérieurs à zéro. La loi gamma sert à modéliser des quantités qui ne peuvent pas être négatives, comme les cumuls de précipitations, le montant des réclamations d’assurance et le temps avant la défaillance d’une pièce de machine.

Formule de la loi gamma

La fonction de densité de probabilité (FDP) de la loi gamma est :

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Ici, x est la valeur où l’on mesure la densité, et Γ(k) est la fonction gamma, une généralisation de la factorielle aux nombres non entiers. La formule ne vaut que pour x > 0; la densité est nulle partout ailleurs.

Comment calculer les propriétés d’une loi gamma

À partir du paramètre de forme k et du paramètre d’échelle θ, le calculateur détermine :

• Moyenne : k × θ
• Variance : k × θ²
• Asymétrie : 2 / √k
• Kurtosis : 3 + 6 / k
• Mode : (k − 1) × θ lorsque k ≥ 1, sinon 0

L’asymétrie mesure à quel point la courbe est déséquilibrée. Un k plus petit produit une queue droite plus longue. Le kurtosis mesure l’épaisseur des queues par rapport à une loi normale, dont le kurtosis est de 3. Le mode est la valeur de x où la courbe atteint son sommet. Lorsque k est inférieur à 1, la densité continue de monter quand x s’approche de 0; il n’y a donc pas de sommet intérieur, et le calculateur indique un mode de 0.

Exemple détaillé

Prenons un paramètre de forme k = 2 et un paramètre d’échelle θ = 3.

• Moyenne = 2 × 3 = 6
• Variance = 2 × 3² = 18
• Asymétrie = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Kurtosis = 3 + 6 / 2 = 6
• Mode = (2 − 1) × 3 = 3

Au mode, x = 3, la densité vaut f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Le calculateur trace automatiquement la courbe complète dès que les deux paramètres sont saisis.

Comment utiliser le calculateur de loi gamma

1. Saisissez le paramètre de forme (k), un nombre positif.
2. Saisissez le paramètre d’échelle (θ), un nombre positif.
3. La moyenne, la variance, l’asymétrie, le kurtosis et le mode s’affichent dès que les deux champs contiennent des nombres valides. Il n’y a pas de bouton de calcul distinct; les résultats se mettent à jour au fur et à mesure de la saisie.
4. Le graphique sous les résultats montre la fonction de densité de probabilité sur une plage de valeurs de x.

Les deux paramètres doivent être des nombres positifs et finis. L’outil accepte des valeurs allant jusqu’à 1000 pour chaque paramètre.

Où la loi gamma est utilisée

La loi gamma modélise de nombreuses quantités réelles toujours positives et souvent asymétriques vers la droite :

• Assurance : montant des réclamations et des indemnités
• Météorologie : cumuls de précipitations sur une période donnée
• Ingénierie : temps avant la défaillance d’un composant
• Théorie des files d’attente : temps d’attente formés de plusieurs étapes exponentielles
• Biologie : niveaux d’expression génique et données de dénombrement d’espèces

Lois apparentées

Deux lois bien connues sont des cas particuliers de la loi gamma :

• Loi exponentielle : une loi gamma avec k = 1
• Loi du khi-deux : une loi gamma avec k = n/2 et θ = 2, où n est le nombre de degrés de liberté

Les lois de Weibull et log-normale sont des solutions de rechange courantes pour modéliser des données positives et asymétriques.

Questions fréquentes

À quoi sert la loi gamma ? Elle modélise des quantités continues et positives comme les temps d’attente, les quantités de précipitations et les réclamations d’assurance, surtout lorsque les données penchent vers les grandes valeurs.

Comment trouver la moyenne d’une loi gamma ? Multipliez le paramètre de forme par le paramètre d’échelle : moyenne = k × θ. Pour k = 2 et θ = 3, la moyenne est de 6.

Quelle est la différence entre les paramètres de forme et d’échelle ? Le paramètre de forme (k) contrôle l’allure de la courbe, y compris son asymétrie. Le paramètre d’échelle (θ) étire ou comprime la courbe le long de l’axe des x sans changer sa forme de base.

Quel lien y a-t-il entre la loi gamma et la loi exponentielle ? La loi exponentielle est la loi gamma avec un paramètre de forme k = 1.

La loi gamma peut-elle prendre des valeurs négatives ? Non. Elle n’est définie que pour x > 0. Les données qui peuvent être négatives exigent une autre loi, comme la loi normale.

Ce calculateur détermine-t-il la fonction de répartition ? Non. Il calcule la moyenne, la variance, l’asymétrie, le kurtosis et le mode, et trace la fonction de densité de probabilité. Il ne fournit pas de valeurs de probabilité cumulée.

Références

1. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.11 Gamma Distribution. Gamma distribution — la FDP gamma, asymétrie 2/√γ, kurtosis 3 + 6/γ et mode γ − 1 pour γ ≥ 1 (forme standard).