Calculateur de Distribution Gamma

Introduction

La distribution gamma est une distribution de probabilité continue qui est largement utilisée dans divers domaines de la science, de l'ingénierie et de la finance. Elle est caractérisée par deux paramètres : le paramètre de forme (k ou α) et le paramètre d'échelle (θ ou β). Ce calculateur vous permet de calculer diverses propriétés de la distribution gamma en fonction de ces paramètres d'entrée.

Formule

La fonction de densité de probabilité (PDF) de la distribution gamma est donnée par :

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Où :

• x > 0 est la variable aléatoire
• k > 0 est le paramètre de forme
• θ > 0 est le paramètre d'échelle
• Γ(k) est la fonction gamma

La fonction de distribution cumulative (CDF) est :

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Où γ(k, x/θ) est la fonction gamma incomplète inférieure.

Les propriétés clés de la distribution gamma incluent :

1. Moyenne : $E[X] = k\theta$
2. Variance : $Var[X] = k\theta^2$
3. Asymétrie : $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kurtosis : $3 + \frac{6}{k}$

Comment Utiliser Ce Calculateur

1. Entrez le paramètre de forme (k ou α)
2. Entrez le paramètre d'échelle (θ ou β)
3. Cliquez sur "Calculer" pour calculer diverses propriétés de la distribution gamma
4. Les résultats afficheront la moyenne, la variance, l'asymétrie, la kurtosis et d'autres informations pertinentes
5. Une visualisation de la fonction de densité de probabilité sera affichée

Calcul

Le calculateur utilise les formules mentionnées ci-dessus pour calculer diverses propriétés de la distribution gamma. Voici une explication étape par étape :

1. Valider les paramètres d'entrée (k et θ doivent être tous deux positifs)
2. Calculer la moyenne : $k\theta$
3. Calculer la variance : $k\theta^2$
4. Calculer l'asymétrie : $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Calculer la kurtosis : $3 + \frac{6}{k}$
6. Calculer le mode : $(k-1)\theta$ pour k ≥ 1, sinon 0
7. Générer des points pour la courbe PDF en utilisant la formule donnée ci-dessus
8. Tracer la courbe PDF

Considérations Numériques

Lors de la mise en œuvre des calculs de distribution gamma, plusieurs considérations numériques doivent être prises en compte :

1. Pour des paramètres de forme très petits (k < 1), la PDF peut approcher l'infini à mesure que x approche 0, ce qui peut provoquer une instabilité numérique.
2. Pour de grands paramètres de forme, la fonction gamma Γ(k) peut devenir très grande, ce qui peut provoquer un débordement. Dans de tels cas, il est conseillé de travailler avec le logarithme de la fonction gamma.
3. Lors du calcul de la CDF, il est souvent plus numériquement stable d'utiliser des algorithmes spécialisés pour la fonction gamma incomplète plutôt que l'intégration directe de la PDF.
4. Pour des valeurs extrêmes de paramètres, il peut être nécessaire d'utiliser une arithmétique à précision étendue pour maintenir la précision.

Cas d'Utilisation

La distribution gamma a de nombreuses applications dans divers domaines :

1. Finance : Modélisation des distributions de revenus, montants des sinistres d'assurance et rendements d'actifs
2. Météorologie : Analyse des schémas de précipitations et d'autres phénomènes météorologiques
3. Ingénierie : Analyse de fiabilité et modélisation du temps de défaillance
4. Physique : Description des temps d'attente entre les événements de désintégration radioactive
5. Biologie : Modélisation de l'abondance des espèces et des niveaux d'expression génique
6. Recherche opérationnelle : Théorie des files d'attente et gestion des stocks

Alternatives

Bien que la distribution gamma soit polyvalente, il existe des distributions connexes qui peuvent être plus appropriées dans certaines situations :

1. Distribution Exponentielle : Un cas particulier de la distribution gamma lorsque k = 1
2. Distribution Chi-carré : Un cas particulier de la distribution gamma avec k = n/2 et θ = 2
3. Distribution de Weibull : Souvent utilisée comme alternative dans l'analyse de fiabilité
4. Distribution Log-normale : Une autre option courante pour modéliser des données positives et asymétriques

Estimation des Paramètres

Lors de l'utilisation de données du monde réel, il est souvent nécessaire d'estimer les paramètres de la distribution gamma. Les méthodes courantes incluent :

1. Méthode des Moments : Équation des moments d'échantillon aux moments théoriques
2. Estimation du Maximum de Vraisemblance (MLE) : Trouver les paramètres qui maximisent la vraisemblance d'observer les données
3. Estimation Bayésienne : Incorporation de connaissances préalables sur les paramètres

Test d'Hypothèse

La distribution gamma peut être utilisée dans divers tests d'hypothèse, y compris :

1. Tests d'adéquation pour déterminer si les données suivent une distribution gamma
2. Tests pour l'égalité des paramètres d'échelle entre deux distributions gamma
3. Tests pour l'égalité des paramètres de forme entre deux distributions gamma

Histoire

La distribution gamma a une riche histoire en mathématiques et en statistiques :

• 18ème siècle : Leonhard Euler a introduit la fonction gamma, qui est étroitement liée à la distribution gamma
• 1836 : Siméon Denis Poisson a utilisé un cas particulier de la distribution gamma dans son travail sur la théorie des probabilités
• Années 1920 : Ronald Fisher a popularisé l'utilisation de la distribution gamma dans l'analyse statistique
• Milieu du 20ème siècle : La distribution gamma est devenue largement utilisée dans l'ingénierie de fiabilité et les tests de vie
• Fin du 20ème siècle à aujourd'hui : Les avancées en puissance de calcul ont facilité le travail avec les distributions gamma dans diverses applications

Exemples

Voici quelques exemples de code pour calculer les propriétés de la distribution gamma :

1' Fonction Excel VBA pour la PDF de la distribution gamma
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Utilisation :
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Distribution Gamma (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Densité de Probabilité')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Exemple d'utilisation :
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Calculer les propriétés
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Moyenne : {mean}")
29print(f"Variance : {variance}")
30print(f"Asymétrie : {skewness}")
31print(f"Kurtosis : {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Moyenne : ${mean}`);
19    console.log(`Variance : ${variance}`);
20    console.log(`Asymétrie : ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtosis : ${kurtosis}`);
22}
23
24// Exemple d'utilisation :
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Tracer la PDF (en utilisant une bibliothèque de tracé hypothétique)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Ces exemples démontrent comment calculer les propriétés de la distribution gamma et visualiser sa fonction de densité de probabilité à l'aide de divers langages de programmation. Vous pouvez adapter ces fonctions à vos besoins spécifiques ou les intégrer dans des systèmes d'analyse statistique plus larges.

Références

1. "Distribution Gamma." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_gamma. Consulté le 2 août 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistical distributions. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). A note on the gamma distribution. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). A generalization of the gamma distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.