Calculateur de Distribution de Poisson - Calculer les Probabilités d'Événements

Qu’est-ce qu’un calculateur de loi de Poisson ?

Un calculateur de loi de Poisson détermine la probabilité qu’un certain nombre d’événements se produisent pendant une période ou dans un espace donné, en fonction de la fréquence moyenne de ces événements. Il s’utilise lorsque les événements se produisent un à un, indépendamment les uns des autres, à un taux moyen constant. Parmi les exemples courants figurent le nombre d’appels reçus par un centre d’appels en une heure ou le nombre de fautes de frappe sur une page.

Formule de la loi de Poisson

La loi de Poisson donne la probabilité que surviennent exactement k événements lorsque le taux moyen est λ (la lettre grecque lambda) :

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Chaque symbole signifie :

• λ (lambda) — le nombre moyen d’événements par intervalle. C’est l’unique paramètre de la loi.
• k — le nombre exact d’événements dont on calcule la probabilité. Il doit être un nombre entier, 0 ou plus.
• e — le nombre d’Euler, une constante fixe valant environ 2,71828.
• k! — « k factorielle », le produit de tous les nombres entiers de 1 à k. Par exemple, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Par convention, 0! = 1.

La formule ne nécessite que λ et k. Elle ne nécessite pas un nombre total d’essais, contrairement à la loi binomiale.

Comment calculer une probabilité de Poisson

1. Choisir λ, le nombre moyen d’événements dans l’intervalle étudié.
2. Choisir k, le nombre exact d’événements dont on veut calculer la probabilité.
3. Élever e à la puissance −λ : cela donne e^(−λ).
4. Élever λ à la puissance k : cela donne λ^k.
5. Calculer k!, la factorielle de k.
6. Multiplier les résultats des étapes 3 et 4, puis diviser par le résultat de l’étape 5.

Le nombre obtenu est une probabilité comprise entre 0 et 1. Le multiplier par 100 permet de l’exprimer en pourcentage.

Exemple détaillé

Un centre d’appels reçoit en moyenne 5 appels par heure (λ = 5). Quelle est la probabilité qu’il reçoive exactement 3 appels au cours d’une heure donnée (k = 3) ?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Multiplier : 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Diviser par 6 : 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

La probabilité d’avoir exactement 3 appels pendant cette heure est d’environ 0,140, soit 14 %.

Autres exemples

Domaines d’utilisation de la loi de Poisson

La loi de Poisson modélise le dénombrement d’événements rares et indépendants. Ses utilisations courantes comprennent :

• Centres d’appels et service client : prévoir le nombre d’appels ou de conversations qui arrivent par heure.
• Industrie manufacturière : estimer le nombre de défauts dans un lot de produits.
• Assurance : estimer le nombre de sinistres qui surviendront au cours d’une période donnée.
• Biologie et médecine : modéliser le nombre de mutations ou la propagation de maladies rares.
• Physique : décrire la désintégration radioactive, chaque atome se désintégrant indépendamment à un taux moyen constant.
• Circulation et ingénierie des réseaux : estimer les arrivées de véhicules à une intersection ou les requêtes reçues par un serveur.

Conditions d’utilisation de la loi de Poisson

La loi de Poisson ne convient à une situation que si toutes les conditions suivantes sont réunies :

• Les événements se produisent un à un ; deux événements ne peuvent pas se produire exactement au même instant.
• Les événements se produisent indépendamment : un événement ne rend pas le suivant plus ou moins probable.
• Le taux moyen, λ, reste constant pendant l’intervalle étudié.

Si le taux varie au cours du temps ou si les événements ont tendance à se regrouper, la loi de Poisson simple ne décrira pas bien les données.

Loi de Poisson et lois apparentées

• Loi binomiale : utilisée lorsqu’il existe un nombre fixe d’essais et une probabilité de succès connue pour chacun d’eux, comme lorsqu’on lance une pièce 20 fois. La loi de Poisson est la loi vers laquelle tend la loi binomiale lorsque le nombre d’essais devient très grand et que la probabilité de succès par essai tend vers zéro, tandis que leur produit reste proche de λ.
• Loi normale : pour λ élevé, généralement au-delà de 20, la loi de Poisson ressemble à une loi normale en cloche, de moyenne λ et de variance λ.
• Loi exponentielle : alors que la loi de Poisson compte le nombre d’événements qui se produisent dans un intervalle fixe, la loi exponentielle décrit le temps d’attente entre ces événements.

Note historique

Le mathématicien français Siméon Denis Poisson a introduit cette loi en 1837, dans un ouvrage consacré aux probabilités appliquées aux verdicts judiciaires. Elle a d’abord suscité peu d’attention. Son utilisation s’est développée au début du 20e siècle, après que des statisticiens tels que Ladislaus Bortkiewicz et Ronald Fisher l’ont appliquée à des données réelles de dénombrement, notamment dans une célèbre étude sur des soldats prussiens tués par des coups de sabot.

Foire aux questions

Que signifie lambda (λ) dans une loi de Poisson ? Lambda est le nombre moyen d’événements attendus dans l’intervalle étudié. C’est aussi la variance de la loi ; une valeur λ plus élevée signifie donc à la fois un nombre moyen plus important et une plus grande dispersion des résultats possibles.

k ou λ peuvent-ils être négatifs ou fractionnaires ? λ doit être supérieur à 0, mais peut être décimal, par exemple 2,5 événements par heure. k doit être un nombre entier égal ou supérieur à 0, puisqu’il compte des événements réels ; il ne peut être ni négatif ni fractionnaire.

En quoi la loi de Poisson diffère-t-elle de la loi binomiale ? La loi binomiale nécessite un nombre fixe d’essais et une probabilité de succès fixe pour chaque essai. La loi de Poisson ne nécessite qu’un taux moyen et s’applique à des événements qui pourraient, en principe, se produire un nombre quelconque de fois.

Quand faut-il utiliser plutôt la loi normale ? Pour une valeur élevée de λ, généralement supérieure à environ 20, une loi normale ayant la même moyenne et la même variance donne une approximation étroite de la loi de Poisson et est souvent plus facile à calculer manuellement.

Pourquoi le calculateur affiche-t-il parfois un nombre en notation scientifique ? Les résultats sont normalement affichés avec six décimales. Lorsqu’une probabilité est inférieure à 0,0001, l’arrondir à six décimales donnerait 0,000000 et masquerait sa très faible valeur réelle ; le calculateur passe donc à la notation scientifique. Pour λ = 20 et k = 1, il affiche 4.122307e-8, ce qui signifie 0,00000004122307.

Les valeurs acceptées par le calculateur sont-elles limitées ? Oui. λ doit être supérieur à 0 et ne pas dépasser 700, tandis que k doit être un nombre entier compris entre 0 et 1000. En dehors de ces limites, le calculateur affiche une erreur. Ces plafonds maintiennent le résultat dans l’intervalle de nombres qu’un ordinateur peut stocker et limitent le graphique à un nombre de barres lisible.

La loi de Poisson permet-elle plus d’un événement à la fois ? Non. Le modèle suppose que les événements se produisent un à un. Si deux événements se produisent régulièrement ensemble, une autre loi s’adapte mieux aux données.

Références

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paris, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York : John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp et Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.