Calculez et visualisez la distribution de Laplace en fonction des paramètres de localisation et d'échelle fournis par l'utilisateur. Idéal pour l'analyse de probabilité, la modélisation statistique et les applications en science des données.
La distribution de Laplace, également connue sous le nom de distribution double exponentielle, est une distribution de probabilité continue nommée d'après Pierre-Simon Laplace. Elle est symétrique autour de sa moyenne (paramètre de localisation) et a des queues plus lourdes par rapport à la distribution normale. Ce calculateur vous permet de calculer la fonction de densité de probabilité (PDF) de la distribution de Laplace pour des paramètres donnés et de visualiser sa forme.
Remarque : Le paramètre d'échelle doit être strictement positif (b > 0).
La fonction de densité de probabilité (PDF) de la distribution de Laplace est donnée par :
Où :
Le calculateur utilise cette formule pour calculer la valeur de la PDF à x = 0 en fonction des entrées de l'utilisateur. Voici une explication étape par étape :
Cas particuliers à considérer :
La distribution de Laplace a diverses applications dans différents domaines :
Traitement du signal : Utilisée pour modéliser et analyser les signaux audio et image.
Finance : Appliquée dans la modélisation des rendements financiers et l'évaluation des risques.
Apprentissage automatique : Utilisée dans le mécanisme de Laplace pour la confidentialité différentielle et dans certains modèles d'inférence bayésienne.
Traitement du langage naturel : Appliquée dans les modèles de langage et les tâches de classification de texte.
Géologie : Utilisée pour modéliser la distribution des magnitudes des tremblements de terre (loi de Gutenberg-Richter).
Bien que la distribution de Laplace soit utile dans de nombreux scénarios, il existe d'autres distributions de probabilité qui pourraient être plus appropriées dans certaines situations :
Distribution normale (gaussienne) : Plus couramment utilisée pour modéliser les phénomènes naturels et les erreurs de mesure.
Distribution de Cauchy : A des queues encore plus lourdes que la distribution de Laplace, utile pour modéliser des données sujettes aux valeurs aberrantes.
Distribution exponentielle : Utilisée pour modéliser le temps entre les événements dans un processus de Poisson.
Distribution t de Student : Souvent utilisée dans les tests d'hypothèses et la modélisation des rendements financiers.
Distribution logistique : Semblable en forme à la distribution normale mais avec des queues plus lourdes.
La distribution de Laplace a été introduite par Pierre-Simon Laplace dans son mémoire de 1774 "Sur la probabilité des causes des événements." Cependant, la distribution a gagné en importance au début du 20ème siècle avec le développement de la statistique mathématique.
Les jalons clés dans l'histoire de la distribution de Laplace :
Voici quelques exemples de code pour calculer la PDF de la distribution de Laplace :
1' Fonction VBA Excel pour la PDF de la distribution de Laplace
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3 If b <= 0 Then
4 LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5 Else
6 LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7 End If
8End Function
9' Utilisation :
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
111import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4 if b <= 0:
5 raise ValueError("Le paramètre d'échelle doit être positif")
6 return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Exemple d'utilisation :
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"Valeur de la PDF à x={x}: {pdf_value:.6f}")
141function laplacePDF(x, mu, b) {
2 if (b <= 0) {
3 throw new Error("Le paramètre d'échelle doit être positif");
4 }
5 return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Exemple d'utilisation :
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`Valeur de la PDF à x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
141public class LaplacePDF {
2 public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3 if (b <= 0) {
4 throw new IllegalArgumentException("Le paramètre d'échelle doit être positif");
5 }
6 return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7 }
8
9 public static void main(String[] args) {
10 double location = 1.0;
11 double scale = 2.0;
12 double x = 0.0;
13 double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14 System.out.printf("Valeur de la PDF à x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15 }
16}
17Ces exemples démontrent comment calculer la PDF de la distribution de Laplace pour des paramètres donnés. Vous pouvez adapter ces fonctions à vos besoins spécifiques ou les intégrer dans des systèmes d'analyse statistique plus larges.
Distribution de Laplace standard :
Distribution de Laplace décalée :
Distribution de Laplace mise à l'échelle :
Distribution de Laplace décalée et mise à l'échelle :
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