Calculateur de Distribution de Laplace - Outil Gratuit de PDF et Visualisation

Qu’est-ce que la loi de Laplace ?

La loi de Laplace, également appelée loi double exponentielle, est une loi de probabilité continue ayant la forme de deux courbes exponentielles raccordées dos à dos à leur sommet. Elle est symétrique autour d’une valeur centrale et possède des queues plus épaisses que la loi normale, si bien qu’elle attribue davantage de probabilité aux valeurs extrêmes. Le calculateur de loi de Laplace présenté sur cette page détermine la densité de probabilité maximale de la loi à partir d’un paramètre de position et d’un paramètre d’échelle, puis trace la courbe complète de densité.

La loi porte le nom de Pierre-Simon Laplace, le mathématicien français qui l’a décrite pour la première fois en 1774.

Formule de la loi de Laplace

La fonction de densité de probabilité (PDF) de la loi de Laplace est la suivante :

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x est un point quelconque de la droite des nombres réels.
• μ (mu), le paramètre de position, est le centre de la loi. C’est également la moyenne et la médiane.
• b, le paramètre d’échelle, contrôle l’étendue de la loi. Il doit être supérieur à 0.
• |x − μ| est la distance entre x et le centre, sans tenir compte de la direction.

La courbe atteint son point le plus élevé exactement en x = μ. À ce point, la formule se simplifie, car |μ − μ| = 0 et exp(0) = 1, ce qui donne :

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Cette valeur maximale, 1/(2b), est le nombre indiqué par le calculateur.

Comment utiliser le calculateur de loi de Laplace

1. Saisissez le paramètre de position (μ). Il détermine le centre de la loi.
2. Saisissez le paramètre d’échelle (b). Il doit s’agir d’un nombre positif ; plus sa valeur est grande, plus la courbe est plate et étendue.
3. Le calculateur affiche la densité maximale, 1/(2b), et trace la courbe de densité f(x) de μ − 4b à μ + 4b. L’axe vertical du graphique représente la densité de probabilité, et la courbe peut être téléchargée sous forme de tableau de valeurs x et f(x).

Le calculateur ne demande pas de valeur x distincte. Il indique toujours la densité au sommet de la loi, x = μ, car c’est la valeur unique la plus utile pour comparer des lois ayant des échelles différentes. Pour trouver la densité en un autre point, utilisez la formule ci-dessus avec la valeur x souhaitée ou lisez la hauteur sur le graphique.

Exemple détaillé

Prenons une position μ = 4 et une échelle b = 2.

1. Vérifiez que b est positif : 2 > 0 ; les valeurs saisies sont donc valides.
2. Le sommet se trouve en x = μ = 4, où |x − μ| = 0.
3. Calculez la densité maximale : 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Le calculateur affiche 0,250000. La courbe tracée atteint son maximum en (4, 0,25) et décroît symétriquement des deux côtés, de μ − 4b à μ + 4b, c’est-à-dire de −4 à 12 dans ce cas.

Comme la formule de la densité maximale, 1/(2b), ne comporte pas μ, modifier la position ne fait que décaler la courbe vers la gauche ou vers la droite. Cela ne change pas sa hauteur. Seul le paramètre d’échelle modifie la hauteur.

Autres exemples

Moyenne, variance et écart type

Pour une loi de Laplace de position μ et d’échelle b :

• Moyenne = μ
• Médiane = μ
• Variance = 2b²
• Écart type = b√2

Loi de Laplace et loi normale

Les deux lois sont symétriques et en forme de cloche, et elles sont toutes deux entièrement décrites par un centre et un paramètre de dispersion. La différence se situe dans les queues. Dans la loi normale, la densité diminue avec le carré de la distance par rapport à la moyenne ; les valeurs extrêmes deviennent donc très rapidement extrêmement rares. Dans la loi de Laplace, elle diminue avec la distance elle-même ; les valeurs extrêmes restent donc relativement plus probables. La loi de Laplace est ainsi utile lorsque les données réelles contiennent davantage de valeurs aberrantes que ne le prévoit une loi normale.

Utilisations courantes

• Traitement du signal et des images : modélisation du bruit et compression des images, car les différences entre pixels ou signaux se concentrent souvent près de zéro, avec des sauts importants occasionnels.
• Confidentialité différentielle : le mécanisme de Laplace ajoute un bruit distribué selon une loi de Laplace aux résultats des requêtes afin de protéger les données individuelles tout en préservant la précision globale.
• Statistiques robustes et régression : la régression Lasso utilise une loi a priori en forme de Laplace, qui favorise les solutions où de nombreux coefficients sont exactement nuls.
• Finance : modélisation des rendements d’actifs, qui ont tendance à présenter des queues plus épaisses que ne le suggère une loi normale.
• Sismologie : utilisée dans des modèles de répartition des magnitudes des séismes liés à la loi de Gutenberg-Richter.

Foire aux questions

Que signifie le résultat du calculateur ?

Il s’agit de la valeur maximale de la fonction de densité de probabilité, égale à 1/(2b). C’est la hauteur de la courbe en son centre, x = μ.

Pourquoi le calculateur ne demande-t-il pas de valeur x ?

La densité maximale, 1/(2b), est la même pour toute valeur de x égale à μ ; aucune saisie x distincte n’est donc nécessaire pour la déterminer. Il s’agit de la valeur unique standard utilisée pour comparer deux lois de Laplace selon qu’elles sont hautes et étroites, ou basses et larges. La courbe complète, qui montre la densité pour chaque valeur de x, est disponible sur le graphique.

Comment trouver la densité en un point autre que le sommet ?

Utilisez la formule $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ avec la valeur x souhaitée ou lisez directement la hauteur sur la courbe tracée.

En quoi la loi de Laplace diffère-t-elle de la loi exponentielle ?

La loi de Laplace peut être construite à partir de deux lois exponentielles. Si X et Y sont des variables aléatoires exponentielles indépendantes de même taux, alors X − Y suit une loi de Laplace centrée en 0.

Quelles sont les utilisations courantes de la loi de Laplace ?

Elle est utilisée dans le traitement du signal, la compression d’images, la confidentialité différentielle, les statistiques robustes, la régression Lasso, ainsi que pour modéliser les rendements financiers et les magnitudes des séismes, lorsque les données réelles présentent davantage de valeurs extrêmes que ne le prévoit une loi normale.

La loi de Laplace peut-elle être négative ou concerne-t-elle uniquement les valeurs positives ?

Elle est définie pour tous les nombres réels, positifs comme négatifs, contrairement à la loi exponentielle, qui ne prend que des valeurs non négatives.

Références

1. Kotz, S., Kozubowski, T. et Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipédia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution