מחשבון זווית השפל - כלי מקוון חינמי

מחשבון זווית שקיעה

זווית השקיעה היא הזווית כלפי מטה בין קו ראייה אופקי לבין קו ראייה אל עצם הנמצא מתחתיו. מחשבון זה מוצא את הזווית משתי מדידות: המרחק האופקי אל העצם והמרחק האנכי שבו הוא נמצא מתחת לצופה.

מהי זווית השקיעה?

אדם העומד על צוק מביט היישר אל האופק. קו הראייה הזה אופקי. כאשר אותו אדם מביט מטה אל סירה שעל המים, קו הראייה נוטה כלפי מטה. הזווית בין שני הקווים היא זווית השקיעה.

הזווית נמדדת תמיד מהאופקי, ולא מהאנכי. ככל שקו הראייה תלול יותר, הזווית גדולה יותר. סירה הנמצאת כמעט ישירות מתחת לשפת הצוק יוצרת זווית הקרובה ל־90°. סירה הנמצאת הרחק על פני המים, מעט מתחת לגובה העיניים, יוצרת זווית הקרובה ל־0°.

זווית השקיעה היא תמונת המראה של זווית הגובה, שהיא הזווית כלפי מעלה מצופה אל עצם הנמצא מעליו. אילו אדם שעל סירה היה מביט מעלה אל אותו צופה שעמד בראש הצוק, הזווית שהיה מודד כלפי מעלה הייתה שווה לזווית השקיעה שנמדדה מהצוק.

נוסחת זווית השקיעה

זווית השקיעה, המרחק האופקי והמרחק האנכי יוצרים משולש ישר־זווית. המרחק האופקי והמרחק האנכי הם שני הניצבים; קו הראייה הוא היתר. לכן אפשר למצוא את הזווית באמצעות פונקציית הארקטנגנס (טנגנס הפוך):

$\theta = \arctan\left(\frac{\text{מרחק אנכי}}{\text{מרחק אופקי}}\right)$

כאן θ (תטא) היא זווית השקיעה, במעלות. המרחק האנכי הוא המרחק שבו העצם נמצא מתחת לצופה. המרחק האופקי הוא מרחק הקרקע בין הצופה לבין הנקודה שנמצאת ישירות מתחת לעצם. יש למדוד את שני המרחקים באותה יחידה; היחידה עצמה אינה משנה, משום שהחישוב משתמש רק ביחס ביניהם.

כיצד לחשב זאת, שלב אחר שלב

1. מדדו או אמדו את המרחק האופקי אל העצם.
2. מדדו או אמדו את המרחק האנכי מתחת לצופה.
3. חלקו את המרחק האנכי במרחק האופקי.
4. חשבו את הארקטנגנס של היחס הזה.
5. המירו את התוצאה מרדיאנים למעלות, אם הארקטנגנס חושב ברדיאנים.

דוגמה פתורה

צופה עומד על מגדל. ציון דרך על הקרקע נמצא במרחק אופקי של 100 מטרים ובמרחק של 50 מטרים מתחת לצופה.

1. יחס: 50 ÷ 100 = 0.5
2. ארקטנגנס: arctan(0.5) ≈ 0.4636476090 רדיאנים
3. במעלות: 0.4636476090 × (180 / π) ≈ 26.5650512°

המחשבון מעגל את התוצאה ל־26.57°. שני המרחקים האלה הם הערכים שהכלי טוען, ולכן אותם מספרים מופיעים בביקור הראשון.

קלטים תקפים ומקרי קצה

גם המרחק האופקי וגם המרחק האנכי חייבים להיות גדולים מאפס. אם אחד הערכים הוא אפס, שלילי או נשאר ריק, המחשבון מציג הודעת אימות במקום תוצאה, משום שמשולש זקוק לשני ניצבים חיוביים כדי להגדיר זווית באופן זה.

לכל זוג מרחקים חיוביים וסופיים, הזווית האמיתית נמצאת תמיד בקפדנות בין 0° לבין 90°. מרחק אנכי קטן מאוד ביחס למרחק האופקי יוצר זווית הקרובה ל־0°. מרחק אנכי גדול מאוד ביחס למרחק האופקי יוצר זווית הקרובה ל־90°.

התוצאה מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית. לכן זוגות בעלי יחס קיצוני מאוד עשויים להופיע כ־0° או כ־90°, אף שהזווית המדויקת נמצאת מעט בתוך גבולות אלה. מרחק אופקי של 1,000 יחידות ומרחק אנכי של 1 יחידה נותנים 0.06°; אם מגדילים את המרחק האופקי ל־1,000,000 יחידות, התצוגה מציגה 0°.

במרחקים של קילומטרים רבים, עקמומיות כדור הארץ ושבירת האור באטמוספרה עלולות לכופף את קו הראייה האמיתי במידה שיש לה משמעות במדידות מדויקות או בניווט. מחשבון זה, כמו הנוסחה הטריגונומטרית הבסיסית, מניח מישור שטוח וקו ראייה ישר, וזה מדויק דיו לרוב הבעיות היומיומיות ובעיות הכיתה.

שימושים בעולם האמיתי

• מדידות ובנייה: מציאת הגובה של מבנה או השיפוע של שטח מתוך מרחק ידוע וזווית שנמדדה.
• ניווט ותעופה: אומדן של נתיב גלישה או של המרחק אל ציון דרך הנראה מגובה.
• חיפוש והצלה: חישוב המרחק שבו עצם שנצפה נמצא מתחת לצוק או לרכס.
• צילום: תכנון הזווית של צילום אווירי או צילום מגבוה.
• הוראת טריגונומטריה: בעיה סטנדרטית במשולש ישר־זווית המקשרת בין זוויות, גבהים ומרחקים.

זווית השקיעה לעומת מדידות קשורות

שאלות נפוצות

מה ההבדל בין זווית שקיעה לזווית גובה? זווית השקיעה נמדדת כלפי מטה מקו ראייה אופקי אל עצם הנמצא מתחת. זווית הגובה נמדדת כלפי מעלה מקו ראייה אופקי אל עצם הנמצא מעל. כאשר שני אנשים מביטים זה בזה, אחד מלמעלה ואחד מלמטה, שתי הזוויות שוות.

האם זווית השקיעה יכולה להיות 90° או גדולה יותר? לא. לכל מרחק אופקי ואנכי חיוביים וסופיים, זווית השקיעה נמצאת אך ורק בין 0° לבין 90°. זווית של בדיוק 90° הייתה משמעותה שהעצם נמצא ישירות מתחת לצופה, ללא מרחק אופקי כלל. תצוגה של 90° היא עיגול לשתי ספרות אחרי הנקודה של זווית שעדיין קטנה מעט ממנה.

באילו יחידות יש להשתמש למרחקים? כל יחידה מתאימה, כל עוד משתמשים באותה יחידה בשני המרחקים: מטרים ומטרים, או רגל ורגל. החישוב תלוי רק ביחס בין שני המרחקים, ולכן היחידות מצטמצמות.

מה קורה אם המרחק האופקי או האנכי הוא אפס? המחשבון דורש ששני המרחקים יהיו גדולים מאפס ומציג הודעת אימות אם אחד מהם הוא אפס, שלילי או חסר. הוא אינו מנסה לחשב זווית מנתוני קלט חלקיים.

האם עקמומיות כדור הארץ משפיעה על התוצאה? במרחקים של עד כמה קילומטרים, ההשפעה קטנה דיה כדי להתעלם ממנה. במרחקים ארוכים יותר, מודדים ונווטים מיישמים תיקונים נפרדים לעקמומיות ולשבירה, שאינם נכללים בנוסחה הבסיסית הזו.

כיצד ממירים זווית שקיעה לאחוז שיפוע? אחוז השיפוע שווה ל־100 כפול הטנגנס של הזווית. בכיוון ההפוך, הזווית שווה לארקטנגנס של אחוז השיפוע מחולק ב־100.