מחשבון זמן הכפלת תאים - כלי מדויק לקצב גידול

מהו זמן הכפלת תאים?

זמן הכפלת תאים הוא הזמן שאוכלוסיית תאים זקוקה לו כדי להכפיל את מספרה. זהו מדד מקובל למהירות גידול התאים, ומשתמשים בו במיקרוביולוגיה, בתרביות תאים ובמחקר הסרטן. זמן הכפלה קצר מצביע על גידול מהיר. זמן הכפלה ארוך מצביע על גידול איטי.

נוסחה לחישוב זמן הכפלת תאים

זמן ההכפלה מחושב על סמך שלושה מספרים: מספר התאים ההתחלתי, מספר התאים הסופי והזמן שבין שתי הספירות. הנוסחה היא:

$T_d = \frac{t \times \log(2)}{\log(N / N_0)}$

כאשר:

• T_d הוא זמן ההכפלה, באותן יחידות כמו t
• t הוא הזמן שחלף בין שתי הספירות
• N₀ הוא מספר התאים ההתחלתי
• N הוא מספר התאים הסופי
• log הוא לוגריתם (לוגריתם טבעי או לוגריתם לפי בסיס 10, כל עוד משתמשים באותו בסיס באופן עקבי)

הנוסחה מניחה גידול מעריכי, כלומר האוכלוסייה גדלה בשיעור קבוע בכל יחידת זמן ומכפילה את עצמה שוב ושוב במרווח קבוע.

מקור הנוסחה

גידול מעריכי מציית למשוואה הזאת:

$N = N_0 \times 2^{t / T_d}$

חלוקה של שני האגפים ב־N₀ ולקיחת הלוגריתם של שני האגפים נותנות:

$\log(N / N_0) = \frac{t}{T_d} \times \log(2)$

פתרון עבור T_d נותן את נוסחת זמן ההכפלה שלעיל.

כיצד לחשב את זמן ההכפלה: שלב אחר שלב

1. ספרו את התאים בתחילת הניסוי. זהו N₀.
2. ספרו שוב את התאים לאחר שחלף זמן מה. זהו N.
3. רשמו כמה זמן חלף בין שתי הספירות. זהו t.
4. חלקו את N ב־N₀, חשבו את הלוגריתם של התוצאה, וחלקו את t × log(2) במספר זה.

כל יחידת מידה עקבית מתאימה לספירת התאים (תאים למיליליטר, תאים לבארית גידול או מספר התאים הכולל), משום שהנוסחה משתמשת רק ביחס ביניהם. יחידת הזמן שונה: התוצאה מתקבלת ביחידה שבה הוזן הזמן שחלף. במחשבון יש בורר יחידות לזמן שחלף (שעות, דקות או ימים), והוא מציג את זמן ההכפלה באותה יחידה.

דוגמה פתורה

דוגמה 1. תרבית מתחילה ב־1,000 תאים ומגיעה ל־2,000 תאים לאחר 24 שעות.

• N₀ = 1,000, N = 2,000, t = 24 שעות
• N / N₀ = 2, ולכן log(N/N₀) = log(2)
• T_d = 24 × log(2) / log(2) = 24 שעות

האוכלוסייה הכפילה את עצמה בדיוק פעם אחת במשך 24 שעות, ולכן זמן ההכפלה שווה לזמן שחלף.

דוגמה 2. תרבית מתחילה ב־1,000,000 תאים ומגיעה ל־8,000,000 תאים לאחר 24 שעות.

• N₀ = 1,000,000, N = 8,000,000, t = 24 שעות
• N / N₀ = 8, ולכן log(N/N₀) = log(8) = 3 × log(2)
• T_d = 24 × log(2) / (3 × log(2)) = 24 / 3 = 8 שעות

האוכלוסייה הכפילה את עצמה שלוש פעמים (1 → 2 → 4 → 8 מיליון) במשך 24 שעות, ולכן היא הכפילה את עצמה פעם אחת בכל 8 שעות.

זמני הכפלה אופייניים

זמן ההכפלה משתנה מאוד בין אורגניזמים ובין סוגי תאים, ותלוי בטמפרטורה, בחומרי המזון ובתנאי תרבית אחרים.

נתונים אלה הם ערכי ייחוס כלליים, ולא כללים קבועים. יש לבדוק את הערכים שנמדדו מול נתונים שפורסמו עבור שורת התאים והתנאים הספציפיים שנעשה בהם שימוש.

זמן הכפלה וקצב גידול

זמן ההכפלה קשור לקבוע קצב הגידול המעריכי, μ, באמצעות:

$\mu = \frac{\ln(2)}{T_d} \qquad \text{or} \qquad T_d = \frac{\ln(2)}{\mu}$

לדוגמה, זמן הכפלה של 20 שעות מתאים לקצב גידול של בערך ln(2) / 20 ≈ 0.035 לשעה.

זמן הכפלה אינו זהה לזמן דור. זמן דור הוא הזמן שבין חלוקות של תא יחיד. באוכלוסייה שבה כל תא מתחלק באותו קצב, שני הערכים זהים. באוכלוסייה מעורבת הם עשויים להיות שונים, משום שלא כל התאים מתחלקים באותה מהירות.

מתי הנוסחה אינה חלה

הנוסחה תקפה רק כאשר התאים נמצאים בשלב הגידול המעריכי, שבו כל תא מתחלק בקצב קבוע בקירוב. היא אינה נותנת תוצאה בעלת משמעות בשלב ההשהיה, שבו התאים מסתגלים לתנאים חדשים וכמעט שאינם מתחלקים, או בשלב הסטציונרי, שבו קצב חלוקת התאים משתווה לקצב מותם.

בדיקה פשוטה היא לשרטט את הלוגריתם של מספר התאים כפונקציה של הזמן. קו ישר מצביע על גידול מעריכי. קו עקום או אופקי פירושו שהנוסחה לא תיתן זמן הכפלה אמין.

אם המספר הסופי נמוך מהמספר ההתחלתי, האוכלוסייה מצטמצמת במקום להכפיל את עצמה, ולכן אי אפשר לחשב זמן הכפלה בדרך הרגילה. אם המספרים ההתחלתי והסופי שווים, היחס N/N₀ שווה ל־1, ו־log(1) הוא 0, ולכן הנוסחה תחלק באפס. המחשבון מתייחס לשני המקרים האלה כשגיאת קלט, במקום להחזיר מספר.

רקע היסטורי

התיאור המתמטי של גידול מעריכי של חיידקים התפתח במקביל למיקרוביולוגיה המוקדמת בסוף המאה ה־19 ובתחילת המאה ה־20. המאמר של ז'אק מונו משנת 1949, "גידול תרביות חיידקים", שפורסם ב־Annual Review of Microbiology, הציג חלק גדול מהמתמטיקה שעדיין משמשת כיום לתיאור קינטיקת גידול חיידקים. מדידות קצב הגידול נעשו חשובות יותר לאחר פיתוח האנטיביוטיקה באמצע המאה ה־20, משום שהחוקרים נזקקו לדרך למדוד כיצד תרופה מאטה את גידול החיידקים. התפשטותן של שיטות לתרביות תאים ממקור יונקי בעשורים שלאחר מכן הרחיבה את השימוש באותם חישובים למחקר הסרטן ולביוטכנולוגיה. ספירת תאים אוטומטית, לרבות באמצעות ציטומטריית זרימה, הפכה בהמשך את המדידות למהירות ולעקביות יותר.

שאלות נפוצות

מהו זמן הכפלת תאים? זהו הזמן שאוכלוסיית תאים זקוקה לו כדי להכפיל את מספרה, והוא משמש מדד לקצב גידול בביולוגיה וברפואה.

במה שונה זמן הכפלה מזמן דור? זמן הכפלה מתאר אוכלוסייה שלמה. זמן דור מתאר את מחזור החלוקה של תא יחיד. באוכלוסייה מסונכרנת הם שווים, ובאוכלוסייה מעורבת הם עשויים להיות שונים במקצת.

אילו גורמים משנים את זמן ההכפלה? טמפרטורה, אספקת חומרי מזון, זמינות חמצן, pH, צפיפות התאים וגיל התרבית יכולים להאיץ או להאט את הגידול, וכך לשנות את זמן ההכפלה הנמדד.

מה פירושו של זמן הכפלה שלילי או לא מוגדר? ערך שלילי פירושו שהמספר הסופי היה נמוך מהמספר ההתחלתי, ולכן האוכלוסייה הצטמצמה במקום לגדול. ערך לא מוגדר מתקבל כאשר שני המספרים שווים, משום שהנוסחה תחלק באפס. אף אחד מהמקרים אינו מתאים למודל הגידול שעליו מבוססת הנוסחה, ולכן המחשבון מציג הודעת שגיאה במקום מספר.

האם הנוסחה הזאת עובדת עבור כל סוג תא? היא עובדת עבור כל אוכלוסייה שגדלה באופן מעריכי, לרבות חיידקים, שמרים, שורות תאים ממקור יונקי ותאים סרטניים, כל עוד הספירות מתבצעות במהלך שלב הגידול המעריכי.

כיצד ממירים זמן הכפלה לקצב גידול? השתמשו ב־μ = ln(2) / T_d. לדוגמה, זמן הכפלה של 20 שעות נותן קצב גידול של בערך 0.035 לשעה.

מקורות

1. Cooper, S. (2006). הבחנה בין גידול תאים ליניארי למעריכי במהלך מחזור החלוקה. Theoretical Biology and Medical Modelling, 3, 10. https://doi.org/10.1186/1742-4682-3-10
2. Hall, B. G., Acar, H., Nandipati, A., & Barlow, M. (2014). קצבי גידול בפשטות. Molecular Biology and Evolution, 31(1), 232–238. https://doi.org/10.1093/molbev/mst187
3. Monod, J. (1949). גידול תרביות חיידקים. Annual Review of Microbiology, 3, 371–394. https://doi.org/10.1146/annurev.mi.03.100149.002103
4. Sherley, J. L., Stadler, P. B., & Stadler, J. S. (1995). שיטה כמותית לניתוח התרבות תאים ממקור יונקי בתרבית. Cell Proliferation, 28(3), 137–144. https://doi.org/10.1111/j.1365-2184.1995.tb00062.x
5. Skipper, H. E., Schabel, F. M., & Wilcox, W. S. (1964). הערכה ניסויית של חומרים אפשריים נגד סרטן. XIII. Cancer Chemotherapy Reports, 35, 1–111.