מחשבון מדדי מילר - המרת חיתוכי גביש למדדים (hkl)

מהם אינדקסי מילר?

אינדקסי מילר הם קבוצה של שלושה מספרים שלמים, הכתובים בצורה (h,k,l), המזהים מישור בסריג גבישי. סריג גבישי הוא סידור חוזר ומסודר של אטומים המצוי בחומר מוצק. אינדקסי מילר מאפשרים למדענים לדעת בדיוק איזה חתך דרך הסריג מייצג המישור, בלי צורך לתאר את הגאומטריה שלו במילים. הם הוצגו על ידי המינרלוג הבריטי ויליאם האלווס מילר בשנת 1839, ועדיין משמשים כיום כסימון התקני בקריסטלוגרפיה.

מחשבון זה ממיר את חיתוכי המישור עם הצירים הגבישיים x, y ו־z לאינדקסי מילר שלו (h,k,l).

נוסחת אינדקסי מילר

אינדקסי מילר מתקבלים מההופכיים של חיתוכי המישור עם הצירים. אם מישור חוצה את צירי x, y ו־z במרחקים a, b ו־c מהראשית, האינדקסים מקיימים:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

כיצד לחשב אינדקסי מילר מחיתוכים

1. מצאו היכן המישור חוצה כל ציר, כשהמרחק נמדד ביחידות של אורך צלע תא היחידה. קראו לחיתוכים אלה a, b ו־c.
2. חשבו את ההופכי של כל חיתוך: 1/a, 1/b, 1/c.
3. הכפילו את שלושת ההופכיים באותו מספר, כך שכל אחד מהם יהיה מספר שלם.
4. חלקו את שלושת המספרים השלמים במחלק המשותף הגדול ביותר שלהם, כך שלא יהיה אפשר לצמצם אותם עוד.

שלושת המספרים השלמים המתקבלים הם h, k ו־l. מישור שאינו חוצה ציר כלשהו נחשב כאילו הוא חותך אותו באינסוף, ו־1 חלקי אינסוף הוא 0, ולכן אינדקס מילר של אותו ציר הוא 0.

דוגמה פתורה

מישור חותך את ציר ה־x ב־2, את ציר ה־y ב־3 ואת ציר ה־z ב־6.

1. חיתוכים: (2, 3, 6)
2. הופכיים: (1/2, 1/3, 1/6)
3. הכפלה בכפולה המשותפת הקטנה ביותר של המכנים, 6: (3, 2, 1)
4. המחלק המשותף הגדול ביותר של 3, 2 ו־1 הוא 1, ולכן אי אפשר לצמצם את המספרים עוד.

אינדקסי מילר הם (321).

דוגמאות נוספות

• למישור העובר דרך (1, ∞, 2) — המקביל לציר ה־y — יש הופכיים (1, 0, 1/2). הכפלה ב־2 נותנת (2, 0, 1). 0 מציין שהמישור אינו חוצה את ציר ה־y.
• למישור העובר דרך (-1, 2, 3) יש הופכיים (-1, 1/2, 1/3). הכפלה ב־6 נותנת (-6, 3, 2), ובדרך כלל כותבים אותו כך: (6̄32), עם קו מעל האינדקס השלילי.
• למישור העובר דרך (1, ∞, ∞) יש הופכיים (1, 0, 0), ולכן מתקבל (100). זהו אחד מששת הפאות של קובייה.

מקרים מיוחדים

מישור המקביל לציר לעולם אינו חוצה אותו, ולכן החיתוך נחשב אינסופי ואינדקס מילר שלו הוא 0. מישור החותך ציר בצד השלילי של הראשית מקבל אינדקס שלילי, הנכתב בסימון פורמלי עם קו מעל המספר, או עם סימן מינוס בטקסט רגיל. למישור העובר דרך הראשית עצמה אין אינדקסי מילר מוגדרים, מכיוון שכל משפחת מישורים מקבילים בסריג חייבת להיות מוזזת מן הראשית כדי שאפשר יהיה לאנדקס אותה; יש להזיז את הראשית לפני שאפשר לתאר מישור כזה. בחיתוכים שבריים מטפלים באותו אופן כמו בחיתוכים של מספרים שלמים: מחשבים את ההופכי של כל אחד מהם, ואז מסלקים את השברים.

האינדקסים מצומצמים תמיד למספרים השלמים הקטנים ביותר האפשריים. (622) ו־(311) מתארים אותה משפחה של מישורים, אך קריסטלוגרפים כותבים תמיד (311).

כיצד להשתמש במחשבון

הזינו את חיתוכי המישור עם צירי x, y ו־z.

• השתמשו במספר חיובי עבור חיתוך בצד החיובי של הראשית, ובמספר שלילי עבור הצד השלילי.
• הקלידו "infinity", "inf" או "∞" עבור מישור המקביל לציר.
• חיתוך אפס אינו מתקבל, מכיוון שלמישור העובר דרך הראשית אי אפשר להקצות אינדקסי מילר בשיטה זו.

המחשבון מחשב את האינדקסים מיד ומציג תרשים של המישור בתוך תא היחידה.

שימושים באינדקסי מילר

עקיפת קרני רנטגן. כל כתם או שיא בתבנית עקיפת קרני רנטגן מתאים לקבוצה של מישורי סריג בעלי (hkl) מסוים. חוק בראג מקשר בין המרווח של מישורים אלה לבין זווית העקיפה:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

כאן d_hkl הוא המרווח בין המישורים (h,k,l),‏ λ הוא אורך הגל של קרני הרנטגן, ו־θ היא זווית העקיפה. התאמת השיאים שנצפו לערכי (hkl), תהליך המכונה אינדוקס, היא שלב בסיסי בזיהוי מבנה גבישי לא ידוע.

מדע החומרים. מישורים גבישיים שונים חושפים סידורים שונים של אטומים, ולכן יש להם אנרגיות פני שטח שונות, קצבים שונים של תגובות כימיות ותפקידים שונים באופן שבו מתכת מתעוותת. במתכות בעלות סריג קובי ממורכז־פאות, כגון אלומיניום, מישורים אטומיים מחליקים זה על פני זה בקלות הרבה ביותר לאורך מישורי {111}. פרוסות סיליקון לשבבי מחשב נחתכות בדרך כלל לאורך מישור (100) או (111), מכיוון שהבחירה משפיעה על אופן ההתנהלות של שלבי הייצור המאוחרים.

מינרלוגיה. הפאות השטוחות הנראות בגביש טבעי, וכן הכיוונים שבהם מינרל מתפצל בצורה נקייה (הפצילות שלו), מתאימים שניהם למישורים מסוימים בעלי אינדקסים נמוכים. הליט (מלח בישול) מתפצל לאורך מישורי {100}, ופלואוריט מתפצל לאורך מישורי {111}.

אינדקסי מילר–ברווה לגבישים משושים

גבישים משושים, כגון מגנזיום, אבץ וטיטניום, מתוארים בדרך כלל באמצעות מערכת של ארבעה אינדקסים (hkil) במקום שלושה. האינדקס הנוסף i אינו בלתי־תלוי; הוא תמיד i = -(h+k). צורה זו מקלה על זיהוי העובדה ששני מישורים שייכים לאותה משפחה שקולה מבחינת סימטריה, דבר שלא תמיד ברור מסימון מילר בעל שלושת האינדקסים בלבד בסריג משושה.

היסטוריה

אינדקסי מילר הוצגו על ידי ויליאם האלווס מילר בספרו משנת 1839, A Treatise on Crystallography. מערכות קודמות לסימון פאות של גבישים כבר היו קיימות, אך השיטה של מילר, המשתמשת בהופכיים של החיתוכים, הקלה על הטיפול במישורים המקבילים לציר, שכן החיתוך שלהם אינסופי וההופכי שלו הוא פשוט 0. לאחר שמקס פון לאואה גילה את עקיפת קרני הרנטגן בגבישים בשנת 1912, הראו ויליאם הנרי בראג וויליאם לורנס בראג שאינדקסי מילר מתארים בדיוק את המישורים האחראים לשיאי העקיפה; על עבודה זו הם חלקו ב־1915 בפרס נובל לפיזיקה.

שאלות נפוצות

למה משמשים אינדקסי מילר? הם מזהים מישורים מסוימים בסריג גבישי. משתמשים בהם לאינדוקס של שיאי עקיפת קרני רנטגן ואלקטרונים, לתיאור מישורי החלקה במתכות, לציון הכיוון של פרוסות מוליכים למחצה ולסימון הפאות והפצילות של מינרלים.

מה משמעותו של אפס באינדקס מילר? הוא מציין שהמישור מקביל לאותו ציר ולעולם אינו חוצה אותו. לדוגמה, (201) מקביל לציר ה־y.

מה משמעותם של אינדקסי מילר שליליים? הם מציינים שהמישור חוצה את הציר בצד השלילי של הראשית. אינדקס שלילי נכתב עם קו מעל המספר, כגון (2̄11), או עם סימן מינוס, כגון (-2,1,1).

מדוע למישור העובר דרך הראשית אין אינדקסי מילר? אינדקסי מילר מתקבלים מההופכי של חיתוך. מישור העובר דרך הראשית חותך כל ציר ב־0, ו־1/0 אינו מוגדר, ולכן השיטה אינה יכולה להקצות אינדקסים אלא אם כן מזיזים את המישור.

מה ההבדל בין אינדקסי מילר לאינדקסי מילר–ברווה? אינדקסי מילר (hkl) משתמשים בשלושה מספרים ומתאימים לכל מערכת גבישית. אינדקסי מילר–ברווה (hkil) מוסיפים אינדקס רביעי התלוי באחרים, ומשמשים בעיקר לגבישים משושים, שבהם קל יותר לזהות מישורים שקולים מבחינת סימטריה.

כיצד המרווח בין מישורים קשור לאינדקסי מילר? בגביש קובי שאורך צלעו a, המרווח בין מישורים סמוכים (hkl) הוא d = a / √(h² + k² + l²). מישורים בעלי אינדקסים גבוהים יותר קרובים זה לזה. במערכות גבישיות אחרות משתמשים בנוסחה דומה אך מורכבת יותר, המביאה בחשבון אורכי צירים שאינם שווים וזוויות שאינן 90°.

מקורות

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (מהדורה 4). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (מהדורה 3). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.