מחשבון התפלגות בינומית - כלי הסתברות חינמי

מהו מחשבון להתפלגות בינומית?

מחשבון להתפלגות בינומית מוצא את ההסתברות לקבלת מספר מדויק של הצלחות במספר קבוע של ניסויים בלתי־תלויים, כאשר לכל ניסוי אותה הסתברות להצלחה. משתמשים בו בסטטיסטיקה, בבקרת איכות, ברפואה ובכל תחום החוקר אירועים חוזרים של כן או לא.

הרעיון הבסיסי הוא ההתפלגות הבינומית, מודל הסתברות לספירת הצלחות בניסויים חוזרים, שלכל אחד מהם שתי תוצאות בלבד, המכונות בדרך כלל הצלחה וכישלון.

נוסחת ההתפלגות הבינומית

ההסתברות לקבל בדיוק k הצלחות ב־n ניסויים היא:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

המשמעות של כל סמל:

• n — מספר הניסויים.
• k — מספר ההצלחות שעבורו מחשבים את ההסתברות.
• p — ההסתברות להצלחה בניסוי יחיד, מספר בין 0 ל־1.
• $\binom{n}{k}$ — המקדם הבינומי, מספר הדרכים השונות לבחור k הצלחות מתוך n ניסויים. ערכו $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

כל ניסוי חייב להיות בלתי־תלוי, כלומר תוצאתו של ניסוי אחד אינה משנה את הסיכויים של ניסוי אחר, וההסתברות p להצלחה חייבת להישאר זהה בכל הניסויים. ניסוי יחיד בעל שתי תוצאות אפשריות, כמו הטלת מטבע אחת, נקרא ניסוי ברנולי. התפלגות בינומית מתקבלת מסכימת n ניסויי ברנולי.

כיצד לחשב הסתברות בינומית

1. רושמים את n, את k ואת p.
2. מחשבים את המקדם הבינומי $\binom{n}{k}$, כלומר את מספר הדרכים לסדר k הצלחות בין n ניסויים.
3. מעלים את p בחזקת k.
4. מעלים את (1 − p) בחזקת (n − k).
5. הכפילו את שלושת המספרים זה בזה.

המחשבון שבעמוד זה מבצע את השלבים האלה באופן אוטומטי. מזינים את n, את p ואת k, והוא מחזיר את P(X = k) וכן תרשים עמודות המציג את ההסתברות לכל תוצאה אפשרית, מ־0 ועד n הצלחות.

דוגמה פתורה

דוגמה 1: הטלות מטבע

מטילים מטבע הוגן 10 פעמים. מה ההסתברות לקבל בדיוק 3 פעמים צד עץ?

• n = 10, p = 0.5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• תוצאה: 120 × 0.125 × 0.0078125 ≈ 0.1172, או בערך 11.72%

דוגמה 2: בקרת איכות

מפעל בודק 100 פריטים. לכל פריט הסתברות של 2% להיות פגום. מה ההסתברות שאף אחד מבין 100 הפריטים לא יהיה פגום?

• n = 100, p = 0.02, k = 0
• מכיוון ש־k = 0, הנוסחה מצטמצמת ל־$(1-p)^n = 0.98^{100}$
• תוצאה: ≈ 0.1326, או בערך 13.26%

דוגמה 3: בדיקת מחלה

עיר בודקת 1,000 אנשים למחלה המדביקה 0.1% מהאוכלוסייה (p = 0.001). מה ההסתברות שבדיוק 5 מתוך 1,000 האנשים יהיו נגועים?

• n = 1000, p = 0.001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• תוצאה: 8,250,291,250,200 × 1e-15 × 0.3695 ≈ 0.00305, או בערך 0.30% (הערך המדויק 0.0030488, כלומר 0.30488%)

תוחלת ושונות

עבור התפלגות בינומית עם הפרמטרים n ו־p:

• תוחלת (ערך צפוי): E(X) = np
• שונות: Var(X) = np(1 − p)
• סטיית תקן: σ = √[np(1 − p)]

התוחלת מציינת את מספר ההצלחות הממוצע הצפוי לאורך חזרות רבות. בדוגמה 1, התוחלת היא 10 × 0.5 = 5 פעמים צד עץ.

אילו נתונים המחשבון מקבל

• n חייב להיות מספר שלם של 1 או יותר. ערך עשרוני מעוגל למספר הניסויים השלם הקרוב ביותר, לכן 10.9 נחשב ל־11.
• p חייב להיות בין 0 ל־1, כולל שני הקצוות.
• k חייב להיות מספר שלם של 0 או יותר, ואינו יכול להיות גדול מ־n. קבלת 8 הצלחות ב־5 ניסויים היא בלתי אפשרית, ולכן המחשבון מדווח על שגיאה במקום על מספר.

אם תיבה כלשהי נשארת ריקה, המחשבון אינו מציג תוצאה או תרשים, במקום לנחש ערך.

מתי ההתפלגות הבינומית מתאימה

ההתפלגות הבינומית מתאימה למצב רק כאשר כל ארבעת התנאים מתקיימים:

1. מספר הניסויים, n, נקבע מראש.
2. לכל ניסוי יש שתי תוצאות בלבד: הצלחה או כישלון.
3. ההסתברות להצלחה, p, זהה בכל ניסוי.
4. הניסויים בלתי־תלויים זה בזה.

שליפת קלפים מחפיסה ללא החזרה מפרה את תנאי האי־תלות, מכיוון שהוצאת קלף משנה את הסיכויים בשליפה הבאה. במצב כזה יש להשתמש בהתפלגות היפרגאומטרית.

התפלגויות קשורות

• התפלגות פואסון: משמשת לקירוב ההתפלגות הבינומית כאשר n גדול ו־p קטן, כך שמספר ההצלחות הממוצע (np) נשאר מתון. היא נפוצה במידול אירועים נדירים, כמו מקרי המחלה בדוגמה 3.
• התפלגות נורמלית: כאשר n גדול, ו־p אינו קרוב מדי ל־0 או ל־1, ההתפלגות הבינומית דומה בקירוב לצורת פעמון וניתן לקרב אותה באמצעות התפלגות נורמלית עם תוחלת np ושונות np(1 − p).
• התפלגות היפרגאומטרית: משמשת במקום ההתפלגות הבינומית כאשר הדגימה נעשית ללא החזרה מתוך אוכלוסייה סופית.

שאלות נפוצות

מה עושה מחשבון להתפלגות בינומית?

הוא מחשב את ההסתברות לקבל בדיוק k הצלחות ב־n ניסויים בלתי־תלויים, שלכל אחד מהם הסתברות p להצלחה, באמצעות הנוסחה P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

מה ההבדל בין התפלגות בינומית להתפלגות נורמלית?

ההתפלגות הבינומית היא בדידה, כלומר היא מפיקה רק ספירות שלמות של הצלחות. ההתפלגות הנורמלית היא רציפה. עבור n גדול, ניתן לקרב התפלגות בינומית באמצעות עקומה נורמלית עם תוחלת np ושונות np(1 − p).

האם p יכול להיות 0 או 1?

כן. אם p = 0, שום ניסוי אינו יכול להצליח, ולכן P(X = 0) = 1. אם p = 1, כל ניסוי מצליח, ולכן P(X = n) = 1. בכל שאר הערכים של k ההסתברות היא 0 במקרים אלה.

מה הקשר בין ההתפלגויות הבינומית וברנולי?

התפלגות ברנולי מתארת ניסוי יחיד בעל שתי תוצאות (n = 1). התפלגות בינומית היא הסכום של n ניסויי ברנולי בלתי־תלויים, ולכן התפלגות ברנולי היא למעשה התפלגות בינומית עם n = 1.

עד כמה n יכול להיות גדול לפני שהמחשבון נעשה לא מדויק?

המחשבון פועל בחשבון סטנדרטי בדיוק כפול. הוא מכפיל ישירות את שלושת חלקי הנוסחה, ועובר ללוגריתמים כאשר המקדם הבינומי גדל מעבר למספר הגדול ביותר שניתן לאחסן בדיוק כפול, דבר המתרחש בערך ליד n = 1,000 כאשר k קרוב ל־n/2. התוצאות נשארות נכונות מעבר לנקודה זו. הסתברות הקטנה בערך מ־1e-308 מדווחת כ־0, משום שאי אפשר לאחסן אותה בדיוק כפול.

כיצד מחושב המקדם הבינומי?

המקדם הבינומי C(n, k) סופר את מספר הדרכים לבחור k פריטים מתוך n פריטים, ללא תלות בסדר. ערכו n! / (k! × (n − k)!). המחשבון בונה אותו בהדרגה, כשהוא מכפיל בגורם אחד ומחלק בגורם הבא, ולכן אינו צריך לאחסן עצרת מלאה. עבור n גדול מאוד הוא מחבר במקום זאת את הלוגריתמים של אותם גורמים.

מקורות

1. "Binomial Distribution." ויקיפדיה, קרן ויקימדיה. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L., et al. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.