מחשבון התפלגות בינומית

מבוא

ההתפלגות הבינומית היא התפלגות הסתברות דיסקרטית המודדת את מספר ההצלחות במספר קבוע של ניסויים ברנולי בלתי תלויים. היא בשימוש נרחב בתחומים שונים, כולל סטטיסטיקה, תיאוריה של הסתברויות ומדע הנתונים. מחשבון זה מאפשר לך לחשב הסתברויות עבור התפלגויות בינומיות בהתבסס על פרמטרים שסופקו על ידי המשתמש.

נוסחה

פונקציית המסה ההסתברותית עבור ההתפלגות הבינומית נתונה על ידי:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

כאשר:

• n הוא מספר הניסויים
• k הוא מספר ההצלחות
• p היא ההסתברות להצלחה בכל ניסוי
• $\binom{n}{k}$ הוא המקדם הבינומי, מחושב כ-$\frac{n!}{k!(n-k)!}$

כיצד להשתמש במחשבון זה

1. הכנס את מספר הניסויים (n)
2. הכנס את ההסתברות להצלחה עבור כל ניסוי (p)
3. הכנס את מספר ההצלחות (k)
4. לחץ על כפתור "חשב" כדי לקבל את ההסתברות
5. התוצאה תוצג כהסתברות עשרונית

חישוב

המחשבון משתמש בנוסחת ההסתברות הבינומית כדי לחשב את ההסתברות בהתבסס על הקלט של המשתמש. הנה הסבר שלב אחר שלב על החישוב:

1. חשב את המקדם הבינומי $\binom{n}{k}$
2. חישב $p^k$
3. חישב $(1-p)^{n-k}$
4. הכפל את התוצאות משלב 1, 2 ו-3

המחשבון מבצע את החישובים הללו באמצעות אריתמטיקה של נקודה צפה כפולה כדי להבטיח דיוק.

אימות קלט

המחשבון מבצע את הבדיקות הבאות על קלטי המשתמש:

• n חייב להיות מספר שלם חיובי
• p חייב להיות מספר בין 0 ל-1 (כולל)
• k חייב להיות מספר שלם לא שלילי שאינו גדול מ-n

אם קלטים לא חוקיים מזוהים, תוצג הודעת שגיאה, והחישוב לא יימשך עד לתיקון.

מקרי שימוש

למחשבון ההתפלגות הבינומית יש יישומים שונים בתחומים שונים:

1. בקרת איכות: הערכת ההסתברות של פריטים פגומים במפל של ייצור.

2. רפואה: חישוב הסבירות להצלחה בטיפול בניסויים קליניים.

3. פיננסים: מודלים של הסתברות לתנועות מחירי מניות.

4. ניתוח ספורט: חיזוי מספר הניסיונות המוצלחים בסדרה של מהלכים.

5. אפידמיולוגיה: הערכת ההסתברות להפצת מחלה באוכלוסייה.

חלופות

בעוד שההתפלגות הבינומית בשימוש נרחב, ישנן התפלגויות קשורות אחרות שעשויות להיות מתאימות יותר במצבים מסוימים:

1. התפלגות פואסון: כאשר n גדול מאוד ו-p קטן מאוד, ההתפלגות פואסון יכולה להיות קירוב טוב.

2. קירוב נורמלי: עבור n גדול, ההתפלגות הבינומית יכולה להיות מקורה על ידי התפלגות נורמלית.

3. התפלגות בינומית שלילית: כאשר אתה מעוניין במספר הניסויים הנדרשים כדי להשיג מספר מסוים של הצלחות.

4. התפלגות היפרגיאומטרית: כאשר דגימה מתבצעת ללא החזרה מאוכלוסייה סופית.

היסטוריה

ההתפלגות הבינומית יש את שורשיה בעבודתו של יעקב ברנולי, שפורסמה לאחר מותו בספרו "ארס קונג'קטנדי" בשנת 1713. ברנולי חקר את תכונות הניסויים הבינומיים וניסח את חוק המספרים הגדולים עבור התפלגויות בינומיות.

במאה ה-18 וה-19, מתמטיקאים כמו אברהם דה מואבר, פייר-סימון לפלס וסימאון דניס פואסון פיתחו עוד את התיאוריה של ההתפלגות הבינומית ואת יישומיה. עבודתו של דה מואבר על קירוב ההתפלגות הבינומית עם ההתפלגות הנורמלית הייתה משמעותית במיוחד.

היום, ההתפלגות הבינומית נותרת מושג בסיסי בתיאוריה של הסתברויות ובסטטיסטיקה, ומשחקת תפקיד קרדינלי בבדיקת השערות, רמות ביטחון וביישומים שונים בתחומים רבים.

דוגמאות

הנה כמה דוגמאות קוד לחישוב הסתברויות בינומיות:

1' פונקציית VBA של Excel עבור הסתברות בינומית
2Function BinomialProbability(n As Integer, k As Integer, p As Double) As Double
3    BinomialProbability = Application.WorksheetFunction.Combin(n, k) * p ^ k * (1 - p) ^ (n - k)
4End Function
5' שימוש:
6' =BinomialProbability(10, 3, 0.5)
7

1import math
2
3def binomial_probability(n, k, p):
4    return math.comb(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))
5
6## דוגמת שימוש:
7n = 10
8k = 3
9p = 0.5
10probability = binomial_probability(n, k, p)
11print(f"הסתברות: {probability:.6f}")
12

1function binomialProbability(n, k, p) {
2  const binomialCoefficient = (n, k) => {
3    if (k === 0 || k === n) return 1;
4    return binomialCoefficient(n - 1, k - 1) + binomialCoefficient(n - 1, k);
5  };
6  
7  return binomialCoefficient(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);
8}
9
10// דוגמת שימוש:
11const n = 10;
12const k = 3;
13const p = 0.5;
14const probability = binomialProbability(n, k, p);
15console.log(`הסתברות: ${probability.toFixed(6)}`);
16

1public class BinomialDistributionCalculator {
2    public static double binomialProbability(int n, int k, double p) {
3        return binomialCoefficient(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);
4    }
5
6    private static long binomialCoefficient(int n, int k) {
7        if (k == 0 || k == n) return 1;
8        return binomialCoefficient(n - 1, k - 1) + binomialCoefficient(n - 1, k);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        int n = 10;
13        int k = 3;
14        double p = 0.5;
15
16        double probability = binomialProbability(n, k, p);
17        System.out.printf("הסתברות: %.6f%n", probability);
18    }
19}
20

דוגמאות אלו מדגימות כיצד לחשב הסתברויות בינומיות באמצעות שפות תכנות שונות. אתה יכול להתאים את הפונקציות הללו לצרכים הספציפיים שלך או לשלב אותן במערכות ניתוח סטטיסטי גדולות יותר.

דוגמאות מספריות

1. הטלת מטבע:

   • n = 10 (הטלות)
   • p = 0.5 (מטבע הוגן)
   • k = 3 (עורף)
   • הסתברות ≈ 0.1172

2. בקרת איכות:

   • n = 100 (פריטים שנבדקו)
   • p = 0.02 (ההסתברות לפגם)
   • k = 0 (ללא פגמים)
   • הסתברות ≈ 0.1326

3. אפידמיולוגיה:

   • n = 1000 (גודל האוכלוסייה)
   • p = 0.001 (שיעור ההדבקה)
   • k = 5 (אנשים נדבקים)
   • הסתברות ≈ 0.0003

מקרים קצה ושיקולים

1. n גדול: כאשר n גדול מאוד (למשל, n > 1000), יעילות חישובית הופכת לדאגה. במקרים כאלה, קירובים כמו ההתפלגות הנורמלית עשויים להיות מעשיים יותר.

2. ערכי p קיצוניים: כאשר p קרוב מאוד ל-0 או 1, עשויות להתעורר בעיות דיוק מספרי. טיפול מיוחד עשוי להיות נחוץ כדי להבטיח תוצאות מדויקות.

3. k = 0 או k = n: מקרים אלו יכולים להיות מחושבים בצורה יעילה יותר מבלי להשתמש בחישוב המלא של המקדם הבינומי.

4. הסתברויות מצטברות: לעיתים קרובות, המשתמשים מעוניינים בהסתברויות מצטברות (P(X ≤ k) או P(X ≥ k)). המחשבון יכול להיות מורחב כדי לספק חישובים אלו.

5. ויזואליזציה: הוספת ייצוג חזותי של ההתפלגות הבינומית (למשל, גרף פונקציית המסה ההסתברותית) יכולה לעזור למשתמשים לפרש את התוצאות בצורה אינטואיטיבית יותר.

קשר להתפלגויות אחרות

1. קירוב נורמלי: עבור n גדול, ההתפלגות הבינומית יכולה להיות מקורה על ידי התפלגות נורמלית עם ממוצע np וסטיית תקן np(1-p).

2. קירוב פואסון: כאשר n גדול ו-p קטן, כך ש-np מתון, ההתפלגות פואסון עם פרמטר λ = np יכולה לקירוב את ההתפלגות הבינומית.

3. התפלגות ברנולי: ההתפלגות הבינומית היא הסכום של n ניסויים ברנוליים בלתי תלויים.

הנחות ומגבלות

1. מספר ניסויים קבוע (n)
2. הסתברות קבועה להצלחה (p) עבור כל ניסוי
3. עצמאות של ניסויים
4. רק שני תוצאות אפשריות עבור כל ניסוי (הצלחה או כישלון)

הבנת הנחות אלו היא קריטית ליישום נכון של מודל ההתפלגות הבינומית על בעיות בעולם האמיתי.

פרשנות תוצאות

כשאתה מפרש את תוצאות ההתפלגות הבינומית, שקול:

1. ערך צפוי: E(X) = np
2. שונות: Var(X) = np(1-p)
3. א-סימטריות: עבור p ≠ 0.5, ההתפלגות היא א-סימטרית; היא הופכת להיות יותר סימטרית ככל ש-n גדל
4. הסתברות של תוצאות מדויקות מול טווחים: לעיתים קרובות, טווחים (למשל, P(X ≤ k)) הם יותר אינפורמטיביים מאשר הסתברויות מדויקות

על ידי מתן מידע מקיף זה, המשתמשים יכולים להבין טוב יותר וליישם את ההתפלגות הבינומית לבעיות הספציפיות שלהם.

מקורות

1. "התפלגות בינומית." ויקיפדיה, קרן ויקימדיה, https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution. גישה 2 באוגוסט 2024.
2. רוס, שלדון מ. "מודלים להיכרות עם הסתברויות." הוצאת אקדמית, 2014.
3. ג'ונסון, נורמן ל., ואחרים. "התפלגויות דיסקרטיות." סדרת ויילי בהסתברות וסטטיסטיקה, 2005.