מחשבון התפלגות גמא - כלי לניתוח סטטיסטי

מהו מחשבון התפלגות גמא?

מחשבון התפלגות גמא מחשב את הממוצע, השונות, האסימטריה, הקורטוזיס והשכיח של התפלגות גמא משני קלטים: פרמטר צורה ופרמטר קנה מידה. הוא גם מצייר את פונקציית צפיפות ההסתברות של ההתפלגות כעקומה.

מהי התפלגות גמא?

התפלגות גמא היא התפלגות הסתברות רציפה לערכים חיוביים. היא מוגדרת באמצעות שני פרמטרים: פרמטר צורה, הנכתב בדרך כלל כ־k, ופרמטר קנה מידה, הנכתב בדרך כלל כ־θ (תטא). שניהם חייבים להיות גדולים מאפס. התפלגות גמא משמשת למידול גדלים שאינם יכולים להיות שליליים, כגון כמויות משקעים מצטברות, סכומי תביעות ביטוח והזמן עד לכשל של חלק במכונה.

נוסחת התפלגות גמא

פונקציית צפיפות ההסתברות (PDF) של התפלגות גמא היא:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

כאן x הוא הערך שבו נמדדת הצפיפות, ו־Γ(k) היא פונקציית גמא, הכללה של העצרת למספרים שאינם שלמים. הנוסחה תקפה רק עבור x > 0; בכל מקום אחר הצפיפות היא אפס.

כיצד מחשבים את התכונות של התפלגות גמא

מתוך פרמטר הצורה k ופרמטר קנה המידה θ, המחשבון מוצא:

• ממוצע: k × θ
• שונות: k × θ²
• אסימטריה: 2 / √k
• גבנוניות: 3 + 6 / k
• שכיח: (k − 1) × θ כאשר k ≥ 1, אחרת 0

אסימטריה מודדת עד כמה העקומה מוטה לצד אחד. ערך k קטן יותר יוצר זנב ימני ארוך יותר. קורטוזיס מודד עד כמה הזנבות כבדים בהשוואה להתפלגות נורמלית, שהקורטוזיס שלה הוא 3. השכיח הוא ערך ה־x שבו העקומה מגיעה לשיאה. כאשר k קטן מ־1, הצפיפות ממשיכה לעלות כאשר x מתקרב ל־0, ולכן אין שיא פנימי, והמחשבון מדווח על שכיח שערכו 0.

דוגמה פתורה

נניח שפרמטר הצורה הוא k = 2 ופרמטר קנה המידה הוא θ = 3.

• ממוצע = 2 × 3 = 6
• שונות = 2 × 3² = 18
• אסימטריה = 2 / √2 ≈ 1.4142
• גבנוניות = 3 + 6 / 2 = 6
• שכיח = (2 − 1) × 3 = 3

בנקודת השכיח, כאשר x = 3, הצפיפות מחושבת כך: f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0.3679) / 9 ≈ 0.1226. המחשבון משרטט את העקומה המלאה באופן אוטומטי לאחר הזנת שני הפרמטרים.

כיצד להשתמש במחשבון התפלגות גמא

1. הזינו את פרמטר הצורה (k), מספר חיובי.
2. הזינו את פרמטר קנה המידה (θ), מספר חיובי.
3. הממוצע, השונות, האסימטריה, הקורטוזיס והשכיח מחושבים ומוצגים ברגע שבשני השדות נמצאים מספרים תקפים. אין לחצן חישוב נפרד; התוצאות מתעדכנות עם הזנת המספרים.
4. התרשים שמתחת לתוצאות מציג את פונקציית צפיפות ההסתברות. הוא נשרטט מערך שמעט גדול מ־x = 0 ועד לערך הגדול יותר מבין פי שלושה מהממוצע או פי חמישה מפרמטר קנה המידה.

שני הפרמטרים חייבים להיות מספרים סופיים הגדולים מ־0, ואסור שאחד מהם יהיה גדול מ־1000. גם ערכים הקטנים בקירוב מ־2 × 10⁻¹⁶ נדחים, משום שבגודל כזה מספרי הסיכום חדלים להיות משמעותיים. ערך מחוץ לטווח המתקבל יוצר הודעת שגיאה במקום תוצאות.

היכן משתמשים בהתפלגות גמא

התפלגות גמא מתארת גדלים ממשיים רבים שהם תמיד חיוביים ולעיתים קרובות מוטים ימינה:

• ביטוח: סכומי תביעות וסכומי תשלום
• מטאורולוגיה: כמויות משקעים מצטברות לאורך תקופה קבועה
• הנדסה: הזמן עד לכשל של רכיב
• תורת התורים: זמני המתנה הנבנים מכמה שלבים בעלי התפלגות מעריכית
• ביולוגיה: רמות ביטוי גנים ונתוני ספירת מינים

התפלגויות קשורות

שתי התפלגויות מוכרות הן מקרים מיוחדים של התפלגות גמא:

• התפלגות אקספוננציאלית: התפלגות גמא עם k = 1
• התפלגות כי־בריבוע: התפלגות גמא עם k = n/2 ו־θ = 2, כאשר n הוא מספר דרגות החופש

התפלגויות וייבול ולוג־נורמלית הן חלופות נפוצות למידול נתונים חיוביים ומוטים.

שאלות נפוצות

למה משמשת התפלגות גמא? היא מתארת גדלים רציפים וחיוביים, כגון זמני המתנה, כמויות משקעים ותביעות ביטוח, במיוחד כאשר הנתונים נוטים לערכים גדולים.

כיצד מוצאים את הממוצע של התפלגות גמא? מכפילים את פרמטר הצורה בפרמטר קנה המידה: ממוצע = k × θ. עבור k = 2 ו־θ = 3, הממוצע הוא 6.

מה ההבדל בין פרמטר הצורה לפרמטר קנה המידה? פרמטר הצורה (k) קובע את צורת העקומה, כולל את האסימטריה שלה. פרמטר קנה המידה (θ) מותח או מכווץ את העקומה לאורך ציר ה־x בלי לשנות את צורתה הבסיסית.

כיצד קשורה התפלגות גמא להתפלגות האקספוננציאלית? ההתפלגות האקספוננציאלית היא התפלגות גמא שפרמטר הצורה שלה הוא k = 1.

האם התפלגות גמא יכולה לקבל ערכים שליליים? לא. היא מוגדרת רק עבור x > 0. נתונים שיכולים להיות שליליים דורשים התפלגות אחרת, כגון ההתפלגות הנורמלית.

האם המחשבון מחשב את פונקציית ההתפלגות המצטברת? לא. הוא מחשב את הממוצע, השונות, האסימטריה, הקורטוזיס והשכיח, ומשרטט את פונקציית צפיפות ההסתברות. הוא אינו מציג ערכי הסתברות מצטברת.

מקורות

1. ויקיפדיה, קרן ויקימדיה. "Gamma distribution." https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). התפלגויות רציפות חד־משתניות, כרך 1. John Wiley & Sons.