Kalkulator lukova - Izračunaj radijus, raspon i visinu

Što je kalkulator za lukove?

Kalkulator za lukove izračunava dimenzije kružnog luka — njegov polumjer, raspon i strelicu — na temelju bilo koje dvije od tih vrijednosti. Također izračunava duljinu luka i površinu luka. Arhitekti, građevinari i hobisti koriste ga za planiranje vrata, prozora, mostova i vrtnih elemenata zakrivljenog oblika.

Ključne dimenzije luka

Kružni luk dio je izrezan iz ruba kružnice. Njegov oblik opisuju pet mjera:

• Polumjer: udaljenost od središta kružnice do bilo koje točke na krivulji luka.
• Raspon: ravna vodoravna udaljenost između dvaju donjih krajeva luka, koja se naziva i širina.
• Strelica luka: okomita udaljenost od linije početka luka (ravne linije koja spaja dva kraja) do najviše točke luka.
• Duljina luka: udaljenost duž zakrivljene linije luka, od jednog kraja do drugog.
• Površina luka: površina zakrivljenog područja omeđenog lukom i linijom uporišta.

Formule za dimenzije luka

Ove formule vrijede za kružni luk, odnosno luk izveden iz odsječka jedne kružnice. Vrijede za svaku visinu luka do dvostrukog polumjera. Taj raspon obuhvaća lukove vrata, prozora i mostova koje većina ljudi izračunava, kao i potkovičaste lukove, kod kojih se krivulja nastavlja iza polukružnice.

Formula za strelicu luka (iz poznatog polumjera i raspona)

$\text{Visina} = \text{Polumjer} - \sqrt{\text{Polumjer}^2 - \left(\frac{\text{Raspon}}{2}\right)^2}$

Vrijedi kada su polumjer i raspon pozitivni te je raspon ≤ 2 × polumjer.

Formula za polumjer (iz raspona i visine luka)

$\text{Polumjer} = \frac{\text{Raspon}^2}{8 \times \text{Visina}} + \frac{\text{Visina}}{2}$

Vrijedi kada su raspon i visina luka pozitivni.

Formula za raspon (iz polumjera i visine luka)

$\text{Raspon} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Polumjer} \times \text{Visina} - \text{Visina}^2}$

Vrijedi kada su polumjer i visina luka pozitivni te je visina luka ≤ 2 × polumjer.

Formula za duljinu luka

$\text{Duljina luka} = \text{Polumjer} \times \theta$

Ovdje je θ (theta) središnji kut, izražen u radijanima, koji krivulja luka opisuje u središtu kružnice. Kada strelica luka nije veća od polumjera, luk je najviše polukružnica, a θ iznosi:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Raspon}}{2 \times \text{Polumjer}}\right)$

Kada je strelica luka veća od polumjera, luk obuhvaća više od polukružnice, a θ obuhvaća preostali dio kružnice:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Raspon}}{2 \times \text{Polumjer}}\right)$

Kalkulator oba slučaja obuhvaća jednim korakom, θ = 2 × atan2(Raspon ÷ 2, Polumjer − Visina luka), što ostaje točno i kod polukružnice.

Formula za površinu luka

$\text{Površina luka} = \frac{1}{2} \times \text{Polumjer}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Raspon} \times (\text{Polumjer} - \text{Visina})$

Kako se koristi kalkulator za lukove

Kalkulator nudi tri načina rada, po jedan za svaku dimenziju koja možda nedostaje.

Izračunajte strelicu, kada su poznati polumjer i raspon: unesite polumjer i raspon. Alat izračunava strelicu, duljinu luka i površinu luka.

Izračun polumjera, kada su poznati raspon i visina luka: unesite raspon i visinu luka. Alat vraća polumjer, duljinu luka i površinu luka.

Izračun raspona, kada su poznati polumjer i visina luka: unesite polumjer i visinu luka. Alat vraća raspon, duljinu luka i površinu luka.

Kalkulator odbija unose koji ne mogu tvoriti stvarni luk. Raspon ne može biti veći od dvostrukog polumjera, visina luka ne može biti veća od dvostrukog polumjera, a svaka dimenzija mora biti pozitivan broj. Kada vrijednost krši neko od tih pravila, prikazuje poruku o pogrešci.

Primjer izračuna

Primjer 1: Luk iznad vrata

Luk iznad vrata ima raspon od 36 inča (91,4 cm) i strelicu od 12 inča (30,5 cm).

Polumjer = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 inča (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radijana

Duljina luka = 19,5 × 2,352 = 45,86 inča (116 cm)

Površina luka = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 četvornih inča (2.010 cm²)

Primjer 2: Vrtni luk

Vrtni luk ima polumjer od 4 stopa (1,2 m) i raspon od 6 stopa (1,8 m).

Strelica luka = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 stopa (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radijana

Duljina luka = 4 × 1,696 = 6,78 stopa (2,07 m)

Površina luka = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 četvornih stopa (0,523 m²)

Primjer 3: Mostni luk

Mostni luk ima raspon od 50 stopa (15 m) i strelicu od 15 stopa (4,57 m).

Polumjer = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 stopa (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radijana

Duljina luka = 28,33 × 2,162 = 61,25 stopa (18,7 m)

Površina luka = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 četvornih stopa (49,6 m²)

Uobičajene primjene izračuna lukova

Građevinari koriste dimenzije luka za izradu oplate za betonske lukove, izradu predložaka od opeke ili kamena za zidane lukove i planiranje zakrivljenosti svodova. Projektanti mostova koriste raspon, strelicu i polumjer kako bi uskladili raspodjelu opterećenja s potrebnim slobodnim profilom. Pri obnovi se iste formule koriste za usklađivanje s točnom geometrijom povijesnog luka pri njegovu popravku ili ponovnoj izgradnji. Vrtlari i graditelji koji rade sami koriste ih za lučne rešetke, ulaze i ukrasne otvore.

Ovaj kalkulator obuhvaća samo kružne lukove, odnosno lukove oblikovane lukom jedne kružnice. Eliptični, parabolični, gotički i lančani lukovi slijede drukčije krivulje i zahtijevaju druge formule.

Kratka povijest luka

Graditelji u drevnoj Mezopotamiji koristili su rane oblike nalik luku već oko 2500 pr. Kr., iako je većina bila izvedena konzolnim slaganjem — slaganjem kamenja tako da svaki sloj nadvisuje onaj ispod sebe — a ne pravim zakrivljenim lukom. Rimljani su polukružni luk razvili u standardnu građevinsku metodu i koristili ga u akveduktima, mostovima i građevinama poput Koloseja. Srednjovjekovni graditelji u Europi razvili su šiljasti gotički luk, koji im je omogućio gradnju viših i lakših konstrukcija. Kasniji su se arhitekti vratili polukružnim oblicima zasnovanima na preciznim proporcijama, a suvremeni materijali poput čelika i armiranog betona danas omogućuju lukovima premošćivanje znatno većih udaljenosti.

Često postavljana pitanja

Koja je razlika između strelice luka i ukupne visine luka?

Strelica luka okomita je udaljenost od linije početka luka do vrha krivulje luka. Ukupna visina ponekad označava ukupnu visinu otvora, uključujući ravni zid ispod linije početka luka.

Radi li ovaj kalkulator za sve vrste lukova?

Ne. Radi samo za kružne lukove, odnosno lukove oblikovane kao odsječak kružnice. Eliptični, parabolični, gotički i lančani lukovi slijede drukčije krivulje i zahtijevaju zasebne formule.

Kakav je odnos između raspona i polumjera kod polukružnog luka?

Kod polukružnog luka polumjer je jednak polovici raspona, a strelica luka jednaka je polumjeru. Luk čini točno polovicu kružnice.

Zašto raspon ne može biti veći od dvostrukog polumjera?

Raspon jednak dvostrukom polumjeru već daje polukružnicu, najširi mogući luk za taj polumjer. Širi raspon uopće ne bi stao na kružnicu.

Zašto strelica luka ne može biti veća od dvostrukog polumjera (u načinu rada za izračun raspona)?

Strelica luka mjeri se od linije početka luka do najviše točke luka na istoj kružnici. Dvostruki polumjer predstavlja punu visinu te kružnice, pa bi veća vrijednost strelice smjestila vrh luka potpuno izvan kružnice. Strelica luka između polumjera i dvostrukog polumjera moguća je. Tada je luk veći od polukružnice, što je oblik koji se koristi za potkovičaste lukove.

Koje jedinice koristi kalkulator?

Može se koristiti bilo koja usklađena mjerna jedinica — inči, stope, metri ili centimetri. Unesite sve vrijednosti u istoj jedinici, a rezultati će biti u toj istoj jedinici, pri čemu će površina biti izražena u kvadratima te jedinice.