Kalkulator Površine

Q: Koja je formula za površinu kugle?

$SA = 4\pi r²$, gdje je r polumjer. Kugla polumjera 5 m ima površinu od približno 314,16 m².

Površina trodimenzionalnog tijela ukupna je površina svih ploha i zakrivljenih površina koje prekrivaju njegovu vanjsku stranu, izražena u kvadratnim jedinicama, kao što su kvadratni metri ili kvadratne stope. Ovaj kalkulator izračunava površinu sedam uobičajenih geometrijskih tijela: kugle, kocke, valjka, piramide, stošca, kvadra i trokutaste prizme.

Što znači površina

Površina je zbroj površina svih vanjskih ploha tijela. Površina kocke zbroj je površina njezinih šest ravnih kvadratnih ploha. Površina kugle površina je njezine jedine zakrivljene vanjske površine. Površina se razlikuje od obujma, koji mjeri prostor unutar tijela, a ne površinu njegove granice. Obje se veličine mjere različitim jedinicama: površina u kvadratnim jedinicama (m²), a obujam u kubičnim jedinicama (m³).

Kako izračunati površinu

Odaberite tijelo s popisa od sedam mogućnosti.
Unesite mjere koje su potrebne za odabrano tijelo:
- Kugla: polumjer
- Kocka: duljina brida
- Valjak: polumjer i visina
- Piramida: duljina osnovice, širina osnovice i apotema
- Stožac: polumjer i visina
- Kvadar: duljina, širina i visina
- Trokutasta prizma: duljina osnovice, visina trokutaste plohe i duljina prizme
Rezultat se automatski prikazuje kada svako obavezno polje ima vrijednost.
Očitajte površinu u kvadratnim jedinicama. Gumb za kopiranje pokraj rezultata kopira ga u međuspremnik.

Dok je obavezno polje prazno, kalkulator umjesto rezultata prikazuje kratku poruku. Kada sva polja imaju vrijednost, broj koji je nula ili negativan uzrokuje poruku o pogrešci.

Za piramidu vrijedi dodatno pravilo za svaku osnovicu, kvadratnu ili pravokutnu: unesena apotema mora biti veća od polovice širine osnovice. Polovica širine osnovice udaljenost je od središta osnovice do sredine brida osnovice koji ima duljinu osnovice. Apotema jednaka toj vrijednosti ili kraća od nje ne ostavlja prostor za nikakvu vertikalnu visinu, pa takva piramida ne postoji i kalkulator prikazuje pogrešku.

Formule za površinu

U formulama u nastavku r je polumjer, h visina, l duljina, w širina, b duljina osnovice, a s kosa visina.

Kugla: $SA = 4\pi r²$
Kocka: $SA = 6a²$ , gdje je a duljina brida
Valjak: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$ , zbroj površina dviju kružnih baza i zakrivljene bočne površine
Stožac: $SA = \pi r² + \pi rs$ , gdje je kosa visina $s = \sqrt{r² + h²}$
Piramida s kvadratnom osnovicom: $SA = l² + 2ls$ , gdje je l duljina osnovice, a s kosa visina trokutaste bočne strane
Kvadar: $SA = 2(lw + lh + wh)$
Trokutasta prizma (trokutasti presjek s osnovicom b, visinom h i dvjema jednakim kosim stranicama $a = c$ ): $SA = bh + (a + b + c)L$ , gdje je L duljina prizme, a $a = c = \sqrt{h² + (b/2)²}$ za simetričan (jednakokračni) trokut

Piramida s pravokutnom osnovicom ima dvije različite kose visine, po jednu za svaki par trokutastih bočnih strana. Polje Kosa visina prihvaća kosu visinu s dviju strana koje se oslanjaju na bridove duljine osnovice. Na temelju nje kalkulator izračunava vertikalnu visinu h s pomoću formule $h = \sqrt{s² - (w/2)²}$ , a zatim određuje drugi par bočnih strana:

Piramida s pravokutnom osnovicom: $SA = lw + ls + w\sqrt{h² + (l/2)²}$ , gdje je l duljina osnovice, w širina osnovice, a h vertikalna visina izvedena iz s.

Gornja formula za kvadratnu osnovicu poseban je slučaj ove formule, kada su duljina i širina osnovice jednake (unutar 0,001 unesenih jedinica).

Primjer izračuna

Kugla, polumjer 5 m: SA = 4π(5)² = 100π ≈ 314,16 m²

Kocka, duljina brida 3 m: SA = 6(3)² = 54 m²

Valjak, polumjer 2 m, visina 5 m: SA = 2π(2)(2 + 5) = 28π ≈ 87,96 m²

Stožac, polumjer 3 m, visina 4 m: izvodnica = √(3² + 4²) = 5 m, pa je SA = π(3)(3 + 5) = 24π ≈ 75,40 m²

Piramida s kvadratnom osnovicom, duljina osnovice 4 m, apotema 5 m: SA = 4² + 2(4)(5) = 16 + 40 = 56 m²

Piramida s pravokutnom osnovicom, duljina osnovice 6 m, širina osnovice 8 m, apotema 5 m: polovica širine osnovice iznosi 4 m, pa je vertikalna visina √(5² − 4²) = 3 m. Drugi par ploha ima apotemu √(3² + 3²) = √18 ≈ 4,2426 m. SA = (6 × 8) + (6 × 5) + (8 × 4,2426) = 48 + 30 + 33,94 ≈ 111,94 m²

Kvadar, duljina 4 m, širina 3 m, visina 5 m: SA = 2(4·3 + 4·5 + 3·5) = 2(12 + 20 + 15) = 94 m²

Trokutasta prizma, osnovica 3 m, visina trokuta 4 m, duljina prizme 5 m: dvije jednake bočne stranice iznose √(4² + 1,5²) = √18,25 ≈ 4,272 m. SA = (3 × 4) + (4,272 + 3 + 4,272) × 5 = 12 + 57,72 ≈ 69,72 m²

Jedinice i preciznost

Sve ulazne mjere trebaju biti izražene u istoj jedinici, primjerice metrima, stopama ili centimetrima. Rezultat se daje u toj jedinici na kvadrat. Kalkulator interno računa s punom preciznošću pomičnog zareza, a rezultat prikazuje zaokružen na dvije decimale.

Zašto je površina važna

Površina se upotrebljava za procjenu količine boje ili premaza potrebne za zid ili predmet, materijala potrebnog za ambalažu te lima ili tkanine potrebnih za izradu spremnika. U biologiji i kemiji površina stanice ili čestice katalizatora utječe na brzinu izmjene tvari s okolinom jer se izmjena odvija preko površine. U inženjerstvu površina radijatora ili izmjenjivača topline utječe na brzinu prijenosa topline.

Često postavljana pitanja

Što je površina? Površina je ukupna površina svih vanjskih ploha ili zakrivljenih površina trodimenzionalnog objekta, izražena u kvadratnim jedinicama.

Koja je formula za površinu kugle? $SA = 4\pi r²$ , gdje je r polumjer. Kugla polumjera 5 m ima površinu od približno 314,16 m².

Kako se izračunava površina valjka? Površini dviju kružnih baza pribraja se površina zakrivljene bočne površine: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$ , gdje su r polumjer, a h visina.

Koja je razlika između površine i obujma? Površina mjeri vanjsku granicu tijela u kvadratnim jedinicama. Obujam mjeri prostor omeđen tom granicom u kubičnim jedinicama. Površina i obujam tijela obično rastu različitim brzinama kako se njegova veličina povećava.

Može li ovaj kalkulator obrađivati piramidu s pravokutnom osnovicom? Da. Unesite različite duljinu i širinu osnovice te apotemu dviju ploha koje leže na bridovima osnovice duljine l. Kalkulator iz te tri vrijednosti izračunava vertikalnu visinu i drugu apotemu.

Zašto se kod piramide ponekad prikazuje pogreška? Apotema mora biti veća od polovice širine osnovice. Pri toj vrijednosti ili manjoj od nje piramida bi imala nultu ili imaginarnu visinu, pa takvo tijelo ne postoji i nije moguće prijaviti površinu.

Koja tijela ovaj kalkulator podržava? Kuglu, kocku, valjak, piramidu, stožac, kvadar i trokutastu prizmu.

Reference

"Surface Area." Wikipedia, Zaklada Wikimedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_area
Weisstein, Eric W. "Surface Area." MathWorld — mrežni resurs Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html
"Surface Area Formulas." Math Is Fun. https://www.mathsisfun.com/geometry/surface-area.html

Kalkulator Površine - Besplatni Alat za Sve 3D Oblike