Kalkulator Poissonove distribucije - Izračunajte vjerojatnosti događaja

Što je kalkulator Poissonove distribucije?

Kalkulator Poissonove distribucije izračunava vjerojatnost da se određeni broj događaja dogodi u zadanom vremenskom ili prostornom intervalu, uz podatak o prosječnoj učestalosti tih događaja. Upotrebljava se kada se događaji odvijaju jedan po jedan, međusobno neovisno i stalnom prosječnom brzinom. Tipični su primjeri broj telefonskih poziva koje pozivni centar primi u jednom satu ili broj tipografskih pogrešaka na stranici.

Formula Poissonove distribucije

Poissonova distribucija daje vjerojatnost točno k događaja kada je prosječna stopa λ (grčko slovo lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Svaki simbol znači:

• λ (lambda) — prosječan broj događaja po intervalu. To je jedini parametar distribucije.
• k — točan broj događaja čija se vjerojatnost izračunava. Mora biti cijeli broj, 0 ili veći.
• e — Eulerov broj, fiksna konstanta približno jednaka 2,71828.
• k! — „k faktorijel”, umnožak svih cijelih brojeva od 1 do k. Na primjer, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Prema konvenciji, 0! = 1.

Za formulu su potrebni samo λ i k. Nije potreban ukupan broj pokusa, za razliku od binomne distribucije.

Kako izračunati Poissonovu vjerojatnost

1. Odaberite λ, prosječan broj događaja u intervalu koji se proučava.
2. Odaberite k, točan broj događaja za koji treba pronaći vjerojatnost.
3. Izračunajte e na potenciju −λ: to daje e^(−λ).
4. Izračunajte λ na potenciju k: to daje λ^k.
5. Izračunajte k!, odnosno faktorijel broja k.
6. Pomnožite rezultate koraka 3 i 4, a zatim ih podijelite rezultatom koraka 5.

Dobiveni broj je vjerojatnost između 0 i 1. Pomnožite ga s 100 kako biste ga izrazili u postotcima.

Primjer s rješenjem

Pozivni centar u prosjeku primi 5 poziva na sat (λ = 5). Kolika je vjerojatnost da u određenom satu primi točno 3 poziva (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Pomnožite: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Podijelite s 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Vjerojatnost točno 3 poziva u tom satu iznosi približno 0,140, odnosno 14 %.

Još primjera

Gdje se upotrebljava Poissonova distribucija

Poissonova distribucija modelira broj rijetkih, međusobno neovisnih događaja. Uobičajene primjene uključuju:

• Pozivni centri i korisnička služba: predviđanje broja poziva ili razgovora koji pristignu tijekom jednog sata.
• Proizvodnja: procjena broja nedostataka u seriji proizvoda.
• Osiguranje: procjena broja odštetnih zahtjeva koji će pristignuti u zadanom razdoblju.
• Biologija i medicina: modeliranje broja mutacija ili širenja rijetkih bolesti.
• Fizika: opisivanje radioaktivnog raspada, pri kojem se svaki atom raspada neovisno, stalnom prosječnom brzinom.
• Promet i mrežno inženjerstvo: procjena dolazaka vozila na raskrižju ili zahtjeva koji stižu poslužitelju.

Uvjeti za primjenu Poissonove distribucije

Poissonova distribucija odgovara situaciji samo ako vrijede svi sljedeći uvjeti:

• Događaji se odvijaju jedan po jedan; dva se događaja ne mogu dogoditi u potpuno istom trenutku.
• Događaji se odvijaju neovisno — jedan događaj ne čini sljedeći ni vjerojatnijim ni manje vjerojatnim.
• Prosječna stopa λ ostaje stalna tijekom intervala koji se proučava.

Ako se stopa mijenja tijekom vremena ili se događaji nastoje grupirati, obična Poissonova distribucija neće dobro opisati podatke.

Poissonova distribucija i srodne distribucije

• Binomna distribucija: upotrebljava se kada postoji fiksan broj pokusa i poznata vjerojatnost uspjeha u svakom od njih, primjerice pri bacanju novčića 20 puta. Poissonova distribucija granični je slučaj binomne distribucije kada broj pokusa postane vrlo velik, a vjerojatnost uspjeha u pojedinom pokusu teži nuli, dok njihov umnožak ostaje približno jednak λ.
• Normalna distribucija: za velike vrijednosti λ, približno veće od 20, Poissonova distribucija nalikuje normalnoj distribuciji zvonolikog oblika sa sredinom λ i varijancom λ.
• Eksponencijalna distribucija: dok Poissonova distribucija broji koliko se događaja dogodi u fiksnom intervalu, eksponencijalna distribucija opisuje vrijeme čekanja između tih događaja.

Kratka napomena o povijesti

Francuski matematičar Siméon Denis Poisson uveo je tu distribuciju 1837. godine, u knjizi o vjerojatnosti primijenjenoj na sudske presude. Isprva je privukla malo pozornosti. Njezina je primjena porasla početkom 20. stoljeća, nakon što su je statističari poput Ladislausa Bortkiewicza i Ronalda Fishera primijenili na stvarne podatke o brojevima, uključujući poznato istraživanje pruskih vojnika usmrćenih udarcima konjskih kopita.

Često postavljana pitanja

Što lambda (λ) znači u Poissonovoj distribuciji? Lambda je prosječan broj događaja koji se očekuje u intervalu koji se proučava. Ona je ujedno i varijanca distribucije, pa veći λ znači i veći prosječan broj i veću raspršenost mogućih ishoda.

Mogu li k ili λ biti negativni ili razlomljeni? λ mora biti veći od 0, ali može biti decimalan broj, primjerice 2,5 događaja na sat. k mora biti cijeli broj 0 ili veći jer broji stvarne događaje; ne može biti negativan ni razlomljen.

Po čemu se Poissonova distribucija razlikuje od binomne distribucije? Binomna distribucija zahtijeva fiksan broj pokusa i fiksnu vjerojatnost uspjeha po pokusu. Poissonova distribucija zahtijeva samo prosječnu stopu i primjenjuje se na događaje koji se, u načelu, mogu dogoditi bilo koliko puta.

Kada bi se umjesto nje trebala upotrebljavati normalna distribucija? Za velike vrijednosti λ, općenito veće od približno 20, normalna distribucija s istom sredinom i varijancom dobro aproksimira Poissonovu distribuciju i često je jednostavnija za ručni izračun.

Zašto kalkulator ponekad prikazuje broj u znanstvenom zapisu? Rezultati se obično prikazuju na šest decimalnih mjesta. Kada je vjerojatnost manja od 0,0001, zaokruživanje na šest decimalnih mjesta dalo bi 0,000000 i prikrilo koliko je ona zapravo mala, pa kalkulator umjesto toga prelazi na znanstveni zapis. Za λ = 20 i k = 1 prikazuje 4.122307e-8, što znači 0,00000004122307.

Postoje li ograničenja za vrijednosti koje kalkulator prihvaća? Da. λ mora biti veći od 0 i ne smije biti veći od 700, a k mora biti cijeli broj od 0 do 1000. Izvan tih granica kalkulator prikazuje pogrešku. Ograničenja drže rezultat unutar raspona brojeva koje računalo može pohraniti te grafikon zadržavaju na čitljivom broju stupaca.

Dopušta li Poissonova distribucija više od jednog događaja istodobno? Ne. Model pretpostavlja da se događaji odvijaju jedan po jedan. Ako se dva događaja redovito događaju zajedno, druga će distribucija bolje odgovarati podacima.

Reference

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Pariz, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH elektronički priručnik statističkih metoda, odjeljak 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp i Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.