Kalkulator Laplaceove distribucije - Besplatni PDF i alat za vizualizaciju

Što je Laplaceova distribucija?

Laplaceova razdioba, poznata i kao dvostruka eksponencijalna razdioba, kontinuirana je distribucija vjerojatnosti oblika dviju eksponencijalnih krivulja spojenih leđima u vršnoj točki. Simetrična je oko središnje vrijednosti i ima deblje repove od normalne distribucije, pa ekstremnim vrijednostima pridružuje veću vjerojatnost. Kalkulator Laplaceove distribucije na ovoj stranici izračunava vršnu gustoću vjerojatnosti distribucije iz parametra položaja i parametra skale te iscrtava cijelu krivulju gustoće.

Distribucija je nazvana po Pierre-Simonu Laplaceu, francuskom matematičaru koji ju je prvi opisao 1774.

Formula Laplaceove distribucije

Funkcija gustoće vjerojatnosti (PDF) Laplaceove distribucije glasi:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x je bilo koja točka na brojevnom pravcu.
• μ (mu), parametar položaja, središte je distribucije. To je ujedno i srednja vrijednost i medijan.
• b, parametar skale, određuje koliko je distribucija raspršena. Mora biti veći od 0.
• |x − μ| udaljenost je između x i središta, bez obzira na smjer.

Krivulja doseže najvišu točku točno pri x = μ. U toj se točki formula pojednostavnjuje jer je |μ − μ| = 0 i exp(0) = 1, pa preostaje:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Ta vršna vrijednost, 1/(2b), broj je koji kalkulator prikazuje.

Kako se upotrebljava kalkulator Laplaceove distribucije

1. Unesite parametar položaja (μ). Time se određuje središte distribucije.
2. Unesite parametar skale (b). To mora biti pozitivan broj; što je vrijednost veća, krivulja je ravnija i raširenija.
3. Kalkulator prikazuje vršnu gustoću, 1/(2b), i iscrtava krivulju gustoće f(x) od μ − 4b do μ + 4b. Okomita os grafikona prikazuje gustoću vjerojatnosti, a krivulju je moguće preuzeti kao tablicu vrijednosti x i f(x).

Kalkulator ne prihvaća zasebnu vrijednost x. Uvijek prikazuje gustoću u vlastitoj vršnoj točki distribucije, x = μ, jer je to jedini najkorisniji sažeti broj za usporedbu distribucija s različitim skalama. Da biste pronašli gustoću u nekoj drugoj točki, upotrijebite gornju formulu s odgovarajućom vrijednošću x ili očitajte visinu s grafikona.

Primjer s rješenjem

Uzmimo položaj μ = 4 i skalu b = 2.

1. Provjerite je li b pozitivan: 2 > 0, pa su unesene vrijednosti valjane.
2. Vrh se nalazi pri x = μ = 4, gdje je |x − μ| = 0.
3. Izračunajte vršnu gustoću: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Kalkulator prikazuje 0,250000. Iscrtana krivulja ima vrh u točki (4, 0,25) i simetrično se spušta s obje strane, protežući se od μ − 4b do μ + 4b, odnosno u ovom slučaju od −4 do 12.

Budući da formula vršne gustoće, 1/(2b), ne sadržava μ, promjena položaja samo pomiče krivulju ulijevo ili udesno. Ne mijenja njezinu visinu. Visinu mijenja samo parametar skale.

Još primjera

Srednja vrijednost, varijanca i standardna devijacija

Za Laplaceovu distribuciju s položajem μ i skalom b:

• Srednja vrijednost = μ
• Medijan = μ
• Varijanca = 2b²
• Standardna devijacija = b√2

Laplaceova distribucija u usporedbi s normalnom distribucijom

Obje su distribucije simetrične i zvonolikog oblika, a obje su potpuno opisane središtem i parametrom raspršenosti. Razlika je u repovima. U normalnoj distribuciji gustoća se smanjuje s kvadratom udaljenosti od srednje vrijednosti, pa ekstremne vrijednosti vrlo brzo postaju zanemarivo rijetke. U Laplaceovoj distribuciji smanjuje se s običnom udaljenošću, pa ekstremne vrijednosti ostaju razmjerno vjerojatnije. Zato je Laplaceova distribucija korisna kad stvarni podaci imaju više odstupajućih vrijednosti nego što bi normalna distribucija predvidjela.

Uobičajene primjene

• Obrada signala i slika: modeliranje šuma i komprimiranje slika jer se razlike piksela ili signala često grupiraju oko nule, uz povremene velike skokove.
• Diferencijalna privatnost: Laplaceov mehanizam dodaje Laplaceov šum rezultatima upita kako bi zaštitio pojedinačne podatke uz očuvanje ukupne točnosti.
• Robusna statistika i regresija: Lasso-regresija upotrebljava apriornu razdiobu oblika Laplaceove razdiobe, koja daje prednost rješenjima u kojima je mnogo koeficijenata točno jednako nuli.
• Financije: modeliranje prinosa imovine, koji obično imaju deblje repove nego što sugerira normalna distribucija.
• Seizmologija: pojavljuje se u modelima obrazaca magnituda potresa povezanih s Gutenberg-Richterovim zakonom.

Često postavljana pitanja

Što znači rezultat kalkulatora?

To je vršna, odnosno maksimalna vrijednost funkcije gustoće vjerojatnosti, jednaka 1/(2b). To je visina krivulje u njezinu središtu, x = μ.

Zašto kalkulator ne traži vrijednost x?

Vršna gustoća, 1/(2b), jednaka je za svaku vrijednost x koja je jednaka μ, pa za njezino pronalaženje nije potreban zaseban unos x. To je standardni pojedinačni broj za usporedbu visine i širine dviju Laplaceovih distribucija. Cijela krivulja, koja prikazuje gustoću za svaku vrijednost x, dostupna je na grafikonu.

Kako pronaći gustoću u točki koja nije vršna?

Upotrijebite formulu $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ s odgovarajućom vrijednošću x ili izravno očitajte visinu s iscrtane krivulje.

Po čemu se Laplaceova distribucija razlikuje od eksponencijalne distribucije?

Laplaceova distribucija može se izgraditi iz dviju eksponencijalnih distribucija. Ako su X i Y nezavisne eksponencijalne slučajne varijable s istom stopom, tada X − Y slijedi Laplaceovu distribuciju centriranu u 0.

Koje su uobičajene primjene Laplaceove distribucije?

Upotrebljava se u obradi signala, komprimiranju slika, diferencijalnoj privatnosti, robusnoj statistici, Lasso-regresiji te modeliranju financijskih prinosa i magnituda potresa, gdje god stvarni podaci pokazuju više ekstremnih vrijednosti nego što predviđa normalna distribucija.

Može li Laplaceova distribucija imati negativne vrijednosti ili je namijenjena samo pozitivnim vrijednostima?

Definirana je za sve realne brojeve, i pozitivne i negativne, za razliku od eksponencijalne distribucije, koja poprima samo nenegativne vrijednosti.

Reference

1. Kotz, S., Kozubowski, T. i Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Zaklada Wikimedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution