Kalkulator Laplaceove Distribucije

Uvod

Laplaceova distribucija, poznata i kao dvostruka eksponencijalna distribucija, je kontinuirana verovatnoćna distribucija nazvana po Pierre-Simon Laplaceu. Simetrična je oko svoje srednje vrednosti (parametar lokacije) i ima teže repove u poređenju sa normalnom distribucijom. Ovaj kalkulator vam omogućava da izračunate funkciju gustine verovatnoće (PDF) Laplaceove distribucije za date parametre i vizualizujete njen oblik.

Kako koristiti ovaj kalkulator

1. Unesite parametar lokacije (μ), koji predstavlja srednju vrednost distribucije.
2. Unesite parametar skale (b), koji određuje rasprostranjenost distribucije (b > 0).
3. Kalkulator će prikazati vrednost funkcije gustine verovatnoće (PDF) na x = 0 i prikazati graf distribucije.

Napomena: Parametar skale mora biti strogo pozitivan (b > 0).

Formula

Funkcija gustine verovatnoće (PDF) Laplaceove distribucije data je formulom:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Gde:

• x je varijabla
• μ (mu) je parametar lokacije
• b je parametar skale (b > 0)

Izračunavanje

Kalkulator koristi ovu formulu za izračunavanje PDF vrednosti na x = 0 na osnovu korisničkog unosa. Evo korak-po-korak objašnjenja:

1. Validacija unosa: Osigurajte da je parametar skale b pozitivan.
2. Izračunajte |x - μ|: U ovom slučaju, to je jednostavno |0 - μ| = |μ|.
3. Izračunajte eksponencijalni član: $\exp(-|μ| / b)$
4. Izračunajte konačni rezultat: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Iste slučajeve koje treba uzeti u obzir:

• Ako je b ≤ 0, prikažite poruku o grešci.
• Za veoma velike |μ| ili veoma male b, rezultat može biti ekstremno blizu nule.
• Za μ = 0, PDF će dostići svoju maksimalnu vrednost od 1/(2b) na x = 0.

Upotreba

Laplaceova distribucija ima razne primene u različitim oblastima:

1. Obrada signala: Koristi se u modeliranju i analizi audio i slikovnih signala.

2. Finansije: Primena u modeliranju finansijskih prinosi i proceni rizika.

3. Mašinsko učenje: Koristi se u Laplaceovom mehanizmu za diferencijalnu privatnost i u nekim modelima Bayesovog zaključivanja.

4. Obrada prirodnog jezika: Primena u jezičkim modelima i zadacima klasifikacije teksta.

5. Geologija: Koristi se u modeliranju raspodele magnituda zemljotresa (Gutenberg-Richterov zakon).

Alternativa

Iako je Laplaceova distribucija korisna u mnogim scenarijima, postoje i druge verovatnoćne distribucije koje bi mogle biti prikladnije u određenim situacijama:

1. Normalna (Gausova) distribucija: Često se koristi za modelovanje prirodnih pojava i grešaka merenja.

2. Cauchyjeva distribucija: Ima još teže repove od Laplaceove distribucije, korisna za modelovanje podataka podložnih odstupanjima.

3. Eksponencijalna distribucija: Koristi se za modelovanje vremena između događaja u Poissonovom procesu.

4. Studentova t-distribucija: Često se koristi u testiranju hipoteza i modelovanju finansijskih prinosi.

5. Logistička distribucija: Slična po obliku normalnoj distribuciji, ali sa težim repovima.

Istorija

Laplaceova distribucija je predstavljena od strane Pierre-Simona Laplacea u njegovom radu iz 1774. godine "O verovatnoći uzroka događaja." Međutim, distribucija je dobila više značaja u ranoj 20. veku sa razvojem matematičke statistike.

Ključni događaji u istoriji Laplaceove distribucije:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace uvodi distribuciju u svom radu o teoriji verovatnoće.
2. 1930-ih: Distribucija je ponovo otkrivena i primenjena u raznim oblastima, uključujući ekonomiju i inženjerstvo.
3. 1960-ih: Laplaceova distribucija dobija značaj u robusnoj statistici kao alternativa normalnoj distribuciji.
4. 1990-ih - danas: Povećana upotreba u mašinskom učenju, obradi signala i finansijskom modelovanju.

Primeri

Evo nekoliko primera koda za izračunavanje PDF-a Laplaceove distribucije:

1' Excel VBA funkcija za PDF Laplaceove distribucije
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Upotreba:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("Parametar skale mora biti pozitivan")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Primer upotrebe:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"PDF vrednost na x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("Parametar skale mora biti pozitivan");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Primer upotrebe:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`PDF vrednost na x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("Parametar skale mora biti pozitivan");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("PDF vrednost na x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

Ovi primeri prikazuju kako izračunati PDF Laplaceove distribucije za date parametre. Možete prilagoditi ove funkcije prema svojim specifičnim potrebama ili ih integrisati u veće sisteme statističke analize.

Numerički primeri

1. Standardna Laplaceova distribucija:

   • Lokacija (μ) = 0
   • Skala (b) = 1
   • PDF na x = 0: 0.500000

2. Pomerena Laplaceova distribucija:

   • Lokacija (μ) = 2
   • Skala (b) = 1
   • PDF na x = 0: 0.183940

3. Skalirana Laplaceova distribucija:

   • Lokacija (μ) = 0
   • Skala (b) = 3
   • PDF na x = 0: 0.166667

4. Pomerena i skalirana Laplaceova distribucija:

   • Lokacija (μ) = -1
   • Skala (b) = 0.5
   • PDF na x = 0: 0.367879

Reference

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Laplace Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.