Kalkulator binomne distribucije - Besplatni alat za vjerojatnost

Što je kalkulator binomne distribucije?

Kalkulator binomne distribucije pronalazi vjerojatnost dobivanja točno određenog broja uspjeha u zadanom broju nezavisnih pokusa, kada svaki pokus ima jednaku vjerojatnost uspjeha. Upotrebljava se u statistici, kontroli kvalitete, medicini i svakom području koje proučava ponavljajuće događaje s odgovorima da ili ne.

Temeljna je ideja binomna distribucija, model vjerojatnosti za prebrojavanje uspjeha u ponavljanim pokusima koji imaju samo dva ishoda, obično nazvana uspjeh i neuspjeh.

Formula binomne distribucije

Vjerojatnost dobivanja točno k uspjeha u n pokusa iznosi:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Svaki simbol znači:

• n — broj pokusa.
• k — broj uspjeha za koji se računa vjerojatnost.
• p — vjerojatnost uspjeha u jednom pokusu, broj između 0 i 1.
• $\binom{n}{k}$ — binomni koeficijent, odnosno broj različitih načina odabira k uspjeha iz n pokusa. Jednak je $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Svaki pokus mora biti nezavisan, što znači da ishod jednog pokusa ne mijenja izglede drugoga, a vjerojatnost uspjeha p mora ostati jednaka u svim pokusima. Jedan pokus s dva moguća ishoda, poput jednog bacanja novčića, naziva se Bernoullijev pokus. Binomna distribucija dobiva se zbrajanjem n Bernoullijevih pokusa.

Kako izračunati binomnu vjerojatnost

1. Zapišite n, k i p.
2. Izračunajte binomni koeficijent $\binom{n}{k}$, odnosno broj načina raspoređivanja k uspjeha među n pokusa.
3. Potencirajte p na k.
4. Potencirajte (1 − p) na (n − k).
5. Pomnožite sva tri broja.

Kalkulator na ovoj stranici te korake izvodi automatski. Unesite n, p i k, a on vraća P(X = k) te stupčasti grafikon koji prikazuje vjerojatnost svakog mogućeg ishoda od 0 do n uspjeha.

Primjer izračuna

Primjer 1: bacanja novčića

Pošteni novčić bacite 10 puta. Kolika je vjerojatnost da ćete dobiti točno 3 glave?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Rezultat: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, odnosno približno 11,72 %

Primjer 2: kontrola kvalitete

Tvornica pregledava 100 proizvoda. Svaki proizvod ima 2 % vjerojatnosti da bude neispravan. Kolika je vjerojatnost da nijedan od 100 proizvoda nije neispravan?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Budući da je k = 0, formula se svodi na $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Rezultat: ≈ 0,1326, odnosno približno 13,26 %

Primjer 3: testiranje na bolest

Grad testira 1.000 ljudi na bolest koja zahvaća 0,1 % stanovništva (p = 0,001). Kolika je vjerojatnost da je točno 5 od 1.000 ljudi zaraženo?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Rezultat: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, odnosno približno 0,30 % (točna vrijednost 0,0030488, odnosno 0,30488 %)

Srednja vrijednost i varijanca

Za binomnu distribuciju s parametrima n i p:

• Srednja vrijednost (očekivana vrijednost): E(X) = np
• Varijanca: Var(X) = np(1 − p)
• Standardna devijacija: σ = √[np(1 − p)]

Srednja vrijednost govori koliki se prosječan broj uspjeha očekuje nakon mnogo ponavljanja. U primjeru 1 srednja vrijednost iznosi 10 × 0,5 = 5 glava.

Što kalkulator prihvaća

• n mora biti cijeli broj od 1 naviše. Decimalni se unos zaokružuje na najbliži cijeli broj pokusa, pa se 10,9 tretira kao 11.
• p mora biti između 0 i 1, uključujući obje granice.
• k mora biti cijeli broj od 0 naviše i ne može biti veći od n. Dobiti 8 uspjeha u 5 pokusa nemoguće je, pa kalkulator umjesto broja prikazuje pogrešku.

Ako je neko polje prazno, kalkulator ne prikazuje ni rezultat ni grafikon, umjesto da nagađa vrijednost.

Kada se primjenjuje binomna distribucija

Binomna distribucija odgovara situaciji samo kada vrijede sva četiri uvjeta:

1. Broj pokusa, n, unaprijed je zadan.
2. Svaki pokus ima samo dva ishoda: uspjeh ili neuspjeh.
3. Vjerojatnost uspjeha, p, jednaka je u svakom pokusu.
4. Pokusi su međusobno nezavisni.

Izvlačenje karata iz špila bez vraćanja narušava uvjet nezavisnosti jer uklanjanje karte mijenja izglede pri sljedećem izvlačenju. U toj se situaciji umjesto toga primjenjuje hipergeometrijska distribucija.

Povezane distribucije

• Poissonova distribucija: upotrebljava se za približavanje binomne distribucije kada je n velik, a p malen, tako da prosječan broj uspjeha (np) ostaje umjeren. Često se primjenjuje za modeliranje rijetkih događaja, poput slučaja bolesti u primjeru 3.
• Normalna distribucija: za velik n i kada p nije preblizu vrijednosti 0 ili 1, binomna distribucija približno je zvonolikog oblika i može se aproksimirati normalnom distribucijom sa srednjom vrijednošću np i varijancom np(1 − p).
• Hipergeometrijska distribucija: upotrebljava se umjesto binomne distribucije kada se uzorkovanje iz konačne populacije provodi bez vraćanja.

Često postavljana pitanja

Što radi kalkulator binomne distribucije?

Izračunava vjerojatnost dobivanja točno k uspjeha u n nezavisnih pokusa, pri čemu svaki ima vjerojatnost uspjeha p, koristeći formulu P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Koja je razlika između binomne i normalne distribucije?

Binomna je distribucija diskretna, što znači da daje samo cjelobrojne brojeve uspjeha. Normalna je distribucija kontinuirana. Za velik n binomna se distribucija može aproksimirati normalnom krivuljom sa srednjom vrijednošću np i varijancom np(1 − p).

Može li p biti 0 ili 1?

Da. Ako je p = 0, nijedan pokus ne može biti uspješan, pa je P(X = 0) = 1. Ako je p = 1, svaki je pokus uspješan, pa je P(X = n) = 1. Sve ostale vrijednosti k u tim slučajevima imaju vjerojatnost 0.

Kakav je odnos između binomne i Bernoullijeve distribucije?

Bernoullijeva distribucija opisuje jedan pokus s dva ishoda (n = 1). Binomna distribucija zbroj je n nezavisnih Bernoullijevih pokusa, pa je Bernoullijeva distribucija zapravo binomna distribucija s n = 1.

Koliki n može biti prije nego što kalkulator postane netočan?

Kalkulator radi sa standardnom aritmetikom dvostruke preciznosti. Izravno množi tri dijela formule, a prelazi na logaritme kada binomni koeficijent naraste iznad najvećeg broja koji double može sadržavati, što se događa približno pri n = 1.000 kada je k blizu n/2. Rezultati ostaju točni i iznad te granice. Vjerojatnost manja od približno 1e-308 prikazuje se kao 0 jer je double ne može pohraniti.

Kako se izračunava binomni koeficijent?

Binomni koeficijent C(n, k) broji broj načina odabira k elemenata iz n elemenata, neovisno o redoslijedu. Jednak je n! / (k! × (n − k)!). Kalkulator ga izračunava korak po korak, množeći jednim faktorom i dijeleći sljedećim, pa ne mora pohraniti cijeli faktorijel. Za vrlo velik n umjesto toga zbraja logaritme tih faktora.

Reference

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Zaklada Wikimedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L. i dr. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.