Ív Kalkulátor - Sugár, Fesztáv és Magasság Számítása

Mi az ívszámító?

Az ívszámító egy körív méreteit — a sugarat, a fesztávolságot és a magasságot — számítja ki e három érték közül bármelyik kettőből. Meghatározza az ívhosszt és az ív területét is. Építészek, kivitelezők és barkácsolók használják ajtónyílások, ablakok, hidak és ívelt kerti elemek tervezéséhez.

Az ív legfontosabb méretei

A köríves ív egy kör pereméből kivágott rész. Alakját öt mérőszám írja le:

• Sugár: a kör középpontja és az ív görbéjének bármely pontja közötti távolság.
• Fesztávolság: az ív két alsó végpontja közötti egyenes, vízszintes távolság, amelyet szélességnek is neveznek.
• Magasság: a támaszvonal — a két végpontot összekötő vízszintes vonal — és az ív legmagasabb pontja közötti függőleges távolság.
• Ívhossz: az ív görbe vonala mentén, egyik végétől a másikig mért távolság.
• Ív területe: az ív és a támaszvonal között bezárt görbült tartomány területe.

Az ív méreteinek képletei

Ezek a képletek köríves ívre, vagyis egyetlen kör egy körívéből kialakított ívre érvényesek. A képletek a sugár kétszereséig érvényesek. Ez a tartomány lefedi a legtöbb számított ajtó-, ablak- és hídívet, valamint a patkóíveket is, amelyek görbéje egy félkörnél tovább folytatódik.

A magasság képlete (sugár és fesztávolság alapján)

$\text{Emelkedés} = \text{Sugár} - \sqrt{\text{Sugár}^2 - \left(\frac{\text{Fesztávolság}}{2}\right)^2}$

Akkor érvényes, ha a sugár és a fesztávolság pozitív, továbbá a fesztávolság ≤ 2 × sugár.

A sugár képlete (fesztávolságból és magasságból)

$\text{Sugár} = \frac{\text{Fesztávolság}^2}{8 \times \text{Emelkedés}} + \frac{\text{Emelkedés}}{2}$

Akkor érvényes, ha a fesztávolság és a magasság pozitív.

A fesztávolság képlete (sugárból és magasságból)

$\text{Fesztávolság} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Sugár} \times \text{Emelkedés} - \text{Emelkedés}^2}$

Akkor érvényes, ha a sugár és a magasság pozitív, továbbá a magasság ≤ 2 × sugár.

Az ívhossz képlete

$\text{Ívhossz} = \text{Sugár} \times \theta$

A θ (théta) a középponti szög radiánban, amelyet az ív görbéje a kör középpontjában kijelöl. Ha a magasság nem nagyobb a sugárnál, az ív legfeljebb egy félkört alkot, és θ értéke:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{fesztávolság}}{2 \times \text{sugár}}\right)$

Ha a magasság nagyobb a sugárnál, az ív a félkörnél nagyobb, és θ a kör fennmaradó részének megfelelő szög:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{fesztávolság}}{2 \times \text{sugár}}\right)$

A számító egyetlen lépésben kezeli mindkét esetet: θ = 2 × atan2(fesztávolság ÷ 2, sugár − magasság), amely félkörnél is pontos marad.

Az ív területének képlete

$\text{Ív területe} = \frac{1}{2} \times \text{Sugár}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Fesztávolság} \times (\text{Sugár} - \text{Emelkedés})$

Az ívszámító használata

A számító három üzemmódot kínál, egyet-egyet minden olyan mérethez, amelyet esetleg nem ismerünk.

Magasság számítása, ha a sugár és a fesztávolság ismert: adja meg a sugarat és a fesztávolságot. Az eszköz kiszámítja a magasságot, az ívhosszt és az ív területét.

Sugár számítása, ha a fesztávolság és a magasság ismert: adja meg a fesztávolságot és a magasságot. Az eszköz kiszámítja a sugarat, az ívhosszt és az ív területét.

Fesztávolság számítása, ha a sugár és a magasság ismert: adja meg a sugarat és a magasságot. Az eszköz kiszámítja a fesztávolságot, az ívhosszt és az ív területét.

A számító elutasítja azokat a bemeneteket, amelyekből nem alakítható ki valós ív. A fesztávolság nem lehet nagyobb a sugár kétszeresénél, a magasság nem lehet nagyobb a sugár kétszeresénél, és minden méretnek pozitív számnak kell lennie. Hibaüzenet jelenik meg, ha egy érték megszegi e szabályok valamelyikét.

Számítási példa

Példa 1: Ajtónyílás íve

Egy ajtónyílás ívének fesztávolsága 36 hüvelyk, magassága pedig 12 hüvelyk (30,5 cm).

Sugár = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 hüvelyk (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radián

Ívhossz = 19,5 × 2,352 = 45,86 hüvelyk (116 cm)

Ív területe = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 négyzethüvelyk (2010 cm²)

Példa 2: Kerti ív

Egy kerti ív sugara 4 láb, fesztávolsága pedig 6 láb.

Magasság = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 láb

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radián

Ívhossz = 4 × 1,696 = 6,78 láb

Ív területe = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 négyzetláb (0,523 m²)

Példa 3: Hídív

Egy hídív fesztávolsága 50 láb, magassága pedig 15 láb.

Sugár = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 láb

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radián

Ívhossz = 28,33 × 2,162 = 61,25 láb

Ív területe = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 négyzetláb (49,6 m²)

Az ívszámítás gyakori alkalmazásai

A kivitelezők az ív méreteit használják betonívek zsaluzatának kivágásához, falazott tégla- vagy kőívek sablonjainak kiméréséhez, valamint boltozatos mennyezetek görbületének megtervezéséhez. A hídtervezők a fesztávolság, a magasság és a sugár segítségével egyensúlyozzák a terheléseloszlást és a szabad magasságot. Restauráláskor ugyanezekkel a képletekkel állapítják meg egy történelmi ív pontos geometriáját a javításhoz vagy újjáépítéshez. Kertészek és barkácsolók íves lugasokhoz, kapukhoz és díszes nyílásokhoz alkalmazzák őket.

Ez a számító csak köríves ívekre érvényes, amelyek egyetlen kör körívéből alakulnak ki. Az elliptikus, parabolikus, gótikus és láncgörbeívek más görbéket követnek, ezért más képletekre van szükségük.

Az ív rövid története

Az ókori Mezopotámia építői már 2500 előtt is használtak korai, ívszerű formákat, bár ezek többsége konzolos falazással készült: a köveket úgy rakták egymásra, hogy minden réteg túlnyúlt az alatta lévőn, nem pedig valódi görbe ívként. A rómaiak a félkörívet szabványos építési módszerré fejlesztették, és vízvezetékekben, hidakban, valamint olyan épületekben alkalmazták, mint a Colosseum. A középkori európai építők kialakították a csúcsíves gótikus ívet, amely magasabb és könnyebb szerkezetek építését tette lehetővé. A későbbi építészek pontos arányokra alapozva visszatértek a félköríves formákhoz, a modern anyagok, például az acél és a vasbeton pedig ma már sokkal nagyobb távolságok áthidalását teszik lehetővé.

Gyakran ismételt kérdések

Mi a különbség az ív magassága és a teljes magasság között?

A magasság a támaszvonal és az ív görbéjének teteje közötti függőleges távolság. A teljes magasság néha egy nyílás teljes magasságát jelenti, beleértve a támaszvonal alatti egyenes falat is.

Minden ívtípushoz használható ez a számító?

Nem. Csak köríves ívekre használható, amelyek egy kör egy szakaszának alakját követik. Az elliptikus, parabolikus, gótikus és láncgörbeívek más görbéket követnek, ezért külön képletekre van szükségük.

Mi a kapcsolat a fesztávolság és a sugár között félkörív esetén?

Félkörívnél a sugár a fesztávolság fele, a magasság pedig megegyezik a sugárral. Az ív pontosan egy kör felét alkotja.

Miért nem lehet a fesztávolság nagyobb a sugár kétszeresénél?

A sugár kétszeresével megegyező fesztávolság már félkört eredményez, amely az adott sugarú kör esetén a lehető legszélesebb ív. Ennél nagyobb fesztávolság egyáltalán nem férne el a körön.

Miért nem lehet a magasság nagyobb a sugár kétszeresénél a fesztávolság-számítási módban?

A magasságot ugyanazon kör rugóvonalától az ív legmagasabb pontjáig mérjük. A sugár kétszerese a kör teljes magassága, ezért ennél nagyobb magasság esetén az ív teteje teljesen kívül esne a körön. A sugár és a sugár kétszerese közötti magasság megfelelő. Ilyenkor az ív több mint félkört alkot, ami a patkóívek jellemző formája.

Milyen mértékegységeket használ a számító?

Bármely következetesen használt mértékegység megfelelő — hüvelyk, láb, méter vagy centiméter. Minden értéket ugyanabban a mértékegységben adjon meg, így az eredmények is ugyanabban a mértékegységben jelennek meg, a terület pedig annak négyzetében.