Másodfokú Egyenlet Megoldó - Gyökök Számítása ax² + bx + c = 0 egyenletben

Mi a másodfokú egyenlet?

A másodfokú egyenlet $ax^2 + bx + c = 0$ alakú egyenlet, ahol $a$, $b$ és $c$ számok, $a$ pedig nem nulla. Az oldalon található másodfokúegyenlet-megoldó a felhasználó által megadott $a$, $b$ és $c$ együtthatók alapján meghatározza $x$ azon értékét vagy értékeit, amelyek mellett az egyenlet igaz.

Ha $a$ nulla lenne, az $x^2$-es tag eltűnne, és az egyenlet másodfokú helyett elsőfokúvá válna. Ezért a számológép megköveteli, hogy $a \neq 0$ legyen, és hibát jelez, ha $a = 0$.

A másodfokú egyenlet megoldóképlete

Az $ax^2 + bx + c = 0$ alakú minden másodfokú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

A $\pm$ jel két külön számítást jelent: az egyiket pluszjellel, a másikat mínuszjellel kell elvégezni. Ezért lehet egy másodfokú egyenletnek két különböző megoldása.

A négyzetgyök alatti kifejezést, $b^2 - 4ac$, diszkriminánsnak nevezzük. Általában $\Delta$ jelöli (ez a görög delta betű). Már önmagában a diszkrimináns megmutatja, hány valós megoldása van az egyenletnek, még a számítás további részének elvégzése előtt.

A gyökök kiszámítása

1. Írja fel az egyenletet standard alakban: $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Azonosítsa az $a$, $b$ és $c$ együtthatókat.
3. Számítsa ki a diszkriminánst: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Ha $\Delta$ pozitív, számítsa ki mindkét gyököt a következő képlettel: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Ha $\Delta$ nulla, számítsa ki az egyetlen gyököt a következő képlettel: $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Ha $\Delta$ negatív, az egyenletnek nincs valós gyöke, mert negatív számnak nincs valós négyzetgyöke.

Az oldalon található számológép automatikusan elvégzi ezeket a lépéseket. Az együtthatók értéke $-10^{10}$ és $10^{10}$ közé eshet, az eredményeket pedig a rendszer a választott számú tizedesjegyre kerekíti, 0 és 10 között.

Mit jelent a diszkrimináns?

Ez a számológép „nincsenek valós gyökök” üzenetet jelenít meg, ha $\Delta$ negatív. Komplex gyököket nem számít ki (ezek olyan számok, amelyekben szerepel $i = \sqrt{-1}$).

Kidolgozott példa

Oldja meg a következő egyenletet: $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Ebben az esetben $a = 1$, $b = 5$ és $c = 6$.

Először határozza meg a diszkriminánst:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Mivel $\Delta$ pozitív, az egyenletnek két valós gyöke van:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Ez tényezőkre bontással ellenőrizhető: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, ami akkor nulla, ha $x = -2$ vagy $x = -3$.

Egy második példa negatív diszkriminánst mutat. Az $x^2 + x + 1 = 0$ egyenlet esetén $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, ezért $\Delta = 1 - 4 = -3$. Mivel $\Delta$ negatív, az egyenletnek nincsenek valós gyökei.

A parabola, a csúcspont és a szimmetriatengely

Az $f(x) = ax^2 + bx + c$ grafikonja egy parabolának nevezett görbe. Ha $a$ pozitív, a parabola felfelé nyílik, és van egy legalacsonyabb pontja. Ha $a$ negatív, lefelé nyílik, és van egy legmagasabb pontja. Ezt a legalacsonyabb vagy legmagasabb pontot csúcspontnak nevezzük.

A csúcspont helye:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

A csúcsponton átmenő függőleges egyenest, $x = -\dfrac{b}{2a}$, szimmetriatengelynek nevezzük, mert a parabola két fele erre tükrözve egymásnak felel meg. Az egyenlet valós gyökei azok a pontok, ahol a parabola metszi az x-tengelyt, ezért a szimmetriatengely két oldalán, attól azonos távolságra helyezkednek el.

A számológép ezt a parabolát az eredmény mellett rajzolja meg. Megjelöli a görbén a csúcspontot és az összes valós gyököt, és szükség esetén kiszélesíti az ábrázolt tartományt, hogy minden gyök látható maradjon.

A másodfokú egyenletek alkalmazási területei

A másodfokú egyenletek számos valós helyzetet írnak le. A fizikában a feldobott tárgy magasságának időbeli változását a $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$ egyenlet írja le, és az egyenlet $t$ szerinti megoldása megadja, mikor ér földet a tárgy. A mérnöki gyakorlatban a parabola alakú formák, például a parabolaantennák és a híd kábelei, azért jelennek meg, mert ilyen módon fókuszálják vagy osztják el az erőt. A számítógépes grafikában a sugárkövető programok másodfokú egyenleteket oldanak meg annak meghatározására, hogy egy egyenes hol metszi a gömböt.

Rövid története

A babiloni matematikusok már körülbelül 2000 évvel i. e. konkrét másodfokú problémákat oldottak meg geometriai módszerekkel, algebra használata nélkül. Az olyan görög matematikusok, mint Eukleidész, szintén geometriai módszerekkel foglalkoztak a másodfokú egyenletekkel. Körülbelül 600 évvel i. sz. Brahmagupta indiai matematikus kifejezett képletet adott a gyökökre, beleértve a negatív megoldásokat is. Körülbelül 800 évvel i. sz. al-Hvárizmi perzsa matematikus egy könyvben rendszerezett módszereket írt le a másodfokú egyenletek megoldására; ennek címe adta az „algebra” szó alapját. A másodfokú egyenlet megoldóképletének modern szimbolikus alakja később vált szabványossá, az algebrai jelölésnek a reneszánsz idején bekövetkező fejlődésével.

Gyakran ismételt kérdések

Mi történik, ha az a együtthatóhoz 0 értéket adok meg? A számológép hibát jelez, mert az $a = 0$ az egyenletet elsőfokúvá alakítja: $bx + c = 0$, amelyet másképpen kell megoldani.

Miért nincs néha egy egyenletnek valós gyöke? Ez akkor történik, ha a diszkrimináns, $b^2 - 4ac$, negatív. Negatív számnak nincs valós négyzetgyöke, ezért a képlet nem adhat valós értéket $x$-re. Az egyenletnek továbbra is két komplex gyöke van, de ez a számológép nem számítja ki őket.

Mi a különbség a gyök és a megoldás között? Semmi. Mindkét szó $x$ olyan értékére utal, amely az egyenletet nullával teszi egyenlővé. A „gyök” arra utal, ahol a grafikon metszi az x-tengelyt, a „megoldás” pedig az algebrai összefüggésre.

Hány tizedesjegyet választhatok? 0 és 10 között. A mindennapi feladatokhoz általában két vagy három tizedesjegy elegendő.

Megadhatok nagyon nagy együtthatókat? Az együtthatóknak $-10^{10}$ és $10^{10}$ közé kell esniük. Az ezen a tartományon kívüli értékek kerekítési hibákat okozhatnak, ezért a rendszer elutasítja őket.

Meg tudja találni ez a számológép a komplex gyököket? Nem. Ha a diszkrimináns negatív, „nincsenek valós gyökök” üzenetet jelenít meg a komplex számok kiszámítása helyett.

Hivatkozások

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. NIST Digital Library of Mathematical Functions, §1.11, Algebra: Quadratic Equation