Young-Laplace Egyenlet Megoldó | Felületi Nyomás

Mi a Young–Laplace-egyenlet?

A Young–Laplace-egyenlet a folyadékmechanika egyik képlete, amely megadja a két folyadék közötti görbült határfelületen fellépő nyomáskülönbséget, például egy vízcsepp vagy szappanbuborék felszínén. Megmutatja, hogy ez a nyomáskülönbség a folyadék felületi feszültségétől és a határfelület görbületének mértékétől függ. Az egyenlet megmagyarázza, miért alakul ki túlnyomás a cseppekben és buborékokban, és miért nagyobb a kisebbek belső nyomása a nagyobbakénál.

Nevét Thomas Youngról és Pierre-Simon Laplace-ról kapta, akik a kapcsolatot az 1800-as évek elején egymástól függetlenül írták le.

A Young–Laplace-egyenlet képlete

Az egyenlet általános alakja:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ a határfelületen fellépő nyomáskülönbség, pascalban (Pa) megadva
• $\gamma$ (gamma) a folyadék felületi feszültsége, newton per méterben (N/m) megadva
• $R_1$ és $R_2$ a felület két fő görbületi sugara, méterben (m) megadva

Egy felület különböző irányokban eltérően görbül. Az $R_1$ és $R_2$ két egymásra merőleges irány menti görbületet ír le. Gömb esetén, például egy csepp vagy buborék esetén, $R_1$ egyenlő $R_2$-vel, ezért a képlet egyszerűsödik:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Előjel-konvenció

A nyomás mindig nagyobb egy görbült határfelület konkáv oldalán, vagyis azon az oldalon, amelytől a felület elfelé domborodik. Egy csepp vagy buborék esetén ez azt jelenti, hogy a belső nyomás nagyobb a külsőnél. A sugarat akkor tekintjük pozitívnak, ha a görbületi középpont a nagyobb nyomású oldalon van. Ha a felület valamelyik irányban az ellenkező módon görbül, az adott sugarat negatívnak tekintjük. A nyereg alakú határfelületnek, például két érintkező szemcse közötti folyadéknyaknak, egy pozitív és egy negatív sugara van, ezért a két tag részben kioltja egymást.

Ez a számológép csak pozitív sugarakat használ.

Különleges esetek

• Sík felület: ahogy a sugár a végtelenhez tart, a hozzá tartozó tag nullához közelít. A tökéletesen sík határfelületen egyáltalán nincs nyomáskülönbség.
• Henger: egy hosszú hengeres felület, például a fúvókából kilépő folyadéksugár, csak egy irányban görbül. Az egyik sugár a henger sugara, a másik pedig a hossza mentén végtelen, ezért a képlet erre egyszerűsödik: $\Delta P = \gamma / R$. Ez az azonos sugarú gömb nyomáskülönbségének a fele.
• Nagyon kis méretek: nagyjából 10–20 nanométer alatt további hatások, például a vonalfeszültség, jelentőssé válnak, és az egyszerű képlet pontossága csökken.

A nyomáskülönbség kiszámítása a Young–Laplace-egyenlettel

1. Határozza meg a folyadék felületi feszültségét N/m-ben, a vizsgált hőmérsékleten. A felületi feszültség a hőmérséklet emelkedésével csökken.
2. Mérje meg vagy becsülje meg az első fő görbületi sugarat, $R_1$-et, méterben.
3. Mérje meg vagy becsülje meg a második fő görbületi sugarat, $R_2$-t, méterben. Gömb esetén használja ugyanazt az értéket, mint $R_1$ esetében. Henger esetén a végtelen helyettesítésére használjon nagyon nagy számot.
4. Szorozza meg a felületi feszültséget az $1/R_1$ és $1/R_2$ összegével. Az eredmény a nyomáskülönbség pascalban.

Minden értéket SI-egységekben használjon. Ha például a millimétert a méterrel keveri, az eredmény ezerszeres eltérést mutat.

Megoldott példa

Vegyünk egy 1 milliméter sugarú (0,001 m) gömb alakú vízcseppet, amelynek felületi feszültsége 0,072 N/m; ez a víz szobahőmérséklet körüli jellemző értéke.

Mivel a csepp gömb alakú, $R_1 = R_2 = R$, ezért:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

A csepp belsejében a nyomás 144 Pa-lal nagyobb a környező levegő nyomásánál. Ez a normál légköri nyomáshoz, körülbelül 101 325 Pa-hoz képest kicsi, de a hatás gyorsan növekszik, ahogy a csepp zsugorodik. Egy tized akkora, 0,1 mm sugarú cseppben a nyomáskülönbség tízszer nagyobb: 1 440 Pa. Egy 0,01 mm sugarú cseppben a nyomáskülönbség eléri a 14 400 Pa-t, ami a légköri nyomás több mint 14%-a.

Az egyenlet alkalmazási területei

• Cseppek és buborékok: a kis cseppekben uralkodó nagyobb nyomás hajtja az Ostwald-féle érést, amelynek során az emulzióban lévő kisebb cseppek zsugorodnak, a nagyobbak pedig növekednek, mivel a tartalmuk a nagyobb nyomású helyről a kisebb nyomású felé diffundál.
• Kapilláris jelenség: a keskeny cső belsejében lévő görbült folyadékfelszín felfelé húzza a folyadékot. Ezért emelkedik a víz a papírtörlőben és a keskeny üvegcsövekben.
• Légzés: a tüdőben található apró légzsákok, az úgynevezett alveolusok, kis buborékokhoz hasonlóan viselkednek. A tüdő felületaktív anyagának nevezett bevonat csökkenti a felületi feszültséget, így a kis alveolusok nem esnek össze az egyenlet által előre jelzett nyomás hatására. Azoknál a koraszülötteknél, akiknek szervezetében nincs elegendő felületaktív anyag, emiatt légzési problémák alakulhatnak ki.
• Tintasugaras nyomtatás: a nyomtató fúvókái néhány tíz mikrométer átmérőjű cseppeket hoznak létre, amelyeknél a görbületből származó nyomás elég nagy ahhoz, hogy befolyásolja a tinta távozását a fúvókából.
• Anyagtudomány: a folyadékok felületnedvesítését és a vékony bevonatok viselkedését mérő műszerek az egyenlet segítségével kapcsolják össze a csepp alakját a felületi energiájával.

Története

Az emberek már jóval azelőtt megfigyelték, hogy a folyadékok felemelkednek a keskeny csövekben, hogy bárki megmagyarázta volna ennek okát. Az 1700-as évek elején Francis Hauksbee kísérletileg kimutatta, hogy a keskenyebb csövekben nagyobb a kapilláris emelkedés, 1718-ban pedig James Jurin leírta, hogy az emelkedés fordítottan arányos a cső átmérőjével.

Thomas Young egy 1805-ben megjelent tanulmányban magyarázta meg a mögöttes fizikát: a felületi feszültséget a folyadék egyik tulajdonságaként vezette be, és összekapcsolta a görbült felületeken fellépő nyomással, bár tárgyalása főként leíró jellegű volt. 1806-ban Pierre-Simon Laplace a differenciálszámítás segítségével kidolgozta a matematikai alakot, és Youngtól függetlenül ugyanarra az összefüggésre jutott. Közös munkájukból alakult ki a Young–Laplace-egyenlet. Későbbi tudósok, köztük Carl Friedrich Gauss és Joseph Plateau, az 1800-as évek során ellenőrizték és továbbfejlesztették az elméletet.

Gyakran ismételt kérdések

Mit számít ki a Young–Laplace-egyenlet? A két folyadék közötti görbült határfelületen fellépő nyomáskülönbséget számítja ki a folyadék felületi feszültsége és a határfelület görbülete alapján.

Miért nagyobb a nyomás a kisebb csepp belsejében? A felületi feszültség a csepp pereme mentén húz, és ez a húzóerő a sugárral együtt növekszik. A nyomás által kifejtett erő hatásos felülete a sugár négyzetével arányosan nő. A két hatás egyensúlya a következő összefüggést adja: $\Delta P = 2\gamma/R$, ezért a nyomáskülönbség fordítottan arányos a sugárral: a sugár felezése megkétszerezi a nyomáskülönbséget.

Hogyan befolyásolja a hőmérséklet az egyenletet? A hőmérséklet megváltoztatja a felületi feszültség értékét, amely a hőmérséklet emelkedésével csökken. Víz esetén a felületi feszültség körülbelül 0,073 N/m-ről 20 °C-on nagyjából 0,063 N/m-re csökken 80 °C-on, ami Celsius-fokonként körülbelül 0,17 mN/m-es csökkenés. A szobahőmérsékletű víz felületi feszültsége nagyobb, mint a forró vízé, ezért ha forró rendszerhez szobahőmérsékleti értéket használunk, túlbecsüljük a nyomáskülönbséget.

Az egyenlet gömbtől eltérő alakokra is alkalmazható? Igen. Az általános alak, amelyben a két sugár $R_1$ és $R_2$ külön szerepel, bármely görbült felületre alkalmazható, beleértve az ellipszoidokat és a nyereg alakú határfelületeket is. Csak az egyszerűsített $2\gamma/R$ alak korlátozódik gömbökre.

Miben különbözik a Young–Laplace-egyenlet a Young-egyenlettől? A Young–Laplace-egyenlet a görbült határfelület által okozott nyomáskülönbséget adja meg. A Young-egyenlet, amely szintén Thomas Youngtól származó különálló összefüggés, a csepp és szilárd felület találkozásakor kialakuló peremszöget adja meg a három érintett anyag felületi energiái alapján. Különböző jelenségeket írnak le, és néha együtt használják őket egy felületen nyugvó csepp elemzésére.

Milyen kicsi lehet egy csepp, mielőtt az egyenlet érvényét veszti? Az egyenlet nagyjából 1 mikrométerig pontos marad. Körülbelül 10–20 nanométer alatt az egyenlet által figyelmen kívül hagyott további erők, köztük a vonalfeszültség és a felületek közötti molekuláris léptékű erők, már elég nagyok ahhoz, hogy számítsanak, ezért részletesebb modellekre van szükség.

Hivatkozások

1. Young, T. (1805). „An Essay on the Cohesion of Fluids.” Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P. S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, a 10. könyv kiegészítése.
3. de Gennes, P. G., Brochard-Wyart, F. és Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A. W. és Gast, A. P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6. kiadás). Wiley-Interscience.