Trigonometrikus Függvény Rajzoló - Sin, Cos, Tan Vizualizáció

Mi az a trigonometrikusfüggvény-ábrázoló?

A trigonometrikusfüggvény-ábrázoló olyan eszköz, amely megrajzolja a szinusz-, koszinusz- vagy tangensfüggvény görbéjét, és néhány, paraméternek nevezett szám módosításával lehetővé teszi az alakjának megváltoztatását. Egy csúszka elmozdítása azonnal újrarajzolja a grafikont, így könnyebb megfigyelni, hogyan változtatja meg a hullámot az amplitúdó, a frekvencia és a fáziseltolás.

A három alapvető trigonometrikus függvény

A szinusz, a koszinusz és a tangens egy derékszögű háromszög oldalainak arányaiból származik. A 1 sugarú, origó középpontú körön (az egységkörön) a sin(x) az x szögű pont magassága, a cos(x) pedig a pont vízszintes koordinátája. A tangens a sin(x) / cos(x) aránya.

A szinusz páratlan függvény: sin(−x) = −sin(x). A koszinusz páros függvény: cos(−x) = cos(x). A koszinusz egyszerűen a szinusz balra π/2 radiánnal (90 fokkal) eltolt változata.

A tangensnek függőleges aszimptotái vannak: ezek olyan egyenesek, amelyekhez a görbe egyre közelebb kerül, de soha nem érinti őket. Ezek az x = π/2 + nπ helyeken találhatók, ahol n tetszőleges egész szám. Mivel tan(x) = sin(x) / cos(x), és ezekben a pontokban a cos(x) értéke 0, az arány ott nincs értelmezve.

A trigonometrikus függvény képlete

Az ábrázoló ilyen alakú függvényeket rajzol:

f(x) = A sin(Bx + C)

Ugyanezt az alakot használja a koszinusz- és a tangensfüggvényhez is, ahol a sin helyére cos, illetve tan kerül. Minden betű egy módosítható paraméter:

• A (amplitúdó) a hullám magasságát adja meg, a középvonaltól a csúcsig mérve. Az ábrázoló a szinusz- és koszinuszfüggvény esetében 0,1 és 5 közötti, a tangensfüggvény esetében pedig 0,1 és 2 közötti értékeket engedélyez.
• B (frekvencia) azt adja meg, hogy az x-tengely egy adott szakaszára hány teljes ciklus fér el. A nagyobb B összenyomja a hullámot. Az ábrázoló 0,1 és 5 közötti értékeket engedélyez.
• C (fáziseltolás) az egész görbét balra vagy jobbra tolja anélkül, hogy megváltoztatná az alakját. Az ábrázoló −π és π közötti, hozzávetőlegesen −3,14 és 3,14 közötti értékeket engedélyez.

A pozitív fáziseltolás balra, a negatív jobbra mozgatja a grafikont.

A trigonometrikusfüggvény-ábrázoló használata

1. Válasszon ki egy függvényt – szinuszt, koszinuszt vagy tangenset – a választómezőben.
2. Mozgassa az amplitúdó csúszkáját a hullám magasságának módosításához.
3. Mozgassa a frekvencia csúszkáját a hullám összenyomásához vagy megnyújtásához.
4. Mozgassa a fáziseltolás csúszkáját a görbe oldalirányú eltolásához.
5. Olvassa el a csúszkák alatt megjelenő képletet, majd nyomja meg a „Copy” gombot a szövegként való másolásához.

A grafikon azonnal frissül, amint egy csúszka elmozdul. A tangens esetében minden aszimptotánál kis rések jelennek meg a vonalban. Ez várható jelenség, nem hiba.

A csúszkák szélsőértékeinek vizsgálata

A hullám maximális magasságának megfigyeléséhez állítsa az amplitúdót az eszköz által engedélyezett legnagyobb értékre: szinusz vagy koszinusz esetén 5-re, tangens esetén 2-re. A csaknem teljesen lapos hullám megfigyeléséhez állítsa a frekvenciát a legalacsonyabb értékre, 0,1-re. Ha egyszerre csak egy csúszkát módosít, könnyebb megállapítani, melyik paraméter okozta az egyes változásokat.

Egy érték kézi kiszámítása

Vegyünk egy olyan szinuszfüggvényt, amelynek amplitúdója A = 2, frekvenciája B = 3, fáziseltolása pedig C = π/4:

f(x) = 2 sin(3x + π/4)

Az f(π/6) meghatározásához először számítsuk ki a szinuszfüggvényen belüli szöget:

3 × (π/6) = π/2

π/2 + π/4 = 3π/4

Ezután számítsuk ki a szinuszt, és szorozzuk meg az amplitúdóval:

f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1,414

A trigonometrikus hullámok előfordulása

Számos, sima, oda-vissza ismétlődő mozgást végző jelenség a szinuszhullámhoz közeli görbét követ: ilyen a hang, a váltakozó elektromos áram, az óceán árapálya, az inga lengése és a nappali világosság időtartama egy év során. A mérnökök szinusz- és koszinuszfüggvényekkel írják le és jelzik előre az ilyen mintázatokat. A számítógépes animátorok ugyanezeket a görbéket használják a mozgás simábbá tételére, például egy fel-le mozgó járásciklus vagy egy fokozatosan gyorsuló és lassuló kameramozgás esetén.

Gyakran ismételt kérdések

Mi a különbség a szinusz, a koszinusz és a tangens között?

A szinusz és a koszinusz egyaránt −1 és 1 között változik, periódusuk 2π, de a koszinusz a ciklus minden pontját egy negyed fordulattal (π/2) korábban éri el, mint a szinusz. A tangens a szinusz és a koszinusz hányadosa. Periódusa π, értékkészlete nem korlátos, és függőleges aszimptotái vannak minden olyan helyen, ahol a koszinusz értéke 0.

Mit szabályoz az amplitúdó?

Az amplitúdó (A) azt adja meg, hogy a hullám milyen messzire nyúlik a középvonala fölé és alá. Ebben az ábrázolóban a szinusz- és koszinuszfüggvény amplitúdója 0,1 és 5, a tangensfüggvényé pedig 0,1 és 2 között lehet.

Mit szabályoz a frekvencia?

A frekvencia (B) azt adja meg, hogy az x-tengely egy rögzített szakaszán hány hullámciklus jelenik meg. Nagyobb frekvencia esetén ugyanabba a térbe több ciklus sűrűsödik. Az ábrázoló 0,1 és 5 közötti értékeket engedélyez.

Miért tolja a pozitív fáziseltolás balra a grafikont, nem pedig jobbra?

Mert a fáziseltolásként szolgáló C érték az adott szög mérése előtt, a függvényen belül kerül hozzáadásra: f(x) = sin(Bx + C). A pozitív C azt jelenti, hogy egy adott értéket a szög kisebb x-nél ér el, ezért a görbe ugyanaz a pontja korábban jelenik meg – balra tolódik, nem jobbra.

Miért vannak rések a tangens grafikonján?

A tangens nincs értelmezve ott, ahol a koszinusz értéke 0; ez az x = π/2 + nπ helyeken következik be. Az ábrázoló ezeken a pontokon megszakítja a vonalat, ahelyett hogy a résen keresztül hamis, egyenes összeköttetést rajzolna.

Fokban vagy radiánban működik az ábrázoló?

Radiánban. Egy teljes fordulat 2π radián, ami 360 fokkal egyenlő. A fok radiánná alakításához szorozza meg az értéket π/180-del.