Arrhenius-egyenlet Kalkulátor - Reakciósebességek gyors előrejelzése

Mi az Arrhenius-egyenlet?

Az Arrhenius-egyenlet leírja, hogyan változik egy kémiai reakció sebessége a hőmérséklettel. A svéd tudós, Svante Arrhenius 1889-ben javasolta. A vegyészek arra használják, hogy előre jelezzék, mennyivel gyorsabban megy végbe egy reakció melegítéskor, illetve mennyivel lassabban hűtéskor.

Az Arrhenius-egyenlet képlete

$k = A \times e^{-E_a/RT}$

Ahol:

• $k$ a sebességi állandó, a reakció lejátszódásának sebességét mérő szám
• $A$ az exponenciális előtti tényező, más néven frekvenciatényező. Azt fejezi ki, milyen gyakran ütköznek úgy a molekulák, hogy az ütközés reakcióhoz vezethet
• $E_a$ az aktiválási energia, vagyis a molekulák reakciójához szükséges minimális energia; értékét általában kilojoule/molban (kJ/mol) adják meg
• $R$ az egyetemes gázállandó, értéke 8,31446261815324 J/(mol·K). Az SI 2019. évi felülvizsgálata óta ez az érték egzakt, mivel két definiált állandó szorzata
• $T$ az abszolút hőmérséklet kelvinben

A vegyészek gyakran használják az egyenlet logaritmikus alakját az aktiválási energia laboratóriumi adatokból való meghatározására:

$\ln(k) = \ln(A) - \frac{E_a}{R} \times \frac{1}{T}$

Az ln(k) értékének 1/T függvényében való ábrázolása egyenest ad. Ennek az egyenesnek a meredeksége $-E_a/R$. Ezt Arrhenius-ábrának nevezik.

A reakció sebességi állandójának kiszámítása

1. Határozza meg az aktiválási energiát kJ/molban egy referencia-táblázatból vagy több hőmérsékleten végzett laboratóriumi mérésekből.
2. Alakítsa át a hőmérsékletet kelvinre. Celsiusban megadott értékhez adjon hozzá 273,15-et.
3. Határozza meg az exponenciális előtti tényezőt. Ezt gyakran tudományos jelöléssel írják fel, például: 1,0 × 10¹³ s⁻¹.
4. Az aktiválási energiát szorozza meg 1000-gyel, hogy joule/molban kapja meg; így a mértékegység megegyezik a gázállandó R mértékegységével.
5. Ossza el a J/molban megadott aktiválási energiát R és T szorzatával.
6. Emelje az e számot az így kapott eredmény negatív kitevőjére, majd szorozza meg A-val.

Ez a számológép automatikusan elvégzi a 4–6. lépést. Adja meg az aktiválási energiát, a hőmérsékletet és az exponenciális előtti tényezőt, a számológép pedig visszaadja a k sebességi állandót.

Mindhárom bemeneti értéknek nullánál nagyobbnak kell lennie, ezért a számológép nulla vagy negatív érték esetén nem jelenít meg eredményt. Az eredmény öt értékes jeggyel, tudományos jelöléssel jelenik meg. A 50 kJ/mol, 298 K és 1,0 × 10¹³ s⁻¹ kiindulási értékekkel az eredmény: 1,7217 × 10⁴ s⁻¹.

Megoldott példa

Vegyünk egy olyan reakciót, amelynek aktiválási energiája 75 kJ/mol, 350 K hőmérsékleten megy végbe, és exponenciális előtti tényezője 5,0 × 10¹² s⁻¹.

Először alakítsuk át az aktiválási energiát joule/molra: 75 kJ/mol megfelel 75 000 J/molnak.

$k = 5.0 \times 10^{12} \times e^{-75{,}000/(8.31446261815324 \times 350)}$

R és T szorzata 2910,06 J/mol, így a kitevő értéke -25,7726.

$k = 5.0 \times 10^{12} \times e^{-25.7726}$

$k = 5.0 \times 10^{12} \times 6.4133 \times 10^{-12}$

$k \approx 32.07 \text{ s}^{-1}$

A sebességi állandó 350 K hőmérsékleten körülbelül 32,07 s⁻¹. A számológép ezt így jeleníti meg: 3,2066 × 10¹.

Ha túl korán kerekítjük a kitevőt, az megváltoztatja az eredményt. Az exponenciális függvény meredek, ezért már az is körülbelül 0,3%-kal eltolja k értékét, ha -25,7726 értékét -25,77-re csonkoljuk.

Miért változtatja meg a hőmérséklet a reakció sebességét?

A molekuláknak elegendő energiával kell ütközniük ahhoz, hogy reagáljanak. Bármely adott hőmérsékleten csak a molekulák egy része rendelkezik ekkora energiával. Az egyenletben szereplő $e^{-E_a/RT}$ exponenciális tag ezt a hányadot jelöli.

A hőmérséklet emelése több molekulának biztosít elegendő energiát a reakcióhoz, így ez a hányad nő, és a reakció felgyorsul. Mivel az összefüggés exponenciális, nem pedig lineáris, már a hőmérséklet kis emelkedése is észrevehetően növelheti a sebességet, különösen nagy aktiválási energiájú reakciók esetében. Ugyanez a hatás magyarázza, hogy az élelmiszer hűtése – ahogyan a hűtőszekrény teszi – lelassítja a romlást okozó reakciókat.

Hol használják az Arrhenius-egyenletet?

• Vegyészmérnökség. A mérnökök az ipari reaktorok üzemi hőmérsékletének kiválasztására használják.
• Gyógyszeripar. A gyógyszergyártók rövid ideig magas hőmérsékleten tárolják a mintákat, megmérik, milyen gyorsan bomlanak le, majd az egyenlet segítségével megbecsülik az eltarthatóságot normál tárolási hőmérsékleten.
• Élelmiszer-tudomány. Megmagyarázza, hogy a meleg étel miért romlik meg gyorsabban, mint a hűtött étel, és iránymutatást ad a pasztőrözés időtartamához és hőmérsékletéhez.
• Anyagtudomány. Segít előre jelezni, milyen gyorsan bomlanak le a műanyagok, a bevonatok és az elektronikai alkatrészek az üzemi hőmérsékletükön.
• Földtudomány. A talajtudósok ezzel modellezik, hogyan változtatja a felmelegedés annak sebességét, hogy a mikroorganizmusok szén-dioxidot bocsátanak ki a talajból.

Története

Svante Arrhenius (1859–1927) 1889-ben javasolta az egyenletet, miközben azt vizsgálta, hogyan függ a reakciók sebessége a hőmérséklettől. 1903-ban kémiai Nobel-díjat kapott, elsősorban az elektrolitikus disszociáció elméletéért. Az 1930-as években Henry Eyring és Michael Polanyi kidolgozta az átmenetiállapot-elméletet, amely szilárdabb elméleti alapot adott az Arrhenius-egyenlet exponenciális tagjának.

Az Arrhenius-egyenlet korlátai

Az egyenlet számos egyszerű reakciót jól ír le mérsékelt hőmérséklet-tartományban, de nem minden esetben alkalmazható:

• Az enzimek által katalizált reakciók magas hőmérsékleten lelassulnak, mert az enzim denaturálódik, ezért a sebesség nem nő tovább az egyenlet előrejelzésének megfelelően.
• Azok a reakciók, amelyek sebességét az szabja meg, milyen gyorsan diffundálnak egymás felé a molekulák, gyengébb hőmérsékletfüggést mutatnak, mint amit az egyenlet előre jelez.
• A könnyű atomokat, különösen hidrogént érintő reakciók alacsony hőmérsékleten gyorsabban mehetnek végbe az előre jelzettnél a kvantum-alagúthatás miatt.

Az ln(k) értékének 1/T függvényében készített, egyenes helyett görbülő ábra annak jele, hogy a reakció az adott hőmérséklet-tartományban nem követi az Arrhenius-egyenletet.

Gyakran ismételt kérdések

Milyen mértékegységeket használ az Arrhenius-egyenlet?

Az aktiválási energiát kJ/molban kell megadni, a számológép pedig J/molra alakítja át; a hőmérséklet kelvinben szerepel, az egyetemes gázállandó R értéke pedig 8,31446261815324 J/(mol·K). Az exponenciális előtti A tényező és a k sebességi állandó mindig azonos mértékegységű. A számológép az eredményt s⁻¹ mértékegységgel jelöli, ami elsőrendű reakció esetén helyes. Más reakciórendnél k ugyanazt a mértékegységet viseli, mint amelyben A-t megadták.

Miért kelvinben kell megadni a hőmérsékletet, nem pedig Celsius-fokban?

Az egyenlet a Boltzmann-eloszlásból származik, amely az energiát az abszolút nulla fokhoz viszonyítva méri. A kelvin-skála az abszolút nullánál kezdődik, ezért értelmezhető arányt ad az energia és a hőmérséklet között. A Celsius használata hibás eredményekhez vezetne.

Mit fejez ki az exponenciális előtti tényező?

Az elméletileg elérhető maximális sebességi állandót jelenti, vagyis azt az értéket, amelyet k elérne, ha minden molekuláris ütközés elegendő energiával járna a reakcióhoz. Figyelembe veszi, milyen gyakran ütköznek a molekulák, és hogy az ütközéskor megfelelően állnak-e egymáshoz képest.

Hogyan határozható meg az aktiválási energia kísérleti adatokból?

A sebességi állandó több hőmérsékleten történő megmérésével, az ln(k) értékének 1/T függvényében való ábrázolásával, majd a kapott egyenes meredekségének leolvasásával. Az aktiválási energia a meredekség −R-rel való szorzata.

A sebességi állandó azonos a reakciósebességgel?

Nem. A k sebességi állandó csak a hőmérséklettől és magától a reakciótól függ. A reakciósebesség a reaktánsok koncentrációjától is függ. Elsőrendű reakció esetén a sebesség k és a reaktáns koncentrációjának szorzata. Azonos reakciórendű és azonos koncentrációjú két reakció közül az a gyorsabb, amelyiknek nagyobb a k értéke.

Megjósolható az Arrhenius-egyenlettel a reakció sebessége bármely hőmérsékleten?

Csak azon a tartományon belül, amelyben a reakciómechanizmus változatlan marad. Az Ea és A meghatározásához használt hőmérsékleteken messze kívül végzett extrapoláció pontatlan eredményekhez vezethet, mivel a mechanizmus vagy a sebességmeghatározó lépés megváltozhat.