Dobozdiagram Kalkulátor - Ingyenes Box és Whisker Diagram Generátor

Mi a dobozdiagram?

A dobozdiagram, más néven doboz- és bajuszdiagram, olyan ábra, amely öt értékkel foglal össze egy adatsort: a minimum, az első kvartilis, a medián, a harmadik kvartilis és a maximum értékével. Megmutatja, hol helyezkedik el az adatok többsége, és jelzi a szokatlan, kiugró értékeket anélkül, hogy minden adatpontot felsorolna.

A dobozdiagram gyakori a statisztikában, a tudományban és az üzleti jelentésekben, mert lehetővé teszi több számsokaság gyors összehasonlítását.

Az ötszámos összefoglalás

A dobozdiagram öt számból készül, amelyeket az adatok növekvő sorrendbe rendezése után számítanak ki.

• Minimum: a legkisebb olyan érték, amely nem kiugró. Ez a számológép „Minimum (a kiugró értékek nélkül)” néven jelöli.
• Első kvartilis (Q1): az az érték, amelynél az adatok körülbelül egynegyede kisebb.
• Medián (Q2): az adatsor középső értéke.
• Harmadik kvartilis (Q3): az az érték, amelynél az adatok körülbelül háromnegyede kisebb.
• Maximum: a legnagyobb olyan érték, amely nem kiugró. Ez a számológép „Maximum (a kiugró értékek nélkül)” néven jelöli.

Ha egy adatsorban nincsenek kiugró értékek, ez a két érték egyszerűen a bevitt legkisebb és legnagyobb szám. Ha vannak kiugró értékek, akkor ezek a bajuszok végpontjai, így a bevitt legkisebb vagy legnagyobb szám külön jelenik meg a kiugró értékek listájában.

Az ábrán a doboz Q1-től Q3-ig terjed. A dobozban húzódó vonal a mediánt jelöli. A bajuszoknak nevezett vékony vonalak a doboztól a minimum és a maximum felé nyúlnak. A kiugró értékeket a bajuszokon kívül különálló pontok jelölik.

A dobozdiagram képlete

Egy növekvő sorrendbe rendezett, n értéket tartalmazó adatsor esetén:

Medián. Páratlan számú adat esetén a medián a középső érték:

$M = x_{(n+1)/2}$

Páros számú adat esetén a két középső érték átlaga:

$M = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$

ahol M a medián, az egy pozíciószámmal jelölt x pedig a rendezett adatok adott pozícióban lévő értéke.

Kvartilisek. Ossza fel a rendezett adatokat egy alsó és egy felső félre. Ha n páratlan, a mediánt hagyja ki mindkét félből. Ezután:

$Q_1 = M_l, \qquad Q_3 = M_u$

ahol $M_l$ az alsó fél mediánja, $M_u$ pedig a felső fél mediánja.

Ezt gyakran kizáró módszernek nevezik. Más módszerek is léteznek, és kis adatsoroknál kissé eltérő Q1- és Q3-értékeket adhatnak, de ez a számológép a kizárásos módszert használja.

Interkvartilis terjedelem (IQR)

$IQR = Q_3 - Q_1$

Határok és bajuszok. A határok jelölik a kiugró értékek határát:

$F_l = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad F_u = Q_3 + 1.5 \times IQR$

ahol $F_l$ az alsó kerítés, $F_u$ pedig a felső kerítés.

A bajusz nem pontosan a határnál áll meg. A legszélső olyan adatpontig tart, amely még a határokon belül helyezkedik el:

$W_l = \min\{x_i : x_i \geq F_l\}, \qquad W_u = \max\{x_i : x_i \leq F_u\}$

ahol $W_l$ az alsó bajusz, $W_u$ pedig a felső bajusz.

Kiugró értékek. Az alsó határ alatti vagy a felső határ feletti érték kiugró érték, amelyet különálló pontként ábrázolnak, nem pedig a bajusz részeként.

A dobozdiagram kiszámítása lépésről lépésre

1. Rendezze az adatokat a legkisebbtől a legnagyobbig.
2. Keresse meg a mediánt. Páratlan elemszám esetén ez a középső érték. Páros elemszám esetén a két középső érték átlaga.
3. Keresse meg Q1-et: az adatok alsó felének mediánját; páratlan elemszám esetén magát a mediánt hagyja ki.
4. Keresse meg Q3-at: az adatok felső felének mediánját, ugyanazt a szabályt alkalmazva.
5. Számítsa ki az IQR értékét Q3 és Q1 különbségeként.
6. Számítsa ki az alsó és a felső határt az IQR 1,5-szeresének felhasználásával.
7. Jelöljön kiugró értékként minden határon kívül eső értéket.
8. Állítsa be a bajuszokat a határokon belül maradó legkisebb és legnagyobb értékre.

Megoldott példa

Vegyük a következő, 11 értékből álló adatsort: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Az adatok már rendezve vannak.

11 érték esetén (ami páratlan), a medián a 6. érték: 40.

Az alsó fél értékei: 6, 7, 15, 36, 39 (öt érték, a medián kihagyásával). A medián a középső érték: Q1 = 15.

A felső fél értékei: 41, 42, 43, 47, 49. A medián a középső érték: Q3 = 43.

IQR = 43 − 15 = 28.

Alsó határ = 15 − 1,5 × 28 = −27. Felső határ = 43 + 1,5 × 28 = 85. Az adatsor minden értéke −27 és 85 közé esik, ezért nincsenek kiugró értékek, és a bajuszok a tényleges minimumig és maximumig érnek: min = 6, max = 49.

Hasonlítsuk most össze egy kiugró értéket tartalmazó adatsorral: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50. Ebben az esetben Q1 = 3,5, Q3 = 9,5, az IQR pedig 6, így a felső határ 9,5 + 1,5 × 6 = 18,5. A 50 érték a határ felett van, ezért kiugró értékként jelenik meg, a felső bajusz pedig 11-nél áll meg, amely a határon belül maradó legnagyobb érték, nem pedig 50-nél.

Hogyan kell értelmezni a dobozdiagramot?

A doboz az adatok középső 50%-át fedi le, ezért a széles doboz azt jelenti, hogy az adatok középső része nagyobb mértékben szóródik, a keskeny doboz pedig azt, hogy szorosan helyezkedik el. Ha a medián vonala közelebb van a doboz egyik széléhez, az adatok a hosszabb oldal felé hajlanak, vagyis ferde az eloszlásuk. A másiknál jóval hosszabb bajusz arra utal, hogy az adatok azon az oldalon jobban elnyúlnak. A bajuszokon kívüli pontok kiugró értékek, ezért gyakran érdemes alaposabban megvizsgálni őket, mivel valóban szélsőséges értékeket vagy adathibákat jelenthetnek.

Gyakori felhasználások

A dobozdiagramokat csoportok egymás melletti összehasonlítására használják, például több osztály teszteredményeinek, két beszállító szállítási idejének vagy egy kísérlet és egy kontrollcsoport mérési eredményeinek összevetésére. Mivel a dobozdiagram egy teljes eloszlást öt számba sűrít, több diagram is elhelyezhető egyetlen ábrán, így a csoportok szóródása és jellemző értékei könnyebben összehasonlíthatók, mint nyers adatok táblázata alapján.

A dobozdiagramok összehasonlítása más diagramokkal

A hisztogram részletesebben mutatja egy eloszlás teljes alakját, de sok csoport egyidejű összehasonlítására nehezebben használható. A hegedűdiagram sűrűségi görbével egészíti ki a dobozt, így pontosabban megmutatja, hol csoportosulnak az értékek. A szórásdiagram két változó kapcsolatát ábrázolja, amire a dobozdiagram nem képes. A megfelelő választás attól függ, hogy a cél a csoportok összehasonlítása (dobozdiagram), egyetlen eloszlás alakjának részletes vizsgálata (hisztogram vagy hegedűdiagram), vagy egy kapcsolat elemzése (szórásdiagram).

Története

John Tukey statisztikus az 1970-es években vezette be a dobozdiagramot, és 1977-es Exploratory Data Analysis című könyvében ismertette. Eredeti változata, amelyet néha vázlatos diagramnak neveznek, a mediánt, a kvartiliseket és a szélsőértékeket mutatta. 1978-ban Robert McGill, Tukey és Wayne Larsen statisztikusok leírták a rovátkolt változatot, amely a medián körül konfidenciaintervallumot is megjelenít. A kiugró értékek jelölésére szolgáló 1,5 × IQR szabály röviddel ezután vált általános konvencióvá.

Gyakran ismételt kérdések

Mire használják a dobozdiagramot? Megmutatja, hogyan oszlanak el az adatok, és jelzi a valószínűsíthető kiugró értékeket a minimum, Q1, a medián, Q3 és a maximum segítségével. Különösen hasznos több csoport egyetlen ábrán történő összehasonlítására.

Hogyan kell értelmezni a dobozdiagramot? A doboz Q1-től Q3-ig terjed, és az adatok középső felét fedi le. A dobozban lévő vonal a medián. A bajuszok a kiugró értéknek nem minősülő legszélső értékekig érnek, a bajuszokon kívüli értékeket pedig különálló pontok jelölik.

Hogyan lehet azonosítani a kiugró értékeket egy dobozdiagramon? Egy érték akkor kiugró, ha Q1 − 1,5 × IQR alá vagy Q3 + 1,5 × IQR fölé esik.

Mi a különbség a dobozdiagram és a hisztogram között? A dobozdiagram egy eloszlást öt számba és a kiugró értékekbe sűrít, ezért tömör és jól használható csoportok összehasonlítására. A hisztogram az értékek gyakoriságát mutatja intervallumonként, így részletesebben szemlélteti egyetlen eloszlás alakját.

Kezeli ez a számológép a kis adatsorokat? A számológépnek legalább öt számra van szüksége az ötszámos összefoglalás elkészítéséhez. A dobozdiagramok nagyobb adatsoroknál informatívabbak, mivel néhány értékből nehéz megítélni a szóródást vagy a kiugró értékeket.

Milyen bemenetet fogad el a számológép? Vesszővel, szóközzel vagy sortöréssel elválasztott számokat, így a táblázatkezelőből bemásolt oszlop is működik. A számnak nem minősülő elemeket a program elutasítja, nem pedig kihagyja, így egy elírás nem módosíthatja észrevétlenül az eredményt.

Mit jelent, ha egy dobozdiagram ferdének tűnik? Ha a medián közelebb van Q1-hez, az adatoknak hosszabb farka van a nagyobb értékek felőli oldalon. Ha közelebb van Q3-hoz, az adatoknak hosszabb farka van a kisebb értékek felőli oldalon.