T-teszt kalkulátor: Egymintás, Kétmintás és Páros Teszt

T-Próba Számológép

Bevezetés

A t-próba egy alapvető statisztikai eszköz, amelyet arra használnak, hogy meghatározzák, van-e szignifikáns különbség a csoportok átlagai között. Széles körben alkalmazzák különböző területeken, például pszichológiában, orvostudományban és üzletben a hipotézisek tesztelésére. Ez a számológép lehetővé teszi, hogy mindenféle t-próbát végezzen:

Egymintás t-próba: Megvizsgálja, hogy egyetlen csoport átlaga eltér-e egy ismert értéktől.
Kétmintás t-próba (független minták): Összehasonlítja két független csoport átlagait.
Páros t-próba: Összehasonlítja ugyanazon csoport átlagait különböző időpontokban (pl. kezelés előtt és után).

T-Próbák Típusai

Hogyan Használja Ezt a Számológépet

Válassza ki a t-próba típusát:
- Egymintás t-próba
- Kétmintás t-próba
- Páros t-próba
Adja meg a szükséges bemeneteket:
- Egymintás t-próba esetén:
  - Mintaátlag ( $\bar{x}$ )
  - Minta szórás ( $s$ )
  - Minta mérete ( $n$ )
  - Populációs átlag ( $\mu_0$ )
- Kétmintás t-próba esetén:
  - 1. minta átlaga ( $\bar{x}_1$ )
  - 1. minta szórása ( $s_1$ )
  - 1. minta mérete ( $n_1$ )
  - 2. minta átlaga ( $\bar{x}_2$ )
  - 2. minta szórása ( $s_2$ )
  - 2. minta mérete ( $n_2$ )
  - Variancia feltételezés: Válassza ki, hogy a varianciák egyenlőek vagy egyenlőtlenek.
- Páros t-próba esetén:
  - Különbségek adatai: Adja meg a páros különbségeket.
  - Alternatívaként adja meg a Különbségek átlagát ( $\bar{d}$ ), Különbségek szórását ( $s_d$ ) és Minta méretét ( $n$ ).
Állítsa be a szignifikancia szintet ( $\alpha$ ):
- A leggyakoribb választások a 0,05 a 95%-os konfidencia szinthez vagy a 0,01 a 99%-os konfidencia szinthez.
Válassza ki a teszt irányát:
- Kétoldalas teszt: Bármilyen különbség tesztelése.
- Egyoldalas teszt: Irányított különbség tesztelése (specifikálja, ha nagyobb vagy kisebb teszteléséről van szó).
Kattintson a "Számítás" gombra:
- A számológép megjeleníti:
  - T-statisztika
  - Fokszám
  - P-érték
  - Következtetés: El kell-e utasítani vagy el kell-e fogadni a nullhipotézist.

Feltételezések

A t-próba használata előtt győződjön meg arról, hogy a következő feltételezések teljesülnek:

Normális eloszlás: Az adatoknak körülbelül normális eloszlásúaknak kell lenniük.
Függetlenség: A megfigyeléseknek függetleneknek kell lenniük egymástól.
- A Kétmintás t-próba esetén a két csoportnak függetlennek kell lennie.
- A Páros t-próba esetén a különbségeknek függetleneknek kell lenniük.
Varianciák egyenlősége:
- A Kétmintás t-próba egyenlő varianciák mellett a két populáció varianciáinak egyenlőnek kell lennie (homoszkedaszticitás).
- Ha ez a feltételezés nem teljesül, használja a Welch t-próbát (egyenlőtlen varianciák).

Képlet

Egymintás t-próba

A t-statisztika kiszámítása:

t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}

$\bar{x}$ : Mintaátlag
$\mu_0$ : Populációs átlag a nullhipotézis alatt
$s$ : Minta szórás
$n$ : Minta mérete

Kétmintás t-próba (független minták)

Egyenlő varianciák feltételezése

t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}

Pooled szórás ( $s_p$ ):

s_p = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}

Egyenlőtlen varianciák (Welch t-próba)

t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}

Páros t-próba

t = \frac{\bar{d}}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}}

$\bar{d}$ : A különbségek átlaga
$s_d$ : A különbségek szórása
$n$ : Párak száma

Fokszámok

Egymintás és páros t-próba:

df = n - 1

Kétmintás t-próba egyenlő varianciák mellett:

df = n_1 + n_2 - 2

Welch t-próba:

df = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{\frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right)^2}{n_1 -1} + \frac{\left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{n_2 -1}}

Számítás

A számológép a következő lépéseket hajtja végre:

Számítsa ki a T-statisztikát a kiválasztott tesztnek megfelelő képlet alapján.
Határozza meg a fokszámokat (df).
Számítsa ki a P-értéket a t-statisztika és a df alapján:
- A t-eloszlást használja a valószínűség meghatározásához.
Hasonlítsa össze a P-értéket a szignifikancia szinttel ( $\alpha$ ):
- Ha $p \leq \alpha$ , elutasítja a nullhipotézist.
- Ha $p > \alpha$ , nem utasítja el a nullhipotézist.
Értelmezze az eredményeket:
- Adjon meg egy következtetést a teszt kontextusában.

Használati Esetek

Egymintás t-próba

Új gyógyszer hatékonyságának tesztelése:
- Meghatározni, hogy az új gyógyszerrel való gyógyulási idő átlagos eltér-e a megismert átlagos gyógyulási időtől.
Minőség-ellenőrzés:
- Ellenőrizni, hogy a gyártott alkatrészek átlagos hossza eltér-e a megadott szabványtól.

Kétmintás t-próba

A/B tesztelés a marketingben:
- Összehasonlítani a konverziós arányokat két különböző weboldal dizájn között.
Oktatási kutatás:
- Megvizsgálni, van-e különbség a tesztpontszámok között két tanítási módszer között.

Páros t-próba

Előtt és után tanulmányok:
- Értékelni a testsúlycsökkenést egy diétás program előtt és után.
Párosított alanyok:
- Összehasonlítani a vérnyomásméréseket a gyógyszer beadása előtt és után ugyanazon alanyoknál.

Alternatívák

Bár a t-próbák hatékonyak, vannak feltételezéseik, amelyek nem mindig teljesülnek. Alternatívák közé tartozik:

Mann-Whitney U teszt:
- Nem paraméteres alternatíva a kétmintás t-próbához, ha az adatok nem követik a normális eloszlást.
Wilcoxon aláírt rangteszt:
- Nem paraméteres megfelelője a páros t-próbának.
ANOVA (Varianciaelemzés):
- Használják, amikor több mintát hasonlítanak össze.

Történelem

A t-próbát William Sealy Gosset fejlesztette ki 1908-ban, aki a Guinness Sörgyárban dolgozott Dublinban, és álnéven, "Student" néven publikált. A tesztet a stout minőségének figyelemmel kísérésére tervezték, hogy meghatározzák, a minták megfelelnek-e a sörgyár szabványainak. A titoktartási megállapodások miatt Gosset az "Student" álnév használatára kényszerült, ami a "Student's t-próba" kifejezéshez vezetett.

Idővel a t-próba a statisztikai elemzés alapkövévé vált, széles körben tanítják és alkalmazzák különböző tudományos területeken. Megalapozta a bonyolultabb statisztikai módszerek kifejlesztését, és alapvető a következtetési statisztika területén.

Példák

Íme kód példák egy Egymintás t-próba végrehajtására különböző programozási nyelvekben:

Excel

1' Egymintás t-próba Excel VBA-ban
2Sub OneSampleTTest()
3    Dim sampleData As Range
4    Set sampleData = Range("A1:A9") ' Cserélje le a saját adatainak tartományára
5    Dim hypothesizedMean As Double
6    hypothesizedMean = 50 ' Cserélje le a saját hipotetikus átlagára
7
8    Dim sampleMean As Double
9    Dim sampleStdDev As Double
10    Dim sampleSize As Integer
11    Dim tStat As Double
12
13    sampleMean = Application.WorksheetFunction.Average(sampleData)
14    sampleStdDev = Application.WorksheetFunction.StDev_S(sampleData)
15    sampleSize = sampleData.Count
16
17    tStat = (sampleMean - hypothesizedMean) / (sampleStdDev / Sqr(sampleSize))
18
19    MsgBox "T-statisztika: " & Format(tStat, "0.00")
20End Sub
21

R

1## Egymintás t-próba R-ben
2sample_data <- c(51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51)
3t_test_result <- t.test(sample_data, mu = 50)
4print(t_test_result)
5

Python

1import numpy as np
2from scipy import stats
3
4## Egymintás t-próba Pythonban
5sample_data = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
6t_statistic, p_value = stats.ttest_1samp(sample_data, 50)
7print(f"T-statisztika: {t_statistic:.2f}, P-érték: {p_value:.4f}")
8

JavaScript

1// Egymintás t-próba JavaScriptben
2function oneSampleTTest(sample, mu0) {
3  const n = sample.length;
4  const mean = sample.reduce((a, b) => a + b) / n;
5  const sd = Math.sqrt(sample.map(x => (x - mean) ** 2).reduce((a, b) => a + b) / (n - 1));
6  const t = (mean - mu0) / (sd / Math.sqrt(n));
7  return t;
8}
9
10// Példa használat:
11const sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
12const tStatistic = oneSampleTTest(sampleData, 50);
13console.log(`T-statisztika: ${tStatistic.toFixed(2)}`);
14

MATLAB

1% Egymintás t-próba MATLAB-ban
2sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
3[h, p, ci, stats] = ttest(sampleData, 50);
4disp(['T-statisztika: ', num2str(stats.tstat)]);
5disp(['P-érték: ', num2str(p)]);
6

Java

1import org.apache.commons.math3.stat.inference.TTest;
2
3public class OneSampleTTest {
4    public static void main(String[] args) {
5        double[] sampleData = {51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51};
6        TTest tTest = new TTest();
7        double mu = 50;
8        double tStatistic = tTest.t(mu, sampleData);
9        double pValue = tTest.tTest(mu, sampleData);
10        System.out.printf("T-statisztika: %.2f%n", tStatistic);
11        System.out.printf("P-érték: %.4f%n", pValue);
12    }
13}
14

C#

1using System;
2using MathNet.Numerics.Statistics;
3
4class OneSampleTTest
5{
6    static void Main()
7    {
8        double[] sampleData = {51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51};
9        double mu0 = 50;
10        int n = sampleData.Length;
11        double mean = Statistics.Mean(sampleData);
12        double stdDev = Statistics.StandardDeviation(sampleData);
13        double tStatistic = (mean - mu0) / (stdDev / Math.Sqrt(n));
14        Console.WriteLine($"T-statisztika: {tStatistic:F2}");
15    }
16}
17

Go

1package main
2
3import (
4    "fmt"
5    "math"
6)
7
8func oneSampleTTest(sample []float64, mu0 float64) float64 {
9    n := float64(len(sample))
10    var sum, mean, sd float64
11
12    for _, v := range sample {
13        sum += v
14    }
15    mean = sum / n
16
17    for _, v := range sample {
18        sd += math.Pow(v - mean, 2)
19    }
20    sd = math.Sqrt(sd / (n - 1))
21
22    t := (mean - mu0) / (sd / math.Sqrt(n))
23    return t
24}
25
26func main() {
27    sampleData := []float64{51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51}
28    tStatistic := oneSampleTTest(sampleData, 50)
29    fmt.Printf("T-statisztika: %.2f\n", tStatistic)
30}
31

Swift

1import Foundation
2
3func oneSampleTTest(sample: [Double], mu0: Double) -> Double {
4    let n = Double(sample.count)
5    let mean = sample.reduce(0, +) / n
6    let sd = sqrt(sample.map { pow($0 - mean, 2) }.reduce(0, +) / (n - 1))
7    let t = (mean - mu0) / (sd / sqrt(n))
8    return t
9}
10
11let sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
12let tStatistic = oneSampleTTest(sample: sampleData, mu0: 50)
13print(String(format: "T-statisztika: %.2f", tStatistic))
14

PHP

1<?php
2function oneSampleTTest($sample, $mu0) {
3    $n = count($sample);
4    $mean = array_sum($sample) / $n;
5    $sd = sqrt(array_sum(array_map(function($x) use ($mean) {
6        return pow($x - $mean, 2);
7    }, $sample)) / ($n - 1));
8    $t = ($mean - $mu0) / ($sd / sqrt($n));
9    return $t;
10}
11
12$sampleData = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51];
13$tStatistic = oneSampleTTest($sampleData, 50);
14echo "T-statisztika: " . number_format($tStatistic, 2);
15?>
16

Ruby

1## Egymintás t-próba Ruby-ban
2def one_sample_t_test(sample, mu0)
3  n = sample.size
4  mean = sample.sum(0.0) / n
5  sd = Math.sqrt(sample.map { |x| (x - mean)**2 }.sum / (n - 1))
6  t = (mean - mu0) / (sd / Math.sqrt(n))
7  t
8end
9
10sample_data = [51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51]
11t_statistic = one_sample_t_test(sample_data, 50)
12puts format("T-statisztika: %.2f", t_statistic)
13

Rust

1// Egymintás t-próba Rust-ban
2fn one_sample_t_test(sample: &Vec<f64>, mu0: f64) -> f64 {
3    let n = sample.len() as f64;
4    let mean: f64 = sample.iter().sum::<f64>() / n;
5    let sd = (sample.iter().map(|x| (x - mean).powi(2)).sum::<f64>() / (n - 1.0)).sqrt();
6    let t = (mean - mu0) / (sd / n.sqrt());
7    t
8}
9
10fn main() {
11    let sample_data = vec![51.0, 49.0, 52.0, 48.0, 50.0, 47.0, 53.0, 49.0, 51.0];
12    let t_statistic = one_sample_t_test(&sample_data, 50.0);
13    println!("T-statisztika: {:.2}", t_statistic);
14}
15

Numerikus Példa

Probléma: Egy gyártó azt állítja, hogy az akkumulátor átlagos élettartama 50 óra. Egy fogyasztói csoport 9 akkumulátort tesztel, és a következő élettartamokat (órában) rögzíti:

51,\ 49,\ 52,\ 48,\ 50,\ 47,\ 53,\ 49,\ 51

Van-e bizonyíték a 0,05 szignifikancia szinten arra, hogy az akkumulátor átlagos élettartama eltér a 50 órától?

Megoldás:

Állítsa fel a hipotéziseket:
- Nullhipotézis ( $H_0$ ): $\mu = 50$
- Alternatív hipotézis ( $H_a$ ): $\mu \neq 50$
Számítsa ki a mintaátlagot ( $\bar{x}$ ):
$\bar{x} = \frac{51 + 49 + 52 + 48 + 50 + 47 + 53 + 49 + 51}{9} = 50.00$
Számítsa ki a minta szórását ( $s$ ):
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} = 2.0$
Számítsa ki a T-statisztikát:
$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{50.00 - 50}{\frac{2.0}{\sqrt{9}}} = 0.00$
Fokszámok meghatározása:
$df = n - 1 = 8$
P-érték meghatározása:
- $t = 0.00$ és $df = 8$ esetén a p-érték 1.00.
Következtetés:
- Mivel p-érték (1.00) > $\alpha$ (0.05), nem utasítjuk el a nullhipotézist.
- Értelmezés: Nincs elegendő bizonyíték arra, hogy az akkumulátor átlagos élettartama eltér a 50 órától.

Referenciák

Gosset, W. S. (1908). "A Mean Valószínűsége". Biometrika, 6(1), 1–25. JSTOR.
Student's t-próba. Wikipédia. https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test
GraphPad Statisztikai Útmutató: T-próbák megértése. Link
Laerd Statisztika: Független t-próba. Link

További Források

Feltételezések Ellenőrzése:
- Használja a Shapiro-Wilk tesztet a normalitásra.
- Használja a Levene tesztet a varianciák egyenlőségére.
Szoftvereszközök:
- SPSS, SAS, Stata és R a fejlettebb statisztikai elemzéshez.
További Olvasmányok:
- "Bevezetés a Statisztikai Tanulásba" Gareth James, Daniela Witten, Trevor Hastie és Robert Tibshirani szerzőtől.
- "Statisztikai Módszerek" George W. Snedecor és William G. Cochran szerzőtől.

T-teszt kalkulátor: Egymintás, Kétmintás és Páros Teszt

T-próba kalkulátor

Dokumentáció

T-Próba Számológép

Bevezetés

T-Próbák Típusai

Hogyan Használja Ezt a Számológépet

Feltételezések

Képlet

Egymintás t-próba

Kétmintás t-próba (független minták)

Egyenlő varianciák feltételezése

Egyenlőtlen varianciák (Welch t-próba)

Páros t-próba

Fokszámok

Egymintás és páros t-próba:

Kétmintás t-próba egyenlő varianciák mellett:

Welch t-próba:

Számítás

Használati Esetek

Egymintás t-próba

Kétmintás t-próba

Páros t-próba

Alternatívák

Történelem

Példák

Excel

R

Python

JavaScript

MATLAB

Java

C#

Go

Swift

PHP

Ruby

Rust

Numerikus Példa

Referenciák

További Források

Kapcsolódó Eszközök

Z-teszt kalkulátor: Egymintás tesztek egyszerűen

A/B Teszt Statisztikai Jelentőség Számító Eszköz

Z-Score Kalkulátor: Számítsa ki az adatpontok z-score-ját

Vizesített Perem Számító Különböző Csatornaformákhoz

Box Plot Számoló: Vizuális Elemzés és Statisztikai Mutatók

Altman Z-Score Kalkulátor a Vállalati Hitelkockázatért

Nyers pontszámok kiszámítása könnyen az átlag, a szórás és a z-érték alapján