Z-érték Kalkulátor - Szabványos Pontszám & Valószínűségi Eszköz

Mi a z-pontszám?

A z-pontszám, más néven standardizált pontszám, azt méri, hogy egy adathalmaz valamely adatpontja hány szórásnyira van az átlagtól. A 0 z-pontszám azt jelenti, hogy az érték megegyezik az átlaggal. A pozitív z-pontszám azt jelenti, hogy az érték az átlag felett van, a negatív z-pontszám pedig azt, hogy alatta.

A z-pontszám képlete

Egy adatpont z-pontszámát a következő képlettel számítjuk ki:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Ahol:

• $z$ a z-pontszám
• $x$ az adatpont
• $\mu$ az adathalmaz átlaga
• $\sigma$ az adathalmaz szórása

A szórás nem lehet nulla, mert nullával osztva az eredmény nincs értelmezve. Negatív sem lehet, mivel a szórás definíció szerint mindig nulla vagy pozitív.

Z-pontszám számítása

1. Számítsa ki az adathalmaz átlagát az összes érték összeadásával, majd az összeg elosztásával az értékek számával, $n$-nel.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Határozza meg a szórást. Először számítsa ki a varianciát, vagyis az átlagtól való négyzetes eltérések átlagát, majd vonjon belőle négyzetgyököt.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Ez a sokasági szórás, amely $n$-nel oszt. Ha a számok egy nagyobb csoportból vett mintát alkotnak, akkor ehelyett $n - 1$-gyel kell osztani.

3. Vonja ki az adatpontból az átlagot, majd ossza el az eredményt a szórással.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Megoldott példa

Egy tanuló 85 pontot ér el egy teszten. Az osztály átlaga 75, az osztály pontszámainak szórása pedig 10.

• Adatpont: $x = 85$
• Átlag: $\mu = 75$
• Szórás: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

A tanuló z-pontszáma 1,0. Pontszáma egy szórással az osztályátlag felett van.

Z-pontszám és kumulatív valószínűség

A z-pontszám kumulatív valószínűséggé alakítható, amely annak az esélyét jelenti, hogy egy normális eloszlásból véletlenszerűen kiválasztott érték az adott ponttal egyenlő vagy annál kisebb. Ez a standard normális görbe alatti terület a $z$ értéktől balra.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

A tanuló 1,0 értékű z-pontszáma esetén a kumulatív valószínűség körülbelül 0,8413, azaz 84,13%. Ez azt jelenti, hogy a tanuló nagyjából az osztály 84%-ánál ért el jobb eredményt, feltéve, hogy a pontszámok normális eloszlást követnek. A kalkulátor a z-pontszámot négy tizedesjegyre, a kumulatív valószínűséget pedig százalékos formában, két tizedesjegyre kerekítve jeleníti meg.

Néhány viszonyítási pont:

Z-pontszám értelmezése

A normális eloszlás legtöbb értéke az átlagtól számított 2 szóráson belül helyezkedik el. A +3-nál nagyobb vagy a -3-nál kisebb z-pontszámok ritkák, és gyakran kiugró értékeknek tekintik őket, vagyis olyan értékeknek, amelyek jelentősen eltérnek az adatok többi részétől.

A z-pontszámok lehetővé teszik a különböző skálákon mért értékek összehasonlítását is. Egy tesztpontszám és egy magasságmérés közvetlenül nem hasonlítható össze, a z-pontszámaik azonban igen, mert mindkettő az átlagtól való távolságot írja le ugyanabban a szórásegységben.

Z-pontszám és t-pontszám

A z-pontszám feltételezi, hogy a sokasági szórás ismert, és nagy minták esetén működik a legjobban. A t-pontszámot akkor használják, amikor a sokasági szórás ismeretlen, a minta pedig kicsi, jellemzően 30 megfigyelésnél kevesebb. Mindkettő az átlagtól való távolságot írja le, a t-pontszám azonban a t-eloszlásból származik, amelynek vastagabbak a szélei, hogy figyelembe vegye a kis mintából eredő nagyobb bizonytalanságot.

A z-pontszámok gyakori alkalmazásai

• Standardizált tesztelés. A tanuló nyers pontszámának összehasonlítása a pontszámok teljes eloszlásával.
• Kiugró értékek felismerése. Az adathalmaz átlagától távol eső adatpontok jelölése.
• Minőség-ellenőrzés. Annak ellenőrzése, hogy egy gyártott termék az elfogadható tartományba esik-e.
• Hipotézisvizsgálat. A z-próbák z-pontszámokkal ítélik meg, hogy egy minta átlaga érdemben eltér-e egy ismert sokasági átlagtól.

Története

A z-pontszám a normális eloszlásra épül, amelyet Abraham de Moivre írt le 1733-ban, majd Carl Friedrich Gauss és Pierre-Simon Laplace fejlesztett tovább a 19. század elején. Az értékek szórásegységekbe való standardizálása a pszichológiai tesztelésben és a minőség-ellenőrzésben a 20. században vált általános gyakorlattá.

Gyakran ismételt kérdések

Mi a z-pontszám a statisztikában? A z-pontszám azt fejezi ki, hogy egy adatpont hány szórásnyira van az adathalmaz átlagától. A képlete: z = (x − μ) / σ.

Hogyan értelmezzem a z-pontszám eredményét? A 0 z-pontszám azt jelenti, hogy az érték megegyezik az átlaggal. A pozitív érték az átlag felett, a negatív pedig az átlag alatt van. A +3-nál nagyobb vagy a -3-nál kisebb értékek szokatlanok.

Lehet negatív egy z-pontszám? Igen. A negatív z-pontszám egyszerűen azt jelenti, hogy az adatpont az átlag alatt van. A -2 z-pontszám azt jelenti, hogy az érték 2 szórással az átlag alatt van.

Mi a különbség a z-pontszám és a t-pontszám között? A z-pontszámot nagy minták esetén használják, amikor a sokasági szórás ismert. A t-pontszámot kis mintáknál, általában 30 alatt, akkor alkalmazzák, amikor ez nem ismert.

Mit jelent a kumulatív valószínűség a z-pontszám esetében? Annak a valószínűsége, hogy egy normális eloszlásból véletlenszerűen kiválasztott érték kisebb vagy egyenlő a megadott z-pontszámmal. Ez megegyezik a normális görbe alatti, az adott ponttól balra eső területtel.

Mi történik, ha a szórás nulla? A z-pontszám nincs definiálva, mert a képlet nullával való osztást igényelne. A nulla szórás azt jelenti, hogy az adathalmaz minden értéke azonos.

Hivatkozások

1. Standardizált pontszám, Wikipédia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Normális eloszlás és z-pontszámok, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review