Kritikus érték kalkulátor | Z-próba, t-próba, Khí-négyzet próba

A kritikus érték egy valószínűségi eloszlás azon határpontja, amely egy hipotézisvizsgálatban kijelöli az „elutasítási tartomány” szélét. Ha egy próbastatisztika a kritikus értéken túlra esik, az eredményt statisztikailag szignifikánsnak tekintik, és a nullhipotézist elutasítják. Ez a kalkulátor a három leggyakoribb próba kritikus értékeit határozza meg: a Z-próbáét, a t-próbáét és a khi-négyzet-próbáét.

Mi a kritikus érték?

A statisztikában a kutatók gyakran nullhipotézissel kezdenek, vagyis azzal az egyszerű feltevéssel, hogy semmi szokatlan nem történik (például hogy egy új gyógyszernek nincs hatása). A próbastatisztikát a mintából származó adatok alapján számítják ki, majd összevetik egy kritikus értékkel annak eldöntésére, hogy az adatok elegendő bizonyítékot szolgáltatnak-e a nullhipotézis ellen.

A kritikus érték három dologtól függ: a választott próbától, a szignifikanciaszinttől (jele α, a görög alfa betű), valamint attól, hogy a próba egy- vagy kétoldali. A szignifikanciaszint annak a valószínűsége, hogy tévesen elutasítunk egy igaz nullhipotézist; értéke gyakran 0,05 (5%) vagy 0,01 (1%).

Az egyoldali próba egyetlen irányban, például „nagyobb mint” irányban vizsgálja a hatást. Egy kritikus értéke van. A kétoldali próba mindkét irányban vizsgálja a hatást, és két kritikus értéke van, az eloszlás két oldalán egy-egy.

A kritikus érték kiszámítása

1. Válassza ki a próbát: Z-próba (nagy mintákhoz vagy ismert sokasági varianciához), t-próba (kis, ismeretlen varianciájú mintákhoz) vagy khi-négyzet-próba (kategorikus adatokhoz vagy illeszkedésvizsgálathoz).
2. Válassza ki a próba irányultságát: egyoldali vagy kétoldali.
3. Válassza ki az α szignifikanciaszintet, amely 0 és 1 közötti szám. Gyakori választás a 0,10, a 0,05 és a 0,01.
4. t-próba vagy khi-négyzet-próba esetén adja meg a szabadságfokok számát (df). t-próbánál a df a mintaelemszám mínusz 1. Khi-négyzetes illeszkedésvizsgálatnál a df a kategóriák számának mínusz 1.
5. Keresse ki (vagy számítsa ki) azt az értéket, amely az eloszlásgörbe alatti, választott farokrészt levágja. Ez a kritikus érték.

Kritikusérték-képletek

Minden képlet egy kumulatív eloszlásfüggvény inverzét használja: x azon értékét, amelynél a görbe alatti, x-ig terjedő terület egyenlő egy p célvalószínűséggel.

A Z-próba képlete

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(egyoldali)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(kétoldali)}$

A Φ⁻¹ a standard normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvényének inverze.

A t-próba képlete

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(egyoldali)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(kétoldali)}$

A t⁻¹(p, df) a df szabadságfokú t-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvényének inverze.

A khi-négyzet-próba képlete

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(egyoldali)}$ $\chi^2_{\text{alsó}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{felső}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(kétoldali)}$

A khi-négyzet-eloszlás csak pozitív értékeket vesz fel, ezért mindkét kritikus érték pozitív, és az alsó kisebb a felsőnél.

Példa: a Z-próba kritikus értéke

Egy minőség-ellenőrző csoport egyoldali Z-próba kritikus értékét szeretné meghatározni α = 0,05 mellett.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

A 1,6449 feletti bármely próbastatisztika az elutasítási tartományba esik.

Példa: a t-próba kritikus értéke

Egy kutató 20 résztvevővel végez kísérletet, így df = 19. Kétoldali kritikus értéket szeretne α = 0,01 mellett.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Az elutasítási tartományok: t < -2,8609 és t > 2,8609.

Példa: khi-négyzetes kritikus értékek

Egy elemző a megfigyelt és a várt gyakoriságokat hasonlítja össze 5 kategóriában, ezért df = 4. Kétoldali kritikus értékeket szeretne α = 0,05 mellett.

$\chi^2_{\text{alsó}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{felső}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

A 0,4844 alatti vagy a 11,1433 feletti khi-négyzet-statisztika az elutasítási tartományba esne.

Gyakori kritikus értékek

A szabadságfokok számának növekedésével a t-eloszlás kritikus értékei a megfelelő Z-próbaértékekhez közelednek, mivel a t-eloszlás közelít a normális eloszláshoz.

Gyakran ismételt kérdések

Mire használják a kritikus értéket? A kritikus érték kijelöli azt a határt, amely alapján eldönthető, hogy egy próbastatisztika elég szélsőséges-e a nullhipotézis elutasításához. Ha a statisztika átlépi a kritikus értéket, az eredmény a választott α-szinten statisztikailag szignifikáns.

Mi a különbség az egyoldali és a kétoldali kritikus érték között? Az egyoldali próba egy irányban keresi a hatást, és egyetlen kritikus értéke van. A kétoldali próba mindkét irányban keresi a hatást, és két kritikus értéke van, amelyek a Z-próba és a t-próba esetén szimmetrikusan helyezkednek el a középpont körül. Azonos α mellett a kétoldali kritikus érték abszolút értékben nagyobb az egyoldalinál, mert ugyanaz a teljes valószínűség két farokrész között oszlik meg az egy helyett.

Mikor célszerű t-próba helyett Z-próbát használni? Z-próbát akkor használnak, ha a sokasági variancia ismert, vagy ha a minta nagy, jellemzően 30 vagy több megfigyelést tartalmaz. t-próbát kisebb, ismeretlen sokasági varianciájú mintákhoz használnak. A mintaelemszám növekedésével a t-próba kritikus értékei a Z-próba kritikus értékeihez konvergálnak.

Lehet negatív a kritikus érték? Igen. A Z-próba és a t-próba eloszlása nulla körül szimmetrikus, ezért a kétoldali próbának egy negatív és egy pozitív kritikus értéke van. A khi-négyzetes kritikus értékek mindig pozitívak, mert a khi-négyzet-eloszlás csak a nulla vagy annál nagyobb értékekre van definiálva.

Hogyan befolyásolják a szabadságfokok a kritikus értéket? A szabadságfokok azt mérik, hogy mennyi független információ található az adatokban; értékük általában a mintaelemszám mínusz a már becsült paraméterek száma. Kevesebb szabadságfok szélesebb, vastagabb farkú eloszlásokat és nagyobb kritikus értékeket eredményez. Több szabadságfok esetén a Student-féle t-eloszlás és a khi-négyzet-eloszlás egyre közelebb kerül a normális eloszláshoz.

Melyik kritikus érték tartozik a 95%-os konfidenciaszinthez? A 95%-os konfidenciaszinthez α = 0,05 tartozik. Kétoldali Z-próba esetén a kritikus értékek ±1,9600. Egyoldali Z-próba esetén a kritikus érték 1,6449.

Története

Karl Pearson 1900-ban vezette be a khi-négyzet-próbát. William Sealy Gosset „Student” néven publikálva 1908-ban dolgozta ki a t-eloszlást a Guinness sörfőzdében végzett kis mintás vizsgálatokhoz. Ronald Fisher az 1920-as években, Statistical Methods for Research Workers című könyvében formalizálta a szignifikanciavizsgálatot és a kritikus értékek használatát. A számítógépek előtt a kutatók nyomtatott táblázatokból keresték ki a kritikus értékeket; a kalkulátorok és a szoftverek ma közvetlenül az eloszlások képletei alapján számítják ki őket.

Hivatkozások

1. Pearson, K. (1900). „On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.” Philosophical Magazine, 5. sorozat, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). „The probable error of a mean.” Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, „Critical Values.”