Poisson-eloszlás Kalkulátor - Esemény Valószínűségek Számítása

Mi az a Poisson-eloszlás kalkulátor?

A Poisson-eloszlás kalkulátora annak valószínűségét adja meg, hogy egy adott idő- vagy térbeli intervallumban bizonyos számú esemény következik be, ha ismert, hogy az események átlagosan milyen gyakran fordulnak elő. Akkor használják, amikor az események egyenként, egymástól függetlenül, állandó átlagos gyakorisággal következnek be. Tipikus példa a telefonközpontba egy óra alatt beérkező hívások száma vagy az egy oldalon található elírások száma.

A Poisson-eloszlás képlete

A Poisson-eloszlás annak valószínűségét adja meg, hogy pontosan k esemény következik be, ha az átlagos gyakoriság λ (a görög lambda betű):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Az egyes jelek jelentése:

• λ (lambda) — az intervallumonkénti események átlagos száma. Ez az eloszlás egyetlen paramétere.
• k — azoknak az eseményeknek a pontos száma, amelyek valószínűségét kiszámítjuk. Egész számnak kell lennie, 0 vagy annál nagyobbnak.
• e — Euler száma, egy körülbelül 2,71828 értékű állandó.
• k! — „k faktoriális”, az 1-től k-ig terjedő összes egész szám szorzata. Például 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Megállapodás szerint 0! = 1.

A képlethez csak λ és k szükséges. A binomiális eloszlással ellentétben nincs szükség a próbák teljes számára.

Poisson-valószínűség kiszámítása

1. Válasszuk ki a λ értékét, vagyis a vizsgált intervallumban bekövetkező események átlagos számát.
2. Válasszuk ki a k értékét, vagyis azoknak az eseményeknek a pontos számát, amelyek valószínűségét meg szeretnénk határozni.
3. Emeljük az e-t −λ kitevőre: ez e^(−λ).
4. Emeljük λ-t k kitevőre: ez λ^k.
5. Határozzuk meg a k!-t, vagyis k faktoriálisát.
6. Szorozzuk össze a 3. és a 4. lépés eredményét, majd osszuk el a 5. lépés eredményével.

Az így kapott szám 0 és 1 közötti valószínűség. Százalékos kifejezéshez szorozzuk meg 100-zal.

Kidolgozott példa

Egy telefonközpont óránként átlagosan 5 hívást fogad (λ = 5). Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy adott órában pontosan 3 hívás érkezik (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Szorzás: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Osztás 6-tal: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Annak a valószínűsége, hogy az adott órában pontosan 3 hívás érkezik, körülbelül 0,140, azaz 14%.

További példák

A Poisson-eloszlás alkalmazási területei

A Poisson-eloszlás ritka, egymástól független események számát modellezi. Gyakori alkalmazásai:

• Telefonközpontok és ügyfélszolgálatok: az óránként beérkező hívások vagy csevegések számának előrejelzése.
• Gyártás: a terméktételben előforduló hibák számának becslése.
• Biztosítás: egy adott időszakban beérkező kárigények számának becslése.
• Biológia és orvostudomány: a mutációk számának vagy ritka betegségek terjedésének modellezése.
• Fizika: a radioaktív bomlás leírása, amelyben minden atom egymástól függetlenül, állandó átlagos gyakorisággal bomlik.
• Közlekedési és hálózattervezés: a kereszteződéshez érkező járművek vagy a szerverhez beérkező kérések számának becslése.

A Poisson-eloszlás használatának feltételei

A Poisson-eloszlás csak akkor illeszkedik egy helyzethez, ha az alábbi feltételek mindegyike teljesül:

• Az események egyenként következnek be; két esemény nem történhet pontosan ugyanabban a pillanatban.
• Az események függetlenül következnek be — egyik esemény nem teszi valószínűbbé vagy valószínűtlenebbé a következőt.
• Az átlagos gyakoriság, λ, állandó marad a vizsgált intervallumban.

Ha a gyakoriság idővel változik, vagy az események hajlamosak csoportosan bekövetkezni, az egyszerű Poisson-eloszlás nem írja le jól az adatokat.

A Poisson-eloszlás és a kapcsolódó eloszlások összehasonlítása

• Binomiális eloszlás: akkor használják, amikor a próbák száma rögzített, és minden próbához ismert a siker valószínűsége, például egy érme 20 alkalommal történő feldobásakor. A Poisson-eloszlás a binomiális eloszlás határesete, amikor a próbák száma nagyon nagyra nő, az egy próbára jutó siker valószínűsége pedig nullához közelít, miközben a szorzatuk λ körül marad.
• Normális eloszlás: nagy λ esetén, nagyjából 20 felett, a Poisson-eloszlás hasonlít a λ várható értékű és λ varianciájú, haranggörbe alakú normális eloszláshoz.
• Exponenciális eloszlás: míg a Poisson-eloszlás azt számolja meg, hogy egy rögzített intervallumban hány esemény következik be, az exponenciális eloszlás az események közötti várakozási időt írja le.

Megjegyzés a történeti háttérről

Siméon Denis Poisson francia matematikus 1837-ben vezette be az eloszlást egy, a bírósági ítéletekre alkalmazott valószínűségszámításról szóló könyvben. Kezdetben kevés figyelmet kapott. Alkalmazása a 20. század elején terjedt el, miután olyan statisztikusok, mint Ladislaus Bortkiewicz és Ronald Fisher, valós számlálási adatokra alkalmazták, többek között a porosz katonák lórúgás okozta halálozásának híres vizsgálatában.

Gyakran ismételt kérdések

Mit jelent a lambda (λ) a Poisson-eloszlásban? A lambda a vizsgált intervallumban várható események átlagos száma. Egyben az eloszlás varianciája is, ezért a nagyobb λ egyszerre jelent magasabb átlagos számot és a lehetséges kimenetelek nagyobb szóródását.

Lehet k vagy λ negatív, illetve tört szám? λ értékének nagyobbnak kell lennie, mint 0, de lehet tizedes tört, például 2,5 esemény óránként. k értékének 0 vagy annál nagyobb egész számnak kell lennie, mivel tényleges eseményeket számlál; nem lehet negatív vagy tört szám.

Miben különbözik a Poisson-eloszlás a binomiális eloszlástól? A binomiális eloszláshoz rögzített számú próba és próbánként rögzített siker valószínűsége szükséges. A Poisson-eloszláshoz csak egy átlagos gyakoriság kell, és olyan eseményekre alkalmazható, amelyek elvileg tetszőleges számú alkalommal bekövetkezhetnek.

Mikor célszerű inkább a normális eloszlást használni? Nagy λ esetén, általában körülbelül 20 felett, az azonos várható értékű és varianciájú normális eloszlás jól közelíti a Poisson-eloszlást, és kézi számításra gyakran egyszerűbb.

Miért jelenít meg a kalkulátor néha tudományos jelölésű számot? Az eredmények általában hat tizedesjegyig jelennek meg. Ha egy valószínűség kisebb, mint 0,0001, akkor hat tizedesjegyre kerekítve 0,000000 lenne, ami elfedné, hogy valójában milyen kicsi. Ezért a kalkulátor tudományos jelölésre vált. λ = 20 és k = 1 esetén 4.122307e-8 értéket jelenít meg, ami 0,00000004122307-et jelent.

Vannak korlátai a kalkulátor által elfogadott értékeknek? Igen. λ értékének nagyobbnak kell lennie, mint 0, és legfeljebb 700 lehet, k értéke pedig 0 és 1000 közötti egész szám lehet. E korlátokon kívül a kalkulátor hibaüzenetet jelenít meg. A felső határok biztosítják, hogy az eredmény a számítógép által tárolható számok tartományán belül maradjon, és a diagramon olvasható számú oszlop legyen.

A Poisson-eloszlás megengedi, hogy egyszerre több mint egy esemény történjen? Nem. A modell feltételezi, hogy az események egyenként következnek be. Ha két esemény rendszeresen együtt történik, egy másik eloszlás jobban illeszkedik az adatokhoz.

Hivatkozások

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Párizs, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1,3. szakasz, 6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp és Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.