Binomiális Eloszlás Kalkulátor - Ingyenes Valószínűségi Eszköz

Mi az a binomiális eloszlás kalkulátor?

A binomiális eloszlás kalkulátora meghatározza annak valószínűségét, hogy rögzített számú független kísérletben pontosan adott számú siker következik be, ha minden kísérletben azonos a siker esélye. A statisztikában, a minőség-ellenőrzésben, az orvostudományban és minden olyan területen használják, amely ismétlődő igen-nem eseményeket vizsgál.

Az alapul szolgáló fogalom a binomiális eloszlás, amely olyan valószínűségi modell, amely ismételt, egyenként csak két kimenetelű kísérletekben számolja a sikereket; ezeket általában sikernek és kudarcnak nevezik.

A binomiális eloszlás képlete

Annak valószínűsége, hogy n kísérletben pontosan k siker következik be:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Az egyes jelek jelentése:

• n — a kísérletek száma.
• k — a sikerek száma, amelynek valószínűségét meg kell határozni.
• p — a siker valószínűsége egyetlen kísérletben, 0 és 1 közötti szám.
• $\binom{n}{k}$ — a binomiális együttható, vagyis annak különböző módjai, ahogyan n kísérletből k siker kiválasztható. Értéke $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Minden kísérletnek függetlennek kell lennie, vagyis az egyik kísérlet kimenetele nem változtatja meg egy másik kísérlet esélyeit, és a siker valószínűségének p-nek az összes kísérletben azonosnak kell maradnia. Az egyetlen, két lehetséges kimenetelű kísérletet, például egyetlen pénzfeldobást, Bernoulli-kísérletnek nevezik. A binomiális eloszlás n Bernoulli-kísérlet összeadásával kapott eloszlás.

A binomiális valószínűség kiszámítása

1. Írjuk fel n, k és p értékét.
2. Számítsuk ki a $\binom{n}{k}$ binomiális együtthatót, vagyis azt, hogy hányféleképpen rendezhető el k siker n kísérletben.
3. Emeljük p-t k-adik hatványra.
4. Emeljük a (1 − p) kifejezést az (n − k)-adik hatványra.
5. Szorozza össze a három számot.

Az oldalon található kalkulátor ezeket a lépéseket automatikusan elvégzi. Adjuk meg n, p és k értékét, és a kalkulátor visszaadja a P(X = k) értékét, valamint egy oszlopdiagramot, amely 0 és n közötti számú siker minden lehetséges kimenetelének valószínűségét mutatja.

Számítási példa

Példa 1: pénzfeldobások

Dobjunk fel egy szabályos pénzérmét 10 alkalommal. Mekkora annak valószínűsége, hogy pontosan 3 alkalommal kapunk fejet?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Eredmény: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, azaz körülbelül 11,72%

Példa 2: minőség-ellenőrzés

Egy gyár 100 terméket ellenőriz. Minden termék esetében 2% az esélye annak, hogy hibás. Mekkora annak valószínűsége, hogy a 100 termék közül egyik sem hibás?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Mivel k = 0, a képlet erre egyszerűsödik: $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Eredmény: ≈ 0,1326, azaz körülbelül 13,26%

Példa 3: betegségvizsgálat

Egy városban 1 000 embert vizsgálnak egy olyan betegségre, amely a népesség 0,1%-át fertőzi meg (p = 0,001). Mekkora annak valószínűsége, hogy az 1 000 ember közül pontosan 5 fertőzött?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Eredmény: 8 250 291 250 200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, azaz körülbelül 0,30% (pontos érték: 0,0030488, vagyis 0,30488%)

Várható érték és variancia

Az n és p paraméterű binomiális eloszlás esetén:

• Várható érték: E(X) = np
• Variancia: Var(X) = np(1 − p)
• Szórás: σ = √[np(1 − p)]

A várható érték azt mutatja meg, hogy sok ismétlés során átlagosan hány siker várható. Az 1. példában a várható érték 10 × 0,5 = 5 fej.

Mit fogad el a kalkulátor?

• n értékének 1 vagy annál nagyobb egész számnak kell lennie. Tizedes beírásakor a kalkulátor a kísérletek számát a legközelebbi egész számra kerekíti, így 10,9 értékét 11-ként kezeli.
• p értékének 0 és 1 között kell lennie, a két végpontot is beleértve.
• k értékének 0 vagy annál nagyobb egész számnak kell lennie, és nem lehet nagyobb n-nél. 5 kísérletben 8 siker elérése lehetetlen, ezért a kalkulátor szám helyett hibaüzenetet jelenít meg.

Ha bármelyik mező üresen marad, a kalkulátor nem jelenít meg eredményt és diagramot, ahelyett hogy találgatna.

Mikor alkalmazható a binomiális eloszlás?

A binomiális eloszlás csak akkor illeszkedik egy helyzethez, ha mind a négy feltétel teljesül:

1. A kísérletek száma, n, előre rögzített.
2. Minden kísérletnek csak két kimenetele van: siker vagy kudarc.
3. A siker valószínűsége, p, minden kísérletben azonos.
4. A kísérletek függetlenek egymástól.

Ha egy pakliból visszatevés nélkül húzunk lapokat, sérül a függetlenség feltétele, mert egy lap eltávolítása megváltoztatja a következő húzás esélyeit. Ilyen helyzetben a hipergeometrikus eloszlást kell alkalmazni.

Kapcsolódó eloszlások

• Poisson-eloszlás: a binomiális eloszlás közelítésére használják, ha n nagy és p kicsi, így a sikerek átlagos száma (np) mérsékelt marad. Ritka események, például az 3. példában szereplő megbetegedés modellezésére gyakori.
• Normális eloszlás: nagy n esetén, valamint ha p nincs túl közel 0-hoz vagy 1-hez, a binomiális eloszlás hozzávetőleg harang alakú, és közelíthető np várható értékű, np(1 − p) varianciájú normális eloszlással.
• Hipergeometrikus eloszlás: a binomiális eloszlás helyett használják, ha egy véges sokaságból visszatevés nélkül vesznek mintát.

Gyakran ismételt kérdések

Mit csinál a binomiális eloszlás kalkulátora?

A képletet használva kiszámítja annak valószínűségét, hogy n független kísérletben, amelyek mindegyikében p a siker valószínűsége, pontosan k siker következik be: P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Mi a különbség a binomiális és a normális eloszlás között?

A binomiális eloszlás diszkrét, vagyis csak egész számú sikert eredményezhet. A normális eloszlás folytonos. Nagy n esetén a binomiális eloszlás np várható értékű és np(1 − p) varianciájú normális görbével közelíthető.

Lehet p értéke 0 vagy 1?

Igen. Ha p = 0, egyetlen kísérlet sem lehet sikeres, ezért P(X = 0) = 1. Ha p = 1, minden kísérlet sikeres, ezért P(X = n) = 1. Ilyenkor minden más k érték valószínűsége 0.

Mi a kapcsolat a binomiális és a Bernoulli-eloszlás között?

A Bernoulli-eloszlás egy két kimenetelű kísérletet ír le (n = 1). A binomiális eloszlás n független Bernoulli-kísérlet összege, ezért a Bernoulli-eloszlás nem más, mint egy n = 1 paraméterű binomiális eloszlás.

Mekkora lehet n, mielőtt a kalkulátor pontatlanná válik?

A kalkulátor szabványos, kettős pontosságú aritmetikát használ. Közvetlenül összeszorozza a képlet három részét, és logaritmusokra vált, amikor a binomiális együttható meghaladná a kettős pontosságú számábrázolással tárolható legnagyobb számot; ez akkor történik, amikor n megközelíti az 1 000 értéket, és k közel van n/2 értékéhez. Az eredmények ezen a ponton túl is helyesek maradnak. A körülbelül 1e-308-nál kisebb valószínűséget 0 értékként jelzi, mert kettős pontosságú számmal ez nem tárolható.

Hogyan számítják ki a binomiális együtthatót?

A C(n, k) binomiális együttható azt számolja meg, hogy n elemből hányféleképpen választható ki k elem, a sorrendtől függetlenül. Értéke n! / (k! × (n − k)!). A kalkulátor lépésenként építi fel: egy tényezővel szoroz, a következővel pedig oszt, így nincs szükség a teljes faktoriális tárolására. Nagyon nagy n esetén e tényezők logaritmusait adja össze.

Hivatkozások

1. "Binomial Distribution." Wikipédia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L. és mtsai. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.