Kalkulator Z-Test - Alat Signifikansi Statistik Gratis

Apa itu uji-z?

Uji-z adalah uji statistik yang memeriksa apakah rata-rata sampel berbeda secara signifikan dari rata-rata populasi yang diketahui, ketika simpangan baku populasi sudah diketahui. Uji ini menghasilkan satu angka, yaitu skor-z, yang menunjukkan berapa banyak simpangan baku jarak rata-rata sampel dari rata-rata populasi. Peneliti, inspektur mutu, dan analis menggunakannya untuk menilai apakah perbedaan yang diamati kemungkinan nyata atau hanya akibat kebetulan.

Rumus uji-Z

Uji-z menghitung skor-z dengan rumus berikut:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• $\bar{x}$ adalah rata-rata sampel
• $\mu$ adalah rata-rata populasi
• $\sigma$ adalah simpangan baku populasi
• $n$ adalah ukuran sampel

Bagian bawah rumus, $\sigma / \sqrt{n}$, disebut galat baku. Nilai ini mengukur seberapa besar rata-rata sampel diperkirakan bervariasi hanya karena pengambilan sampel secara acak.

Cara menghitung uji-z langkah demi langkah

1. Cari rata-rata sampel ($\bar{x}$) dari data yang dikumpulkan.
2. Tentukan rata-rata populasi yang diketahui ($\mu$).
3. Tentukan simpangan baku populasi yang diketahui ($\sigma$).
4. Hitung ukuran sampel ($n$).
5. Kurangkan $\mu$ dari $\bar{x}$.
6. Bagi $\sigma$ dengan akar kuadrat $n$ untuk mendapatkan galat baku.
7. Bagi hasil langkah 5 dengan hasil langkah 6. Jawabannya adalah skor-z.

Contoh perhitungan

Sebuah pabrik menyatakan bahwa bautnya memiliki panjang rata-rata 10 cm, dengan simpangan baku populasi sebesar 0,2 cm. Seorang inspektur mengukur 100 baut dan mendapatkan rata-rata sampel sebesar 10,05 cm.

• $\bar{x} = 10.05$
• $\mu = 10$
• $\sigma = 0.2$
• $n = 100$

Galat baku: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

Skor-z: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

Skor-z adalah 2,5. Rata-rata sampel berada 2,5 galat baku di atas rata-rata populasi.

Cara menafsirkan skor-z

Skor-z yang mendekati 0 berarti rata-rata sampel dekat dengan rata-rata populasi. Skor-z positif atau negatif yang besar berarti rata-rata sampel jauh dari rata-rata populasi, yang menunjukkan perbedaan nyata, bukan sekadar kebetulan acak.

Nilai kritis umum untuk uji dua sisi:

• α = 0,10 (tingkat kepercayaan 90%): z = ±1,645
• α = 0,05 (tingkat kepercayaan 95%): z = ±1,96
• α = 0,01 (tingkat kepercayaan 99%): z = ±2,58

Jika skor-z yang dihitung melampaui nilai kritis untuk tingkat signifikansi yang dipilih, hasilnya disebut signifikan secara statistik, dan hipotesis nol (bahwa tidak ada perbedaan) ditolak.

Dalam contoh perhitungan, z = 2,5 melampaui ±1,96, sehingga perbedaannya signifikan secara statistik pada tingkat 0,05. Nilai-p dua sisi untuk z = 2,5 adalah sekitar 1,24%, yang berarti peluangnya kira-kira 1 banding 80 untuk melihat perbedaan sebesar ini jika panjang baut rata-rata sebenarnya memang 10 cm.

Kapan menggunakan uji-z

Uji-z sesuai digunakan ketika:

• Simpangan baku populasi diketahui.
• Ukuran sampel cukup besar, biasanya lebih dari 30.
• Data berasal dari pengambilan sampel acak.
• Populasi berdistribusi normal, atau sampel cukup besar sehingga Teorema Limit Pusat dapat diterapkan.

Jika simpangan baku populasi tidak diketahui atau sampelnya kecil, gunakan uji-t. Uji-t memperkirakan variabilitas dari sampel itu sendiri dan memperhitungkan ketidakpastian tambahan yang ditimbulkannya.

Uji-z vs uji-t

Kedua uji mengukur seberapa jauh rata-rata sampel dari nilai yang diharapkan, dalam satuan galat baku. Uji-z mengasumsikan bahwa simpangan baku populasi diketahui. Uji-t memperkirakan nilai tersebut dari sampel dan menggunakan distribusi yang lebih lebar serta bergantung pada ukuran sampel untuk memperhitungkan ketidakpastian tambahan. Dalam praktiknya, uji-t jauh lebih sering digunakan karena simpangan baku populasi yang sebenarnya jarang diketahui.

Penggunaan uji-z di dunia nyata

• Pengendalian mutu: memeriksa apakah suatu kelompok komponen yang diproduksi sesuai dengan spesifikasi target.
• Penelitian medis: membandingkan hasil rata-rata kelompok yang menerima perlakuan dengan nilai populasi yang diketahui.
• Pendidikan: membandingkan nilai ujian suatu kelas dengan rata-rata nasional.
• Keuangan: memeriksa apakah imbal hasil suatu dana berbeda dari rata-rata tolok ukur.

Sejarah

Distribusi normal yang mendasari uji-z dijelaskan oleh Abraham de Moivre pada 1733 sebagai pendekatan terhadap distribusi binomial. Carl Friedrich Gauss dan Pierre-Simon Laplace mengembangkan teori ini lebih lanjut pada awal tahun 1800-an. Metode pengujian hipotesis formal, termasuk penggunaan skor-z dan nilai kritis untuk menilai signifikansi statistik, dikembangkan pada awal abad ke-20 oleh para ahli statistik, termasuk Ronald Fisher, Jerzy Neyman, dan Egon Pearson.

Apa yang ditampilkan kalkulator ini

Kalkulator ini meminta empat angka: rata-rata sampel, rata-rata populasi, simpangan baku populasi, dan ukuran sampel. Kalkulator melaporkan skor-z yang dibulatkan hingga empat tempat desimal. Di bawah hasil tersebut, kalkulator menggambar kurva normal baku dan menandai skor-z dengan garis vertikal, sehingga posisi hasil pada distribusi dapat terlihat. Kurva tersebut adalah kepadatan normal baku, $\varphi(x) = e^{-x^{2}/2} / \sqrt{2\pi}$.

Ada dua batasan pada input. Ukuran sampel harus lebih besar dari 0. Simpangan baku populasi harus setidaknya 0,0001; sebaran yang lebih kecil mendorong skor-z ke nilai yang sangat besar sehingga tidak memiliki makna yang berguna. Kalkulator tidak melaporkan nilai-p, jadi gunakan nilai kritis di atas atau tabel normal baku untuk menentukan apakah hasilnya signifikan.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa perbedaan antara uji-z dan uji-t?

Uji-z memerlukan simpangan baku populasi yang diketahui dan bekerja paling baik dengan sampel besar. Uji-t digunakan ketika simpangan baku populasi tidak diketahui dan harus diperkirakan dari sampel; uji ini dapat digunakan untuk sampel kecil maupun besar.

Berapa ukuran sampel yang diperlukan uji-z?

Ukuran sampel di atas 30 merupakan aturan praktis yang umum. Di bawah ukuran tersebut, hasil uji-z menjadi tidak andal, dan uji-t biasanya merupakan pilihan yang lebih baik.

Apa arti skor-z sebesar 2,5?

Skor-z sebesar 2,5 berarti rata-rata sampel berada 2,5 galat baku di atas rata-rata populasi. Nilai tersebut melampaui nilai kritis dua sisi sebesar ±1,96 untuk tingkat kepercayaan 95%, sehingga perbedaannya signifikan secara statistik pada tingkat tersebut. Nilai-p dua sisi untuk z = 2,5 adalah sekitar 1,24%.

Apa itu nilai-p dalam uji-z?

Nilai-p adalah probabilitas mendapatkan hasil yang setidaknya sama ekstremnya dengan hasil yang diamati, jika memang tidak ada perbedaan dari rata-rata populasi. Nilai-p yang lebih kecil merupakan bukti yang lebih kuat untuk menolak hipotesis nol. Nilai-p di bawah 0,05 biasanya dianggap signifikan secara statistik.

Apa hipotesis nol dalam uji-z?

Hipotesis nol menyatakan bahwa tidak ada perbedaan antara rata-rata sampel dan rata-rata populasi. Uji-z mengukur seberapa kuat bukti dari sampel yang menentang pernyataan tersebut.

Apakah uji-z dapat digunakan untuk sampel kecil?

Penggunaan tersebut tidak direkomendasikan. Dengan sampel kecil atau simpangan baku populasi yang tidak diketahui, uji-t memberikan hasil yang lebih akurat karena memperhitungkan ketidakpastian tambahan dalam memperkirakan variabilitas dari data yang terbatas.