Calcolatore di Archi - Calcola Raggio, Luce e Freccia

Che cos'è un calcolatore per archi?

Un calcolatore per archi determina le dimensioni di un arco circolare — raggio, luce e freccia — a partire da due qualsiasi di questi valori. Calcola anche la lunghezza dell'arco e l'area dell'arco. Architetti, costruttori e appassionati lo usano per progettare porte, finestre, ponti ed elementi da giardino dalla forma curva.

Dimensioni principali dell'arco

Un arco circolare è una porzione ricavata dal bordo di un cerchio. La sua forma è descritta da cinque misure:

• Raggio: la distanza dal centro del cerchio a un punto qualsiasi della curva dell'arco.
• Luce: la distanza orizzontale in linea retta tra le due estremità inferiori dell'arco, detta anche larghezza.
• Freccia: la distanza verticale dalla linea d'imposta (la linea orizzontale che unisce le due estremità) al punto più alto dell'arco.
• Lunghezza dell'arco: la distanza lungo la linea curva dell'arco, da un'estremità all'altra.
• Area dell'arco: l'area della regione curva compresa tra l'arco e la linea d'imposta.

Formule per le dimensioni dell'arco

Queste formule si applicano a un arco circolare, costruito a partire da un segmento di un unico cerchio. Sono valide per qualsiasi freccia fino a due volte il raggio. Questo intervallo comprende gli archi di porte, finestre e ponti che vengono calcolati più comunemente, oltre agli archi a ferro di cavallo, in cui la curva prosegue oltre una semicirconferenza.

Formula della freccia (da raggio e luce)

$\text{Altezza} = \text{Raggio} - \sqrt{\text{Raggio}^2 - \left(\frac{\text{Luce}}{2}\right)^2}$

Valida quando raggio e luce sono positivi e la luce ≤ 2 × raggio.

Formula del raggio (da luce e freccia)

$\text{Raggio} = \frac{\text{Luce}^2}{8 \times \text{Altezza}} + \frac{\text{Altezza}}{2}$

Valida quando luce e freccia sono positive.

Formula della luce (da raggio e freccia)

$\text{Luce} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Raggio} \times \text{Altezza} - \text{Altezza}^2}$

Valida quando raggio e freccia sono positivi e la freccia ≤ 2 × raggio.

Formula della lunghezza dell'arco

$\text{Lunghezza dell'arco} = \text{Raggio} \times \theta$

Qui θ (theta) è l'angolo al centro, espresso in radianti, descritto dalla curva dell'arco al centro del cerchio. Quando la freccia non è maggiore del raggio, l'arco è al massimo una semicirconferenza e θ è:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Span}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

Quando la freccia è maggiore del raggio, l'arco supera una semicirconferenza e θ è la parte restante del giro:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Span}}{2 \times \text{Radius}}\right)$

Il calcolatore gestisce entrambi i casi con un unico passaggio, θ = 2 × atan2(Span ÷ 2, Radius − Rise), che rimane esatto anche nel caso della semicirconferenza.

Formula dell'area dell'arco

$\text{Area dell'arco} = \frac{1}{2} \times \text{Raggio}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Luce} \times (\text{Raggio} - \text{Altezza})$

Come usare il calcolatore per archi

Il calcolatore offre tre modalità, una per ciascuna dimensione che potrebbe mancare.

Calcola la freccia, quando sono noti raggio e luce: inserire il raggio e la luce. Lo strumento restituisce la freccia, la lunghezza dell'arco e l'area dell'arco.

Calcola il raggio, quando sono noti luce e freccia: inserire la luce e la freccia. Lo strumento restituisce il raggio, la lunghezza dell'arco e l'area dell'arco.

Calcola la luce, quando sono noti raggio e freccia: inserire il raggio e la freccia. Lo strumento restituisce la luce, la lunghezza dell'arco e l'area dell'arco.

Il calcolatore rifiuta i valori che non possono formare un arco reale. La luce non può superare due volte il raggio, la freccia non può superare due volte il raggio e ogni dimensione deve essere un numero positivo. Quando un valore viola una di queste regole, viene visualizzato un messaggio di errore.

Esempio svolto

Esempio 1: arco di una porta

Un arco di una porta ha una luce di 36 pollici (91,4 cm) e una freccia di 12 pollici (30,5 cm).

Raggio = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 pollici (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radianti

Lunghezza dell'arco = 19,5 × 2,352 = 45,86 pollici (116 cm)

Area dell'arco = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 pollici quadrati (2010 cm²)

Esempio 2: arco da giardino

Un arco da giardino ha un raggio di 4 piedi (1,2 m) e una luce di 6 piedi (1,8 m).

Freccia = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 piedi (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radianti

Lunghezza dell'arco = 4 × 1,696 = 6,78 piedi (2,07 m)

Area dell'arco = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 piedi quadrati (0,523 m²)

Esempio 3: arco di un ponte

Un arco di ponte ha una luce di 50 piedi (15 m) e una freccia di 15 piedi (4,57 m).

Raggio = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 piedi (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radianti

Lunghezza dell'arco = 28,33 × 2,162 = 61,25 piedi (18,7 m)

Area dell'arco = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 piedi quadrati (49,6 m²)

Usi comuni dei calcoli degli archi

I costruttori usano le dimensioni degli archi per tagliare le casseforme degli archi in calcestruzzo, preparare sagome in mattoni o pietra per gli archi in muratura e progettare la curvatura delle volte. I progettisti di ponti usano luce, freccia e raggio per bilanciare la distribuzione dei carichi con l'altezza libera. I lavori di restauro si basano sulle stesse formule per riprodurre l'esatta geometria di un arco storico durante la riparazione o la ricostruzione. Giardinieri e appassionati di fai da te le usano per pergolati ad arco, ingressi e aperture decorative.

Questo calcolatore copre solo gli archi circolari, formati dall'arco di un unico cerchio. Gli archi ellittici, parabolici, gotici e a catenaria seguono curve diverse e richiedono formule differenti.

Breve storia dell'arco

I costruttori dell'antica Mesopotamia usavano forme arcaiche simili ad archi già nel 2500 a.C., anche se la maggior parte era realizzata con la tecnica a mensola, sovrapponendo le pietre in modo che ogni strato sporgesse rispetto a quello sottostante, anziché costruire un vero arco curvo. I Romani svilupparono l'arco semicircolare trasformandolo in un metodo costruttivo standard, usandolo negli acquedotti, nei ponti e in edifici come il Colosseo. I costruttori medievali europei svilupparono l'arco ogivale gotico, che consentiva di costruire strutture più alte e leggere. In seguito gli architetti tornarono alle forme semicircolari basate su proporzioni precise, mentre materiali moderni come l'acciaio e il calcestruzzo armato permettono oggi agli archi di coprire distanze molto maggiori.

Domande frequenti

Qual è la differenza tra freccia e altezza in un arco?

La freccia è la distanza verticale dalla linea d'imposta alla sommità della curva dell'arco. L'altezza si riferisce talvolta all'altezza totale di un'apertura, comprese eventuali pareti rettilinee al di sotto della linea d'imposta.

Questo calcolatore funziona per tutti i tipi di arco?

No. Funziona solo per gli archi circolari, cioè quelli che hanno la forma di un segmento di cerchio. Gli archi ellittici, parabolici, gotici e a catenaria seguono curve diverse e richiedono formule specifiche.

Qual è il rapporto tra luce e raggio in un arco semicircolare?

In un arco semicircolare, il raggio è uguale alla metà della luce e la freccia è uguale al raggio. L'arco forma esattamente metà di un cerchio.

Perché la luce non può essere maggiore di due volte il raggio?

Una luce pari a due volte il raggio produce già una semicirconferenza, l'arco più largo possibile per quel raggio. Una luce maggiore non rientrerebbe affatto nel cerchio.

Perché la freccia non può essere maggiore di due volte il raggio nella modalità di calcolo della luce?

La freccia viene misurata dalla linea d'imposta fino al punto più alto dell'arco sullo stesso cerchio. Due volte il raggio corrisponde all'altezza totale del cerchio, quindi una freccia maggiore collocherebbe la sommità dell'arco completamente fuori dal cerchio. Una freccia compresa tra il raggio e due volte il raggio è valida. In questo caso l'arco supera una semicirconferenza, come negli archi a ferro di cavallo.

Quali unità usa il calcolatore?

È valida qualsiasi unità coerente: pollici, piedi, metri o centimetri. Inserire ogni valore nella stessa unità; i risultati saranno espressi nella medesima unità, mentre l'area sarà espressa in unità quadrate.