Calcolatore di Archi - Calcola Raggio, Luce e Freccia

Che cos'è un calcolatore per archi?

Un calcolatore per archi determina le dimensioni di un arco circolare — raggio, luce e freccia — a partire da due qualsiasi di questi valori. Calcola anche la lunghezza dell'arco e l'area dell'arco. Architetti, costruttori e appassionati lo usano per progettare porte, finestre, ponti ed elementi da giardino dalla forma curva.

Dimensioni principali dell'arco

Un arco circolare è una porzione ricavata dal bordo di un cerchio. La sua forma è descritta da cinque misure:

• Raggio: la distanza dal centro del cerchio a un punto qualsiasi della curva dell'arco.
• Luce: la distanza orizzontale in linea retta tra le due estremità inferiori dell'arco, detta anche larghezza.
• Freccia: la distanza verticale dalla linea d'imposta (la linea orizzontale che unisce le due estremità) al punto più alto dell'arco.
• Lunghezza dell'arco: la distanza lungo la linea curva dell'arco, da un'estremità all'altra.
• Area dell'arco: l'area della regione curva compresa tra l'arco e la linea d'imposta.

Formule per le dimensioni dell'arco

Queste formule valgono per un arco circolare, costruito su un segmento di un'unica circonferenza. La maggior parte degli archi di porte, finestre e ponti ha una freccia non superiore al raggio. Il calcolatore gestisce anche gli archi a ferro di cavallo più alti, in cui la freccia è maggiore del raggio ma non supera il doppio del raggio. In un arco a ferro di cavallo la curva è più di una semicirconferenza, quindi le estremità si ripiegano verso l’interno.

Formula della freccia (da raggio e luce)

$\text{Ascesa} = \text{Raggio} - \sqrt{\text{Raggio}^2 - \left(\frac{\text{Luce}}{2}\right)^2}$

Valida quando raggio e luce sono positivi e luce ≤ 2 × raggio. Questa formula dà l’arco più basso tra i due che corrispondono a un dato raggio e a una data luce, quindi la freccia restituita non supera mai il raggio. Il calcolatore la ricava in una forma equivalente riorganizzata, (Luce/2)² ÷ (Raggio + √(Raggio² − (Luce/2)²)), che resta accurata per archi molto ribassati.

Formula del raggio (da luce e freccia)

$\text{Raggio} = \frac{\text{Luce}^2}{8 \times \text{Ascesa}} + \frac{\text{Ascesa}}{2}$

Valida quando luce e freccia sono positive.

Formula della luce (da raggio e freccia)

$\text{Luce} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Raggio} \times \text{Ascesa} - \text{Ascesa}^2}$

Valida quando raggio e freccia sono positivi e freccia ≤ 2 × raggio. Una freccia superiore al raggio dà un arco a ferro di cavallo. Una freccia pari esattamente al doppio del raggio chiude il cerchio, e la luce diventa 0.

Formula della lunghezza dell'arco

$\text{Lunghezza dell'arco} = \text{Raggio} \times \theta$

Qui θ (theta) è l’angolo al centro, in radianti, che la curva dell’arco descrive al centro della circonferenza. Il calcolatore lo trova con l’arcotangente a due argomenti, atan2, che funziona per ogni forma di arco, compresi gli archi a ferro di cavallo in cui θ è maggiore di π:

$\theta = 2 \times \operatorname{atan2}\left(\frac{\text{Luce}}{2},\ \text{Raggio} - \text{Ascesa}\right)$

Quando la freccia non supera il raggio, si ottiene lo stesso angolo della forma più semplice:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Luce}}{2 \times \text{Raggio}}\right)$

Formula dell'area dell'arco

$\text{Area dell'arco} = \frac{1}{2} \times \text{Raggio}^2 \times (\theta - \sin\theta)$

Questa è l’area del settore circolare meno il triangolo compreso tra i suoi due raggi. Scritta per esteso, equivale a:

$\text{Area dell'arco} = \frac{1}{2} \times \text{Raggio}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Luce} \times (\text{Raggio} - \text{Ascesa})$

Per un arco a ferro di cavallo, Raggio − Freccia è negativo, quindi il termine del triangolo viene sommato anziché sottratto.

Come usare il calcolatore per archi

Il calcolatore offre tre modalità, una per ciascuna dimensione che potrebbe mancare.

Calcola la freccia, quando sono noti raggio e luce: inserire il raggio e la luce. Lo strumento restituisce la freccia, la lunghezza dell'arco e l'area dell'arco.

Calcola il raggio, quando sono noti luce e freccia: inserire la luce e la freccia. Lo strumento restituisce il raggio, la lunghezza dell'arco e l'area dell'arco.

Calcola la luce, quando sono noti raggio e freccia: inserire il raggio e la freccia. Lo strumento restituisce la luce, la lunghezza dell'arco e l'area dell'arco.

Il calcolatore rifiuta i valori che non possono formare un arco reale. La luce non può superare due volte il raggio, la freccia non può superare due volte il raggio e ogni dimensione deve essere un numero positivo. Quando un valore viola una di queste regole, viene visualizzato un messaggio di errore.

Esempi pratici

Esempio 1: arco di una porta

Un arco di una porta ha una luce di 36 pollici (91,4 cm) e una freccia di 12 pollici (30,5 cm).

Raggio = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 pollici (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radianti

Lunghezza dell'arco = 19,5 × 2,352 = 45,86 pollici (116 cm)

Area dell'arco = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 pollici quadrati (2010 cm²)

Esempio 2: arco da giardino

Un arco da giardino ha un raggio di 4 piedi (1,2 m) e una luce di 6 piedi (1,8 m).

Freccia = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 piedi (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radianti

Lunghezza dell'arco = 4 × 1,696 = 6,78 piedi (2,07 m)

Area dell'arco = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 piedi quadrati (0,523 m²)

Esempio 3: arco di un ponte

Un arco di ponte ha una luce di 50 piedi (15 m) e una freccia di 15 piedi (4,57 m).

Raggio = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 piedi (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radianti

Lunghezza dell'arco = 28,33 × 2,162 = 61,25 piedi (18,7 m)

Area dell'arco = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 piedi quadrati (49,6 m²)

Esempio 4: arco a ferro di cavallo

Un arco decorativo a ferro di cavallo ha un raggio di 10 pollici (25 cm) e una freccia di 15 pollici (38,1 cm). La freccia è maggiore del raggio, quindi la curva è più di una semicirconferenza.

Luce = 2 × √(2 × 10 × 15 − 15²) = 2 × √(300 − 225) = 2 × √75 = 17,32 pollici (44 cm)

θ = 2 × atan2(8,66, 10 − 15) = 2 × atan2(8,66, −5) = 4,189 radianti (240°)

Lunghezza dell’arco = 10 × 4,189 = 41,89 pollici (106 cm)

Area dell’arco = 0,5 × 10² × (4,189 − sin 4,189) = 50 × (4,1888 + 0,8660) = 50 × 5,0548 = 252,74 pollici quadrati (1630 cm²)

Usi comuni dei calcoli degli archi

I costruttori usano le dimensioni degli archi per tagliare le casseforme degli archi in calcestruzzo, preparare sagome in mattoni o pietra per gli archi in muratura e progettare la curvatura delle volte. I progettisti di ponti usano luce, freccia e raggio per bilanciare la distribuzione dei carichi con l'altezza libera. I lavori di restauro si basano sulle stesse formule per riprodurre l'esatta geometria di un arco storico durante la riparazione o la ricostruzione. Giardinieri e appassionati di fai da te le usano per pergolati ad arco, ingressi e aperture decorative.

Questo calcolatore copre solo gli archi circolari, formati dall'arco di un unico cerchio. Gli archi ellittici, parabolici, gotici e a catenaria seguono curve diverse e richiedono formule differenti.

Breve storia dell'arco

I costruttori dell'antica Mesopotamia usavano forme arcaiche simili ad archi già nel 2500 a.C., anche se la maggior parte era realizzata con la tecnica a mensola, sovrapponendo le pietre in modo che ogni strato sporgesse rispetto a quello sottostante, anziché costruire un vero arco curvo. I Romani svilupparono l'arco semicircolare trasformandolo in un metodo costruttivo standard, usandolo negli acquedotti, nei ponti e in edifici come il Colosseo. I costruttori medievali europei svilupparono l'arco ogivale gotico, che consentiva di costruire strutture più alte e leggere. In seguito gli architetti tornarono alle forme semicircolari basate su proporzioni precise, mentre materiali moderni come l'acciaio e il calcestruzzo armato permettono oggi agli archi di coprire distanze molto maggiori.

Domande frequenti

Qual è la differenza tra freccia e altezza in un arco?

La freccia è la distanza verticale dalla linea d'imposta alla sommità della curva dell'arco. L'altezza si riferisce talvolta all'altezza totale di un'apertura, comprese eventuali pareti rettilinee al di sotto della linea d'imposta.

Questo calcolatore funziona per tutti i tipi di arco?

No. Funziona solo per gli archi circolari, cioè quelli che hanno la forma di un segmento di cerchio. Gli archi ellittici, parabolici, gotici e a catenaria seguono curve diverse e richiedono formule specifiche.

Qual è il rapporto tra luce e raggio in un arco semicircolare?

In un arco semicircolare, il raggio è uguale alla metà della luce e la freccia è uguale al raggio. L'arco forma esattamente metà di un cerchio.

Perché la luce non può essere maggiore di due volte il raggio?

Una luce pari a due volte il raggio produce già una semicirconferenza, l'arco più largo possibile per quel raggio. Una luce maggiore non rientrerebbe affatto nel cerchio.

La freccia può essere maggiore del raggio?

Sì. Una freccia compresa tra il raggio e il doppio del raggio dà un arco a ferro di cavallo, che è più di una semicirconferenza. La freccia non può superare il doppio del raggio, perché è l’altezza totale del cerchio. Nella modalità di calcolo della freccia lo strumento restituisce sempre l’arco più basso, quindi la sua freccia non supera mai il raggio.

Quali unità usa il calcolatore?

È valida qualsiasi unità coerente: pollici, piedi, metri o centimetri. Inserire ogni valore nella stessa unità; i risultati saranno espressi nella medesima unità, mentre l'area sarà espressa in unità quadrate.