Grafico delle Funzioni Trigonometriche - Visualizza Seno, Coseno, Tangente

Che cos'è un grafico di funzioni trigonometriche?

Un grafico di funzioni trigonometriche è uno strumento che traccia la curva di una funzione seno, coseno o tangente e consente di modificarne la forma regolando alcuni numeri, chiamati parametri. Spostando un cursore, il grafico viene ridisegnato istantaneamente, rendendo più facile vedere come cambiano ampiezza, frequenza e sfasamento dell'onda.

Le tre funzioni trigonometriche fondamentali

Seno, coseno e tangente derivano dai rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo. Su una circonferenza di raggio 1, con centro nell'origine (la circonferenza goniometrica), sin(x) è l'altezza di un punto con angolo x, mentre cos(x) è la sua posizione orizzontale. La tangente è il rapporto sin(x) / cos(x).

Il seno è una funzione dispari: sin(−x) = −sin(x). Il coseno è una funzione pari: cos(−x) = cos(x). Il coseno è semplicemente il seno traslato a sinistra di π/2 radianti (90 gradi).

La tangente ha asintoti verticali: rette alle quali la curva si avvicina sempre di più senza mai toccarle. Si trovano in x = π/2 + nπ, dove n è un numero intero qualsiasi. Poiché tan(x) = sin(x) / cos(x) e cos(x) è uguale a 0 in quei punti, il rapporto non è definito.

Formula delle funzioni trigonometriche

Il grafico traccia le funzioni nella forma seguente:

f(x) = A sin(Bx + C)

La stessa forma viene usata per il coseno e la tangente, sostituendo sin con cos o tan. Ogni lettera è un parametro che può essere regolato:

• A (ampiezza) determina l'altezza dell'onda, misurata dalla linea mediana fino a un picco. Il grafico consente valori da 0,1 a 5 per seno e coseno, e da 0,1 a 2 per la tangente.
• B (frequenza) determina quanti cicli completi rientrano in un tratto dell'asse x. Un valore B maggiore comprime l'onda. Il grafico consente valori da 0,1 a 5.
• C (sfasamento) sposta l'intera curva a sinistra o a destra senza modificarne la forma. Il grafico consente valori da −π a π, approssimativamente da −3,14 a 3,14.

Uno sfasamento positivo sposta il grafico a sinistra; uno negativo lo sposta a destra.

Come usare il grafico di funzioni trigonometriche

1. Scegliere una funzione — seno, coseno o tangente — dal selettore.
2. Spostare il cursore dell'ampiezza per modificare l'altezza dell'onda.
3. Spostare il cursore della frequenza per comprimere o allungare l'onda.
4. Spostare il cursore dello sfasamento per traslare lateralmente la curva.
5. Leggere la formula mostrata sotto i cursori e premere "Copy" per copiarla come testo.

Il grafico si aggiorna non appena si sposta un cursore. Per la tangente, in corrispondenza di ogni asintoto compaiono piccoli spazi vuoti nella linea. È previsto e non costituisce un errore.

Verificare i limiti dei cursori

Per vedere quanto può diventare alta un'onda, impostare l'ampiezza sul valore massimo consentito dallo strumento: 5 per il seno o il coseno, 2 per la tangente. Per vedere un'onda quasi completamente appiattita, impostare la frequenza sul valore minimo, 0,1. Cambiare un cursore alla volta rende più facile capire quale parametro ha causato ciascun cambiamento.

Come calcolare un valore manualmente

Consideriamo una funzione seno con ampiezza A = 2, frequenza B = 3 e sfasamento C = π/4:

f(x) = 2 sin(3x + π/4)

Per trovare f(π/6), calcolare innanzitutto l'angolo interno al seno:

3 × (π/6) = π/2

π/2 + π/4 = 3π/4

Quindi calcolare il seno e moltiplicare per l'ampiezza:

f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1,414

Dove si incontrano le onde trigonometriche

Molti fenomeni che si ripetono secondo uno schema regolare e oscillante seguono una curva simile a un'onda sinusoidale: il suono, la corrente elettrica alternata, le maree, l'oscillazione di un pendolo e la durata della luce diurna nel corso dell'anno. Gli ingegneri usano seno e coseno per descrivere e prevedere schemi di questo tipo. Gli animatori digitali usano le stesse curve per rendere fluidi i movimenti, ad esempio in un ciclo di camminata oscillante o in un movimento di macchina con accelerazione e decelerazione progressive.

Domande frequenti

Qual è la differenza tra il seno, il coseno e la tangente?

Seno e coseno oscillano entrambi tra −1 e 1 con un periodo di 2π, ma il coseno raggiunge ogni punto del proprio ciclo con un quarto di giro (π/2) di anticipo rispetto al seno. La tangente è uguale al seno diviso per il coseno. Ha periodo π, non è limitata e presenta asintoti verticali ovunque il coseno sia uguale a 0.

Che cosa controlla l'ampiezza?

L'ampiezza (A) determina di quanto l'onda si estende sopra e sotto la propria linea mediana. In questo grafico varia da 0,1 a 5 per seno e coseno, e da 0,1 a 2 per la tangente.

Che cosa controlla la frequenza?

La frequenza (B) determina quanti cicli dell'onda compaiono in un tratto fissato dell'asse x. Una frequenza maggiore concentra più cicli nello stesso spazio. Il grafico consente valori da 0,1 a 5.

Perché uno sfasamento positivo sposta il grafico a sinistra invece che a destra?

Perché lo sfasamento C viene sommato prima di misurare l'angolo, all'interno della funzione: f(x) = sin(Bx + C). Un valore C positivo significa che l'angolo raggiunge un determinato valore per un valore più piccolo di x; quindi lo stesso punto della curva compare prima, spostato a sinistra e non a destra.

Perché nel grafico della tangente ci sono degli spazi vuoti?

La tangente non è definita ovunque il coseno sia uguale a 0, cosa che accade in x = π/2 + nπ. Il grafico interrompe la linea in quei punti invece di tracciare un falso collegamento diretto attraverso lo spazio vuoto.

Il grafico usa i gradi o i radianti?

Radianti. Un giro completo equivale a 2π radianti, cioè a 360 gradi. Per convertire i gradi in radianti, moltiplicare per π/180.