Risolutore di Equazioni Quadratiche - Calcola le Radici di ax² + bx + c = 0

Che cos'è un'equazione di secondo grado?

Un'equazione di secondo grado è un'equazione della forma $ax^2 + bx + c = 0$, in cui $a$, $b$ e $c$ sono numeri e $a$ è diverso da zero. Il risolutore di equazioni di secondo grado in questa pagina trova il valore o i valori di $x$ che rendono vera l'equazione, usando i coefficienti $a$, $b$ e $c$ inseriti dall'utente.

Se $a$ fosse zero, il termine $x^2$ scomparirebbe e l'equazione diventerebbe di primo grado anziché di secondo grado. Per questo motivo, il calcolatore richiede $a \neq 0$ e mostra un errore se $a = 0$.

La formula risolutiva delle equazioni di secondo grado

Ogni equazione di secondo grado nella forma $ax^2 + bx + c = 0$ può essere risolta con la formula risolutiva:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Il segno $\pm$ indica due calcoli distinti, uno con il segno più e uno con il segno meno. Per questo un'equazione di secondo grado può avere due soluzioni diverse.

L'espressione sotto la radice quadrata, $b^2 - 4ac$, si chiama discriminante. Di solito si scrive come $\Delta$ (la lettera greca delta). Il solo discriminante indica quante soluzioni reali ha l'equazione, prima di eseguire il resto del calcolo.

Come calcolare le radici

1. Scrivere l'equazione nella forma standard, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Individuare i coefficienti $a$, $b$ e $c$.
3. Calcolare il discriminante: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Se $\Delta$ è positivo, calcolare entrambe le radici con $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Se $\Delta$ è zero, calcolare l'unica radice con $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Se $\Delta$ è negativo, l'equazione non ha radici reali, perché un numero negativo non ha una radice quadrata reale.

Il calcolatore in questa pagina esegue automaticamente questi passaggi. Accetta coefficienti compresi tra $-10^{10}$ e $10^{10}$ e arrotonda i risultati a un numero scelto di cifre decimali, da 0 a 10.

Che cosa indica il discriminante

Questo calcolatore segnala "nessuna radice reale" quando $\Delta$ è negativo. Non calcola le radici complesse (numeri che comprendono $i = \sqrt{-1}$).

Esempio di calcolo

Risolvere $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Qui $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Per prima cosa si calcola il discriminante:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Poiché $\Delta$ è positivo, l'equazione ha due radici reali:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Questo si può verificare mediante la scomposizione in fattori: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, che è zero quando $x = -2$ oppure $x = -3$.

Un secondo esempio mostra un discriminante negativo. Per $x^2 + x + 1 = 0$, $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, quindi $\Delta = 1 - 4 = -3$. Poiché $\Delta$ è negativo, l'equazione non ha radici reali.

La parabola, il vertice e l'asse di simmetria

Il grafico di $f(x) = ax^2 + bx + c$ è una curva chiamata parabola. Se $a$ è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto e ha un punto più basso. Se $a$ è negativo, è rivolta verso il basso e ha un punto più alto. Quel punto più basso o più alto è il vertice.

Il vertice si trova in:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

La retta verticale passante per il vertice, $x = -\dfrac{b}{2a}$, si chiama asse di simmetria, perché le due metà della parabola sono immagini speculari rispetto a essa. Le radici reali dell'equazione sono i punti in cui la parabola interseca l'asse x, quindi si trovano ai due lati dell'asse di simmetria, alla stessa distanza da esso.

Il calcolatore disegna questa parabola accanto al risultato. Indica il vertice e le eventuali radici reali sulla curva e amplia l'intervallo visualizzato quando necessario, in modo che ogni radice rimanga visibile.

Dove vengono utilizzate le equazioni di secondo grado

Le equazioni di secondo grado descrivono molte situazioni reali. In fisica, l'altezza di un oggetto lanciato nel tempo segue l'equazione $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$ e risolverla rispetto a $t$ fornisce il momento in cui l'oggetto atterra. In ingegneria, le forme paraboliche compaiono nelle antenne paraboliche e nei cavi dei ponti per il modo in cui concentrano o distribuiscono le forze. Nella computer grafica, i programmi di ray tracing risolvono equazioni di secondo grado per trovare il punto in cui una retta interseca una sfera.

Una breve storia

I matematici babilonesi risolvevano problemi specifici di secondo grado già intorno al 2000 a.C., usando metodi geometrici anziché l'algebra. Anche matematici greci come Euclide trattavano le equazioni di secondo grado geometricamente. Intorno al 600 d.C., il matematico indiano Brahmagupta fornì una formula esplicita per le radici, comprese le soluzioni negative. Intorno al 800 d.C., il matematico persiano al-Khwarizmi descrisse metodi sistematici per risolvere le equazioni di secondo grado in un libro dal cui titolo deriva la parola "algebra". La forma simbolica moderna della formula risolutiva divenne standard in seguito, con lo sviluppo della notazione algebrica durante il Rinascimento.

Domande frequenti

Che cosa succede se inserisco 0 come coefficiente a? Il calcolatore mostra un errore, perché $a = 0$ trasforma l'equazione in un'equazione di primo grado, $bx + c = 0$, che si risolve in modo diverso.

Perché un'equazione a volte non ha radici reali? Questo accade quando il discriminante, $b^2 - 4ac$, è negativo. Un numero negativo non ha una radice quadrata reale, quindi la formula non può produrre un valore reale di $x$. L'equazione ha comunque due radici complesse, ma questo calcolatore non le calcola.

Qual è la differenza tra una radice e una soluzione? Nessuna. Entrambe le parole indicano un valore di $x$ che rende l'equazione uguale a zero. "Radice" indica il punto in cui il grafico incontra l'asse x; "soluzione" si riferisce all'algebra.

Quante cifre decimali posso scegliere? Da 0 a 10. Per i problemi quotidiani, di solito sono sufficienti due o tre cifre decimali.

Posso inserire coefficienti molto grandi? I coefficienti devono essere compresi tra $-10^{10}$ e $10^{10}$. I valori al di fuori di questo intervallo possono causare errori di arrotondamento e vengono rifiutati.

Questo calcolatore può trovare radici complesse? No. Quando il discriminante è negativo, segnala "nessuna radice reale" invece di calcolare i numeri complessi.

Riferimenti

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. NIST Digital Library of Mathematical Functions, §1.11, Algebra: Quadratic Equation