Risolutore dell'Equazione di Young-Laplace | Pressione di Interfaccia

Che cos'è l'equazione di Young-Laplace?

L'equazione di Young-Laplace è una formula della meccanica dei fluidi che fornisce la differenza di pressione attraverso un'interfaccia curva tra due fluidi, come la superficie di una goccia d'acqua o di una bolla di sapone. Mostra che questa differenza di pressione dipende dalla tensione superficiale del fluido e da quanto curva è l'interfaccia. L'equazione spiega perché la pressione aumenta all'interno delle gocce e delle bolle e perché quelle più piccole hanno una pressione interna maggiore rispetto a quelle più grandi.

Prende il nome da Thomas Young e Pierre-Simon Laplace, che descrissero indipendentemente questa relazione nei primi anni del 1800.

Formula dell'equazione di Young-Laplace

La forma generale dell'equazione è:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ è la differenza di pressione attraverso l'interfaccia, espressa in pascal (Pa)
• $\gamma$ (gamma) è la tensione superficiale del fluido, espressa in newton per metro (N/m)
• $R_1$ e $R_2$ sono i due raggi principali di curvatura della superficie, espressi in metri (m)

Una superficie curva in modo diverso nelle varie direzioni. $R_1$ e $R_2$ descrivono la curvatura lungo due direzioni perpendicolari tra loro. Per una sfera, come una goccia o una bolla, $R_1$ è uguale a $R_2$, quindi la formula si semplifica in:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Convenzione dei segni

La pressione è sempre maggiore sul lato concavo di un'interfaccia curva, cioè il lato opposto a quello verso cui la superficie si incurva. Per una goccia o una bolla, ciò significa che la pressione interna è maggiore di quella esterna. Un raggio è considerato positivo quando il suo centro di curvatura si trova sul lato a pressione maggiore. Se la superficie curva nella direzione opposta, quel raggio è considerato negativo. Un'interfaccia a forma di sella, come il collo di liquido tra due granuli a contatto, ha un raggio positivo e uno negativo, e i due termini si compensano parzialmente.

Questo calcolatore usa solo raggi positivi.

Casi particolari

• Superficie piana: quando un raggio tende all'infinito, il suo termine nella formula tende a zero. Un'interfaccia perfettamente piana non presenta alcuna differenza di pressione.
• Cilindro: una superficie cilindrica lunga, come un getto di liquido che esce da un ugello, curva in una sola direzione. Un raggio è il raggio del cilindro e l'altro è infinito lungo la sua lunghezza, quindi la formula si riduce a $\Delta P = \gamma / R$. Questa è metà della differenza di pressione di una sfera con lo stesso raggio.
• Scale molto piccole: al di sotto di circa 10–20 nanometri, effetti aggiuntivi come la tensione di linea diventano rilevanti e l'equazione semplice perde accuratezza.

Come calcolare la differenza di pressione con l'equazione di Young-Laplace

1. Determinare la tensione superficiale del fluido, in N/m, alla temperatura di interesse. La tensione superficiale diminuisce all'aumentare della temperatura.
2. Misurare o stimare il primo raggio principale di curvatura, $R_1$, in metri.
3. Misurare o stimare il secondo raggio principale di curvatura, $R_2$, in metri. Per una sfera, usare lo stesso valore di $R_1$. Per un cilindro, usare un numero molto grande al posto dell'infinito.
4. Moltiplicare la tensione superficiale per la somma di $1/R_1$ e $1/R_2$. Il risultato è la differenza di pressione in pascal.

Mantenere ogni valore nelle unità SI. Mescolare, per esempio, millimetri e metri altera il risultato di un fattore mille.

Esempio svolto

Si consideri una goccia d'acqua sferica con un raggio di 1 millimetro (0,001 m) e una tensione superficiale di 0,072 N/m, un valore tipico per l'acqua a temperatura ambiente.

Poiché la goccia è una sfera, $R_1 = R_2 = R$, quindi:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

La pressione all'interno della goccia è di 144 Pa superiore alla pressione dell'aria circostante. È un valore piccolo rispetto alla normale pressione atmosferica, pari a circa 101.325 Pa, ma l'effetto aumenta rapidamente quando la goccia si restringe. Una goccia con un raggio pari a un decimo, 0,1 mm, ha una differenza di pressione dieci volte maggiore: 1.440 Pa. Una goccia con un raggio di 0,01 mm raggiunge 14.400 Pa, oltre 14% della pressione atmosferica.

Ambiti di applicazione dell'equazione

• Gocce e bolle: la pressione maggiore all'interno delle gocce piccole favorisce la maturazione di Ostwald, il processo mediante il quale le gocce piccole di un'emulsione si restringono mentre quelle più grandi crescono, perché il loro contenuto diffonde dalle zone ad alta pressione a quelle a bassa pressione.
• Azione capillare: la superficie curva all'interno di un tubo stretto spinge il liquido verso l'alto. È per questo che l'acqua risale nei tovaglioli di carta e nei tubi di vetro stretti.
• Respirazione: le minuscole sacche d'aria nei polmoni, chiamate alveoli, si comportano come piccole bolle. Un rivestimento chiamato surfattante polmonare riduce la tensione superficiale, impedendo agli alveoli piccoli di collassare sotto la pressione prevista dall'equazione. I neonati prematuri che non dispongono di una quantità sufficiente di surfattante possono sviluppare problemi respiratori per questo motivo.
• Stampa a getto d'inchiostro: gli ugelli delle stampanti formano gocce con diametri di alcune decine di micrometri, nelle quali la pressione dovuta alla curvatura è abbastanza elevata da influenzare il modo in cui l'inchiostro esce dall'ugello.
• Scienza dei materiali: gli strumenti che misurano il modo in cui i liquidi bagnano una superficie e il comportamento dei rivestimenti sottili usano l'equazione per mettere in relazione la forma di una goccia con la sua energia superficiale.

Cenni storici

Le persone osservavano i liquidi risalire nei tubi stretti molto prima che qualcuno ne spiegasse il motivo. Nei primi anni del 1700, Francis Hauksbee dimostrò sperimentalmente che i tubi più stretti provocano una maggiore risalita capillare e, nel 1718, James Jurin descrisse la risalita come inversamente proporzionale al diametro del tubo.

Thomas Young spiegò la fisica alla base del fenomeno in un articolo del 1805, introducendo la tensione superficiale come proprietà di un fluido e collegandola alla pressione attraverso le superfici curve, sebbene il suo trattamento fosse soprattutto descrittivo. Nel 1806, Pierre-Simon Laplace elaborò la forma matematica usando il calcolo infinitesimale, arrivando indipendentemente alla stessa relazione. Il loro lavoro congiunto divenne l'equazione di Young-Laplace. In seguito, scienziati tra cui Carl Friedrich Gauss e Joseph Plateau verificarono ed estesero la teoria nel corso del 1800.

Domande frequenti

Che cosa calcola l'equazione di Young-Laplace? Calcola la differenza di pressione attraverso un'interfaccia curva tra due fluidi, in base alla tensione superficiale del fluido e alla curvatura dell'interfaccia.

Perché la pressione è maggiore all'interno di una goccia più piccola? La tensione superficiale agisce lungo il bordo della goccia e la forza di trazione aumenta proporzionalmente al raggio. L'area sulla quale deve agire la pressione aumenta invece con il quadrato del raggio. Dal loro equilibrio si ricava $\Delta P = 2\gamma/R$, quindi la differenza di pressione è inversamente proporzionale al raggio: dimezzando il raggio, la differenza di pressione raddoppia.

In che modo la temperatura influisce sull'equazione? La temperatura modifica il valore della tensione superficiale, che diminuisce all'aumentare della temperatura. Per l'acqua, la tensione superficiale diminuisce da circa 0,073 N/m a 20 °C a circa 0,063 N/m a 80 °C, con una riduzione di circa 0,17 mN/m per ogni grado Celsius. La tensione superficiale a temperatura ambiente è maggiore di quella dell'acqua calda, quindi usare un valore a temperatura ambiente per un sistema caldo sovrastima la differenza di pressione.

L'equazione funziona per forme diverse dalle sfere? Sì. La forma generale, con due raggi distinti $R_1$ e $R_2$, si applica a qualsiasi superficie curva, comprese le superfici ellissoidali e quelle a forma di sella. Solo la versione semplificata $2\gamma/R$ è limitata alle sfere.

In che cosa differisce l'equazione di Young-Laplace dall'equazione di Young? L'equazione di Young-Laplace fornisce la differenza di pressione causata da un'interfaccia curva. L'equazione di Young, una relazione distinta anch'essa dovuta a Thomas Young, fornisce l'angolo di contatto formato da una goccia nel punto in cui incontra una superficie solida, in base alle energie superficiali dei tre materiali coinvolti. Descrivono fenomeni diversi e talvolta vengono usate insieme per analizzare una goccia appoggiata su una superficie.

Quanto può essere piccola una goccia prima che l'equazione smetta di funzionare? L'equazione rimane accurata fino a circa 1 micrometro. Al di sotto di circa 10–20 nanometri, forze aggiuntive ignorate dall'equazione, tra cui la tensione di linea e le forze tra superfici su scala molecolare, diventano abbastanza grandi da essere rilevanti e sono necessari modelli più dettagliati.

Riferimenti

1. Young, T. (1805). "An Essay on the Cohesion of Fluids." Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, Supplemento al Libro 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W., & Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6ª edizione). Wiley-Interscience.