Risolutore dell'Equazione di Young-Laplace | Pressione di Interfaccia

Che cos'è l'equazione di Young-Laplace?

L'equazione di Young-Laplace è una formula della meccanica dei fluidi che fornisce la differenza di pressione attraverso un'interfaccia curva tra due fluidi, come la superficie di una goccia d'acqua o di una bolla di sapone. Mostra che questa differenza di pressione dipende dalla tensione superficiale del fluido e da quanto curva è l'interfaccia. L'equazione spiega perché la pressione aumenta all'interno delle gocce e delle bolle e perché quelle più piccole hanno una pressione interna maggiore rispetto a quelle più grandi.

Prende il nome da Thomas Young e Pierre-Simon Laplace, che descrissero ciascuno la relazione nel 1805.

Formula dell'equazione di Young-Laplace

La forma generale dell'equazione è:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ è la differenza di pressione attraverso l'interfaccia, espressa in pascal (Pa)
• $\gamma$ (gamma) è la tensione superficiale del fluido, espressa in newton per metro (N/m)
• $R_1$ e $R_2$ sono i due raggi principali di curvatura della superficie, espressi in metri (m)

Una superficie curva in modo diverso nelle varie direzioni. $R_1$ e $R_2$ descrivono la curvatura lungo due direzioni perpendicolari tra loro. Per una sfera, come una goccia o una bolla, $R_1$ è uguale a $R_2$, quindi la formula si semplifica in:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Convenzione dei segni

La pressione è sempre maggiore sul lato concavo di un'interfaccia curva, cioè il lato da cui la superficie si allontana curvandosi. Per una goccia o una bolla, ciò significa che la pressione interna è maggiore di quella esterna. Quando una superficie si curva in senso opposto lungo una direzione, come in una forma a sella, quel raggio è considerato negativo nella formula generale. Questo calcolatore accetta solo raggi positivi, quindi riguarda le superfici che si curvano nello stesso senso in entrambe le direzioni.

Casi particolari

• Superficie piana: quando un raggio tende all'infinito, il suo termine nella formula tende a zero. Un'interfaccia perfettamente piana non presenta alcuna differenza di pressione.
• Cilindro: all'interno di un tubo stretto, come un capillare, un raggio è il raggio del tubo e l'altro è di fatto infinito lungo la lunghezza del tubo. La formula si riduce a $\Delta P = \gamma / R$.
• Scale molto piccole: alla scala di pochi nanometri diventano rilevanti effetti aggiuntivi, come la tensione di linea, e l'equazione semplice perde accuratezza.

Come calcolare la differenza di pressione con l'equazione di Young-Laplace

1. Determinare la tensione superficiale del fluido, in N/m, alla temperatura di interesse. La tensione superficiale diminuisce all'aumentare della temperatura.
2. Misurare o stimare il primo raggio principale di curvatura, $R_1$, in metri.
3. Misurare o stimare il secondo raggio principale di curvatura, $R_2$, in metri. Per una sfera, usare lo stesso valore di $R_1$. Per un cilindro, usare un numero molto grande al posto dell'infinito (il calcolatore non accetta direttamente l'infinito).
4. Moltiplicare la tensione superficiale per la somma di $1/R_1$ e $1/R_2$. Il risultato è la differenza di pressione in pascal.

Mantenere ogni valore nelle unità SI. Mescolare, per esempio, millimetri e metri altera il risultato di un fattore mille.

Esempio svolto

Si consideri una goccia d'acqua sferica con un raggio di 1 millimetro (0,001 m) e una tensione superficiale di 0,072 N/m. È il valore predefinito del calcolatore e corrisponde all'acqua a 25 °C, 71,98 mN/m.

Poiché la goccia è una sfera, $R_1 = R_2 = R$, quindi:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

La pressione all'interno della goccia supera di 144 Pa la pressione dell'aria circostante. È poco rispetto alla pressione atmosferica standard, 101.325 Pa, ma l'effetto cresce rapidamente al diminuire della goccia. Una goccia dieci volte più piccola, con un raggio di 0,1 mm, ha una differenza di pressione dieci volte maggiore: 1.440 Pa. Una goccia con un raggio di 0,01 mm raggiunge 14.400 Pa, oltre il 14% della pressione atmosferica.

Ambiti di applicazione dell'equazione

• Gocce e bolle: la pressione maggiore all'interno delle gocce piccole favorisce la maturazione di Ostwald, il processo mediante il quale le gocce piccole di un'emulsione si restringono mentre quelle più grandi crescono, perché il loro contenuto diffonde dalle zone ad alta pressione a quelle a bassa pressione.
• Azione capillare: la superficie curva all'interno di un tubo stretto spinge il liquido verso l'alto. È per questo che l'acqua risale nei tovaglioli di carta e nei tubi di vetro stretti.
• Respirazione: i minuscoli sacchi d'aria dei polmoni, chiamati alveoli, si comportano come piccole bolle. Un rivestimento chiamato surfattante polmonare riduce la tensione superficiale, così che i piccoli alveoli non collassino sotto la pressione prevista dall'equazione. I neonati prematuri privi di abbastanza surfattante possono sviluppare la sindrome da distress respiratorio, perché senza surfattante i polmoni collassano.
• Stampa a getto d'inchiostro: gli ugelli delle stampanti formano gocce molto piccole, nelle quali la pressione dovuta alla curvatura è abbastanza grande da influenzare il modo in cui l'inchiostro esce dall'ugello.
• Scienza dei materiali: gli strumenti che misurano il modo in cui i liquidi bagnano una superficie e il comportamento dei rivestimenti sottili usano l'equazione per mettere in relazione la forma di una goccia con la sua energia superficiale.

Cenni storici

Si osservavano liquidi risalire in tubi stretti molto prima che qualcuno ne spiegasse il motivo. Gli esperimenti di Francis Hauksbee e James Jurin alla Royal Society di Londra misurarono come il liquido sale in tubi stretti e tra lastre. La legge di Jurin, che collega la risalita alla larghezza del tubo, porta il suo nome.

Nel 1805 Thomas Young pubblicò un saggio sulla coesione dei fluidi e Laplace pubblicò un supplemento al suo trattato di meccanica celeste. Il trattamento di Young era perlopiù descrittivo, mentre Laplace ricavò la forma matematica. Il loro lavoro congiunto divenne l'equazione di Young-Laplace. Carl Friedrich Gauss perfezionò in seguito la teoria e Joseph Plateau la estese con esperimenti sulle lamine di sapone.

Domande frequenti

Che cosa calcola l'equazione di Young-Laplace? Calcola la differenza di pressione attraverso un'interfaccia curva tra due fluidi, in base alla tensione superficiale del fluido e alla curvatura dell'interfaccia.

Perché la pressione è maggiore all'interno di una goccia più piccola? La tensione superficiale tira la superficie verso l'interno con la stessa intensità intrinseca a prescindere dalle dimensioni, ma su una goccia più piccola questa trazione agisce su un'area minore e concentra il proprio effetto in una pressione più alta. La pressione è inversamente proporzionale al raggio: dimezzando il raggio, la differenza di pressione raddoppia.

Come influisce la temperatura sull'equazione? La temperatura modifica il valore della tensione superficiale, che diminuisce all'aumentare della temperatura. Per l'acqua, la tensione superficiale scende da 0,0727 N/m a 20 °C a 0,0627 N/m a 80 °C, con una diminuzione di circa 0,17 mN/m per ogni grado Celsius. Usare un valore di tensione superficiale a temperatura ambiente per un sistema caldo porta a sottostimare la reale differenza di pressione.

L'equazione vale per forme diverse dalle sfere? Sì. La forma generale, con due raggi distinti $R_1$ e $R_2$, copre qualsiasi superficie curva, compresi gli ellissoidi e le interfacce a forma di sella. Solo la versione semplificata $2\gamma/R$ è limitata alle sfere. Questo calcolatore accetta solo raggi positivi, quindi non gestisce le forme a sella.

In che cosa differisce l'equazione di Young-Laplace dall'equazione di Young? L'equazione di Young-Laplace fornisce la differenza di pressione causata da un'interfaccia curva. L'equazione di Young, una relazione distinta anch'essa dovuta a Thomas Young, fornisce l'angolo di contatto formato da una goccia nel punto in cui incontra una superficie solida, in base alle energie superficiali dei tre materiali coinvolti. Descrivono fenomeni diversi e talvolta vengono usate insieme per analizzare una goccia appoggiata su una superficie.

Quanto può essere piccola una goccia prima che l'equazione smetta di funzionare? L'equazione funziona bene per le gocce e le bolle di uso quotidiano. Alla scala di pochi nanometri, forze aggiuntive che l'equazione ignora, tra cui la tensione di linea e le forze a scala molecolare tra le superfici, diventano abbastanza grandi da contare, e servono modelli più dettagliati.

Riferimenti

1. Physics Today (American Institute of Physics). Two hundred years of capillarity research. Two hundred years of capillarity research — il saggio di Young e il supplemento di Laplace nel 1805; esperimenti di Hauksbee e Jurin; Young qualitativo, Laplace matematico.
2. International Association for the Properties of Water and Steam. Revised Release on Surface Tension of Ordinary Water Substance (2014). IAPWS surface tension release — tensione superficiale dell'acqua 72,74 mN/m a 20 °C, 71,98 a 25 °C, 62,68 a 80 °C.
3. National Institute of Standards and Technology. NIST Guide to the SI, Appendix B.8. NIST SP 811 Appendix B.8 — atmosfera standard = 1,013 25 × 10⁵ Pa.
4. National Heart, Lung, and Blood Institute. Respiratory Distress Syndrome. NHLBI respiratory distress syndrome — la RDS è causata da una carenza di surfattante; senza di esso i polmoni collassano.