Calcolatore degli Indici di Miller - Converti gli Intercetti del Piano Cristallino in (hkl)

Che cosa sono gli indici di Miller?

Gli indici di Miller sono un insieme di tre numeri interi, scritti (h,k,l), che identificano un piano in un reticolo cristallino. Un reticolo cristallino è la disposizione ordinata e ripetitiva degli atomi presente in un materiale solido. Gli indici di Miller indicano agli scienziati esattamente quale sezione del reticolo rappresenta un piano, senza doverne descrivere a parole la geometria. Furono introdotti dal mineralogista britannico William Hallowes Miller nel 1839 e sono tuttora la notazione standard in cristallografia.

Questo calcolatore converte le intercette di un piano sugli assi cristallografici x, y e z nei relativi indici di Miller (h,k,l).

Formula degli indici di Miller

Gli indici di Miller si ricavano dai reciproci delle intercette del piano sugli assi. Se un piano interseca gli assi x, y e z a distanze a, b e c dall’origine, gli indici soddisfano la relazione:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Come calcolare gli indici di Miller dalle intercette

1. Individuare il punto in cui il piano interseca ciascun asse, misurato in unità dello spigolo della cella elementare. Indicare queste intercette con a, b e c.
2. Calcolare il reciproco di ciascuna intercetta: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Moltiplicare tutti e tre i reciproci per lo stesso numero, in modo che ciascuno diventi un numero intero.
4. Dividere i tre numeri interi per il loro massimo comune divisore, così da non poterli ridurre ulteriormente.

I tre numeri interi ottenuti sono h, k e l. Un piano che non interseca mai un asse viene considerato come se lo intersecasse all’infinito, e 1 diviso per infinito è 0; pertanto, a quell’asse viene assegnato un indice di Miller pari a 0.

Esempio svolto

Un piano interseca l’asse x in 2, l’asse y in 3 e l’asse z in 6.

1. Intercette: (2, 3, 6)
2. Reciproci: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Moltiplicazione per il minimo comune multiplo dei denominatori, 6: (3, 2, 1)
4. Il massimo comune divisore di 3, 2 e 1 è 1, quindi i numeri non possono essere ulteriormente ridotti.

Gli indici di Miller sono (321).

Altri esempi

• Un piano passante per (1, ∞, 2) — parallelo all’asse y — ha i reciproci (1, 0, 1/2). Moltiplicando per 2 si ottiene (2, 0, 1). Il valore 0 indica che il piano non interseca mai l’asse y.
• Un piano passante per (-1, 2, 3) ha i reciproci (-1, 1/2, 1/3). Moltiplicando per 6 si ottiene (-6, 3, 2), normalmente scritto (6̄32), con una barra sopra l’indice negativo.
• Un piano passante per (1, ∞, ∞) ha i reciproci (1, 0, 0), da cui si ottiene (100). Questa è una delle sei facce di un cubo.

Casi particolari

Un piano parallelo a un asse non lo interseca mai; pertanto, l’intercetta viene considerata infinita e il suo indice di Miller è 0. Un piano che interseca un asse sul lato negativo dell’origine ha un indice negativo, scritto con una barra sopra il numero nella notazione formale oppure con il segno meno nel testo corrente. Un piano passante per l’origine stessa non ha indici di Miller definiti, perché ogni insieme di piani paralleli in un reticolo deve essere spostato rispetto all’origine per poter essere indicizzato; prima di descrivere tale piano è quindi necessario spostare l’origine. Le intercette frazionarie vengono trattate come quelle intere: si calcola il reciproco di ciascuna e poi si eliminano le frazioni.

Gli indici vengono sempre ridotti ai numeri interi più piccoli possibili. (622) e (311) descrivono la stessa famiglia di piani, ma i cristallografi scrivono sempre (311).

Come usare questo calcolatore

Inserire le intercette del piano sugli assi x, y e z.

• Usare un numero positivo per un’intercetta sul lato positivo dell’origine e un numero negativo per il lato negativo.
• Digitare "infinity", "inf" oppure "∞" per un piano parallelo a un asse.
• Un’intercetta nulla non è accettata, perché a un piano passante per l’origine non possono essere assegnati indici di Miller con questo metodo.

Il calcolatore calcola immediatamente gli indici e mostra un diagramma del piano all’interno della cella elementare.

Applicazioni degli indici di Miller

Diffrazione dei raggi X. Ogni macchia o picco in un diffrattogramma a raggi X corrisponde a un insieme di piani reticolari con uno specifico (hkl). La legge di Bragg collega la distanza tra tali piani all’angolo di diffrazione:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Qui d_hkl è la distanza tra i piani (h,k,l), λ è la lunghezza d’onda dei raggi X e θ è l’angolo di diffrazione. Il confronto tra i picchi osservati e i valori (hkl), un processo chiamato indicizzazione, è un passaggio fondamentale per identificare una struttura cristallina sconosciuta.

Scienza dei materiali. Piani cristallini diversi espongono disposizioni atomiche diverse; perciò presentano energie superficiali differenti, diverse velocità di reazione chimica e ruoli diversi nel modo in cui un metallo si deforma. Nei metalli cubici a facce centrate, come l’alluminio, i piani atomici scivolano più facilmente gli uni rispetto agli altri lungo i piani {111}. I wafer di silicio per i chip dei computer vengono solitamente tagliati lungo il piano (100) o (111), perché la scelta influisce sul comportamento delle fasi successive di fabbricazione.

Mineralogia. Le facce piane osservate in un cristallo naturale e le direzioni lungo le quali un minerale si separa nettamente, cioè la sua sfaldatura, corrispondono entrambe a specifici piani a basso indice. L’halite (sale da cucina) si sfalda lungo i piani {100}, mentre la fluorite si sfalda lungo i piani {111}.

Indici di Miller-Bravais per i cristalli esagonali

I cristalli esagonali, come magnesio, zinco e titanio, vengono solitamente descritti con un sistema a quattro indici (hkil) anziché con tre. L’indice aggiuntivo i non è indipendente: è sempre i = -(h+k). Questa forma rende più facile riconoscere che due piani appartengono alla stessa famiglia equivalente per simmetria, cosa non sempre evidente dalla sola notazione di Miller a tre indici in un reticolo esagonale.

Cenni storici

Gli indici di Miller furono introdotti da William Hallowes Miller nel suo libro del 1839 A Treatise on Crystallography. Esistevano già sistemi precedenti per denominare le facce dei cristalli, ma il metodo di Miller, basato sui reciproci delle intercette, rendeva facile trattare i piani paralleli a un asse, poiché la loro intercetta è infinita e il suo reciproco è semplicemente 0. Dopo che Max von Laue scoprì la diffrazione dei raggi X da parte dei cristalli nel 1912, William Henry Bragg e William Lawrence Bragg dimostrarono che gli indici di Miller descrivono esattamente i piani responsabili dei picchi di diffrazione; per questo lavoro condivisero il 1915 Premio Nobel per la fisica.

Domande frequenti

Per cosa si usano gli indici di Miller? Identificano piani specifici in un reticolo cristallino. Vengono usati per indicizzare i picchi di diffrazione dei raggi X e degli elettroni, descrivere i piani di scorrimento nei metalli, specificare l’orientamento dei wafer semiconduttori e denominare le facce e i piani di sfaldatura dei minerali.

Che cosa significa uno zero in un indice di Miller? Significa che il piano è parallelo a quell’asse e non lo interseca mai. Per esempio, (201) è parallelo all’asse y.

Che cosa significano gli indici di Miller negativi? Significano che il piano interseca quell’asse sul lato negativo dell’origine. Un indice negativo viene scritto con una barra sopra il numero, per esempio (2̄11), oppure con il segno meno, come (-2,1,1).

Perché un piano passante per l’origine non può avere indici di Miller? Gli indici di Miller derivano dal reciproco di un’intercetta. Un piano passante per l’origine interseca ogni asse in 0 e 1/0 non è definito; pertanto, il metodo non può assegnare gli indici se il piano non viene spostato.

Qual è la differenza tra gli indici di Miller e quelli di Miller-Bravais? Gli indici di Miller (hkl) usano tre numeri e funzionano per qualsiasi sistema cristallino. Gli indici di Miller-Bravais (hkil) aggiungono un quarto indice dipendente e vengono usati soprattutto per i cristalli esagonali, nei quali rendono più facile riconoscere i piani equivalenti per simmetria.

Come è collegata la distanza tra i piani agli indici di Miller? In un cristallo cubico con spigolo di lunghezza a, la distanza tra piani adiacenti (hkl) è d = a / √(h² + k² + l²). I piani con indici più alti sono più ravvicinati. Gli altri sistemi cristallini usano una formula analoga ma più complessa, che tiene conto delle lunghezze degli assi disuguali e degli angoli diversi da 90°.

Riferimenti

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (edizione 4). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (edizione 3). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.